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一种基于最小二乘的不完整椭圆拟合算法.pdf
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第 27 卷 　第 7 期 仪 器
报 Vol27 No7 2006 年 7 月 Chinese J ournal of Scientific
In st rument J ul 2006
一种基于最小二乘的不完整椭圆拟合算法 邹益民　汪 　渤 北京理工大学信息技术学院自动控制系 　北京 　100081 摘要 　研究了一种基于最小二乘的不完整椭圆拟合算法 。基于几何距离的拟合算法可达到较高的拟合精度 ,但迭代过程敏
感于初始条件 ; 由于不完整的椭圆样本点及噪声的存在 ,简单线性拟合方法可能使拟合结果退化为开放的双曲线 , 引起拟合
失败 ,基于椭圆约束的代数距离拟合方法可保证拟合结果一定是椭圆 ,从而为迭代提供适当的初值 ;利用多个待估计椭圆参
数之间的相互约束 ,即使非常短的椭圆弧也可得到稳定的拟合结果 。仿真结果与实际图像应用验证了算法的有效性 。
关键词 　最小二乘拟合 　曲线拟合 　椭圆拟合
中图分类号 　O24 1. 5 　文献标识码 　A 　国家标准学科分类代码 　5 10 . 80
Fragmental
ell ipse f itting based on least
square algorithm Zou 　Yimin 　Wang 　Bo D ep a rtment of A utom at ion , S chool of I nf
an d Technology
, B eij i ng
I ns ti t ute
of Technology
, B eij i ng
100081 , Chi na
Abstract 　The f ragment al ellip se fit tin g algorit hm ba sed on lea st
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Alt hough t he geo met ric
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最小二乘椭圆拟合
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Sorry!这位大神很神秘，未开通博客呢，请浏览一下其他的吧多椭圆曲线拟合的一种新算法--《图像图形技术研究与应用(2010)》2010年
多椭圆曲线拟合的一种新算法
【摘要】：本文提出多椭圆拟合的一种新算法:首先运用边界跟踪法探测边缘图中多个椭圆目标的轮廓线,根据曲线曲率检测出轮廓线上的角点,然后使用一对角点所在弧段的数据作椭圆拟合,接着清除已拟合椭圆的数据点,重复上述步骤逐个求出椭圆。实验表明,这一方法能快速、准确地拟合出图像中的所有椭圆。
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：TP391.41【正文快照】：
1己卜台二，.「习椭圆拟合是数据处理中的一个经典问题，它在图像处理、机器视觉、模式识别等领域都有重要应用。已有的椭圆拟合方法主要包括直接最小二乘法[lj、最小平方中值法〔2〕和Kalman滤波拟合椭圆法[3〕。这些方法虽然能够拟合椭圆，但受孤立点影响很大，而且当弧段
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京公网安备75号基于最小二乘原理的平面任意位置椭圆的评价_计量标准器具_中国百科网
基于最小二乘原理的平面任意位置椭圆的评价
    摘要:给出一种基于最小二乘原理的椭圆误差的评价方法。根据平面任意位置椭圆方程的特点,用&变量代换&的手法使得复杂的非线性方程线性化。拟合计算一次完成,无需进行诸如圆、球体等拟合算法中所需的叠代循环运算。文中给出了其数学模型和具体的计算方法。1 引言现代制造业的发展,对三坐标测量机的智能化程度要求越来越高,这需要不断的对几何量测试技术和计算技术进行深入的研究。其中的一个关键问题是如何完善和充实坐标测量机软件系统,使得误差评价更具科学性和可靠性。这要求我们研究先进的数学模型和算法。三坐标测量机有点位、自定中心和扫描等多种探测模式,但无论使用何种探测模式,都是为了把被测要素表面形状信息数值化,即&采样&。因此,坐标测量机通过测量程序测到的只是一系列离散测量点的空间坐标值,而不是需要的尺寸、位置和形状误差的结果。必须经过依据一定数学模型对这些离散坐标点集进行数据处理,提取出代表该要素的几何特征量,才能得到所需的测量结果。用最小二乘法确定被测要素的原理是:假定有一理想要素使得被测要素的各点到该理想要素的距离的平方和为最小,那么该理想要素的特征参数即为所要求的被测要素的特征参数。用最小二乘法确定的被测要素具有&唯一性&,且一般都能以数学表达式描述。根据被测要素的不同,用最小二乘法导出的数学方程的复杂程度也大不相同。如被测要素为平面直线或平面时,最小二乘法导出的数学方程组是线性的;如被测要素为圆或球时,数学方程组是非线性的,但可通过变换使其线性化。椭圆是人们在测量中经常遇到的一种几何形体,对它的评价有着重要的应用价值,但目前还没有尽如人意的算法。本文通过分析平面任意位置椭圆方程的特点,巧妙地将椭圆复杂的非线性方程进行变量替换,构建了线性方程,利用最小二乘原理完成了对任意位置椭圆的评价。2 平面任意位置的椭圆方程如图1所示,处于xy平面内任意位置的椭圆可以用下列5个独立参数来唯一确定:椭圆中心坐标(x0,y0)、长轴半径a、短轴半径b、长轴与x轴的夹角&。用数学语言可将平面任意位置椭圆的方程表达为:这是一个5元4次非线性方程,从结构和形式上看都比较复杂,很难直接用它进行最小二乘椭圆拟合。作者用下述的&变量代换&方法将此复杂的非线性方程变换成线性方程。3 椭圆方程的线性化方法在圆、球体等的最小二乘拟合算法中,同样存在着非线性方程的线性化问题。一般只要假设当它们的中心坐标(x0,y0)为足够小时,忽略掉含有x0、y0的高次成分项,就可使非线性方程线性化。若(x0,y0)不是足够小,则会带来线性变换误差,这时需进行循环叠代运算,即以求得的中心坐标为新坐标系原点,对测量数据点进行坐标变换后再进行最小二乘拟合,直到求得的中心坐标为足够小为止。而对于椭圆拟合,这种算法不再适用。分析椭圆方程的系数特点可知,有些系数项中,根本不含x0、y0项,不能用传统的忽略高阶无穷小量的方法使椭圆方程线性化。本文直接利用变量代换,将复杂的非线性方程转化为精确的简单线性方程,拟合过程一次完成,无需进行诸如圆、球体等线性拟合算法所需要的叠代循环运算。该方法简单、准确且高效。作变量代换,令:显然,这是一关于a、b、c、d和e的线性方程。下面根据最小二乘原理,建立椭圆拟合的数学模型,以获取代表平面任意位置理想椭圆的5个特征参数。4 最小二乘椭圆的拟合所谓最小二乘椭圆的拟合,就是当在椭圆轮廓上的测量点数大于最少测点数5时,依据最小二乘法准则确定&最具代表性&椭圆(或称理想椭圆)的一种计算方法。也就是说,用所有测量点到理想椭圆的距离的平方和为最小这一准则来确定理想椭圆的5个参数:x0、y0、a、b和&。在计算过程中通过方程(4)先求取代换变量a、b、c、d及e的值,再利用式(3)反求椭圆的实际参数x0、y0、a、b和&。4.1 最小二乘法求解代换变量设pi(xi,yi)(i=1,2,&,n)为椭圆轮廓上的n(n&5)个测量点,平面任意位置理想椭圆方程为式(4)。根据最小二乘原理,应以求目标函数的最小值来确定参数a、b、c、d和e。由极值原理,欲使f为最小,必有由此可得下列正规方程组:用线性方程组的任何一种算法(如牛顿法),可求解得到a、b、c、d、e的值。4.2 计算理想椭圆的实际参数由式(7)解得a、b、c、d、e的值后,便可由式(3)反求得到平面任意位置椭圆的5个实际参数。4.3 椭圆形状误差关于椭圆的形状误差及其检测方法,国家标准中未给予定义和规定。作者依照圆度误差及其最小二乘评定方法,按如下所述计算椭圆的形状误差。如图2所示,以最小二乘椭圆的中心为原点、以椭圆的长、短轴分别为x、y轴建立坐标系。测量点pi(xi,yi)偏离最小二乘椭圆的偏差&ri为:5 结论为了检验算法的正确性,用计算机模拟发生具有不同几何中心位置及长短轴大小的椭圆数据,用本算法的程序对其进行拟合,其结果与理论值之差均在计算机字长所能表达的精度范围内,即用倍精度运算时达10-16级。对有100个数据点的椭圆,用pentium333mhz计算机运算,耗时约0?6~0?7ms。本文采用最小二乘原理,实现了对平面任意位置椭圆的评价,解决了坐标法测量椭圆的一个难题。实践证明,该方法速度快、准确度高。根据该算法编制程序已实际应用于三坐标测量机的软件中。参考文献[1] 钱 磊,王先逵,等.中凸变椭圆活塞外圆表面在位测量的研究[j].机械工程学报,):59-62.[2] 刘书桂,杨 芳,等.计算几何在测试计量技术中的应用[j].工程图学学报,):83-89.[3] 张国雄.三坐标测量机[m].天津:天津大学出版社,1999.基金项目:国家自然科学基金()本文作者：刘书桂, 李 蓬, 那永林
收录时间:日 19:26:43 来源:中国计量测控网 作者:点击率
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2015年微型机与应用第21期
作者：陶 城，刘军清，雷邦军，陈 鹏
　　摘 &要： 提出一种基于最小外包矩形的快速方法，该方法利用获得目标的最小外包矩形框，再求取外包矩形框的内切椭圆，该椭圆能有效反映目标的大部分运动信息。本文对该方法进行了目标拟合的有效性和实效性实验分析。分析表明，本算法得到的拟合椭圆内背景像素比例（Background Pixel Raito，BPR）相比于传统的矩形框和经典的Khachiyan椭圆拟合方法有了显著的下降，且拟合方法无需迭代运算，拟合速度仅次于传统的矩形框，比经典的Khachiyan椭圆拟合方法快3倍。本算法对于实时应用具有很好的应用价值。　　关键词： 目标跟踪；椭圆拟合；最小二乘法；；矩形拟合框0 引言　　几何形状是一种常见的目标表示方法，如椭圆、矩形等[1-2]。在跟踪过程中，拟合的几何框面积越接近真实的运动目标，就越能真实地反应运动目标的各项参数。因此，目标的拟合率是目标检测与跟踪的一个重要指标[3]。特别是在多目标跟踪应用中，若运动目标的拟合几何框偏大，可能会导致两个运动目标的拟合框有一定程度的重合，两个拟合框之间相互影响，造成获取的目标特征不够准确。反之，若拟合几何框偏小，计算出的目标特征不够完整，也会影响跟踪效果[4]。　　在目前的视频跟踪算法及应用中，矩形框是一种使用最多的目标表示方法，该方法利用目标四个方向最远边界点得到的矩形框来表示跟踪目标。这种矩形框虽然能够包含所有的目标信息点，但是往往包含较多的背景信息，因此可能造成遮挡、多目标重叠等问题[5]。针对此问题，国内外一些学者开始关注其他几何形状目标表示方法。其中，用最小面积的闭包椭圆来表示运动目标的方法受到了最多关注[6]。其原因是椭圆在很多目标表示方面（如人体、小汽车等）有着形状上的优势，不仅可以用更少的面积表示目标，而且椭圆的方向角度变化还能反映目标的一些行为动作[7]。　　最小体积的闭合椭球模型（Minimum Volume Enclosing Ellipsoids，MVEE）是求解散点的最小闭包球的一种经典模型，许多学者提出了相关的求解方法，如Khachiyan算法[8]、KY算法[9]，Todd M.J.等人提出了相关的改进方法[10]，用于降低算法的复杂度和迭代次数。　　Chaudhuri.D提出了一种闭合区域的最小边界框拟合方法，实现了对闭合区域的目标拟合最小的边界矩形框[11]。通过这种方法拟合出的矩形框可认为是目标的最小边界矩形框，不管从实际图像还是仿真图像的处理结果来看，该方法既精准又高效。　　基于以上分析，本文根据最小二乘法求得目标的最佳外接矩形框，提出了一种基于外接矩形的椭圆拟合方法，该方法针对连续的前景目标拟合不需要迭代，速度快，效率高，拟合的椭圆面积与目标本身的面积接近，且椭圆中背景像素也相对较少。因此，该方法可以很好地近似表达视频中的运动目标，并解决多目标的重合问题，对噪声点有较好的鲁棒性。1 最小外接矩形模型　　最小外接矩形不同于常见的垂直，最小外接矩形拟合过程如图1所示。具体步骤是：提取目标边界，计算目标中心，计算长短轴，寻找四个方向的最远边界点，计算出经过最远点的矩形框。　　1.1 获取目标的边界　　Sobel边缘检测器是一种常见的边缘提取工具，Sobel边缘检测器是利用特定的数字掩模图像进行滤波运算，Sobel边缘检测具有提取速度快的特点，本文利用Sobel算子提取目标的边界信息。　　1.2 计算边界的中心　　对于二维图像A，提取目标边界（xi，yi）（i=1，2…n）的中心坐标，通过以下公式计算得到：　　　　1.3 利用最小二乘法计算长短轴　　根据1.1，设经过目标中心的直线的倾斜角度为，则该直线的方程为：　　　　目标边界点（xi，yi）（i=1，2…n）到该直线的距离为：　　　　所有边界点到直线的距离平方和为：　　　　为了计算倾斜角度，令距离平方和P最小情况下的即为所求，此时对方程（4）求偏导数，当时可以取得最优解，有：　　　　先计算出最优解下的直线倾斜角度，将代入式（2），所得的直线就是经过目标A中心的最佳拟合直线，且代表目标A的长轴倾斜方向，而目标的短轴，则是经过目标A的中心且垂直于长轴的直线。　　1.4 分别找出上下左右四个方向距离长、短轴的最远点　　由式（3）、（5），令函数f（x，y）=0，将目标A的边界点（xi，yi）（i=1，2…n）分别代入到长轴、短轴直线方程，有：　　　　当f（a，b）&0时，该点位于长轴的上方；当f（a，b）&0时，该点位于长轴的下方；当f（a，b）=0时，该点刚好经过长轴直线。通过比较f（a，b）的值，可以区分开长短轴上面、下面的边界点，并找出f（a，b）的最大值和最小值，对应的点分别是pt（x1，y1），pb（x2，y2），pl（x3，y3）， & pr（x4，y4）。　　1.5 计算经过最远点且平行于矩阵轴线的直线方程　　经过最上面的点的直线方程可以表示为：　　（y-y1）-tan（x-x1）=0（6）　　此直线即为目标的上边界外接矩形框直线，同理可以计算另外三条边的外界矩形框直线方程：　　（y-y2）-tan（x-x2）=0（7）　　（y-y3）+cot（x-x3）=0（8）　　（y-y4）+cot（x-x4）=0（9）　　1.6 计算直线交点，所得的矩形框即为最佳外接矩形　　通过联立两条直线的方程，可以求出外接矩形框的顶点，联立式（6）、（8），可以求得矩形的左上交点坐标：　　　　连接外接矩形四个顶点，即可得到目标的最佳外接矩形。　　1.7 最小外接椭圆　　求取最佳外接矩形时，可以求取目标的外接矩形的最大内切椭圆，该椭圆圆心即为外接矩形中心，长轴刚好等于外接矩形的长，短轴则等于外接矩形的宽，引入坐标旋转公式：　　　　则矩形的内切椭圆即可通过参数方程表示为：　　　　其中，a为椭圆的长轴，b为椭圆的短轴，为椭圆长轴的倾斜角度。2 实验结果及分析　　本实验运行平台：Intel酷睿（i5 3470）四核处理器、8 GB内存的个人PC，计算仿真环境是MATLAB 2011a。在实验中，通过模拟多目标及实际视频序列两种输入分别比较了传统的矩形拟合框、质心法、VMEE模型中的Khachiyan算法与本文算法的拟合结果，选取椭圆大小及背景像素比例作为参考指标，分别计算了四种方法的执行效率。　　图2（a）是一幅模拟二值图像，图像中包含了部分常见的几何形状，分别统计各个目标的像素个数，并计算拟合时间以及背景像素比例。　　从图2中可以看出，（d）图中只有很少的点在椭圆外部，而椭圆内部的背景成分相比图（b）减少了很多。以目标3为例，通过计算可知，目标3的实际面积为 &7 323个像素点，图2（b）中目标3椭圆的面积为9 583个像素点，背景像素的比例为0.26，拟合时间为2.25 s；图2（c）中椭圆的面积为10 261，背景的比例为0.32，拟合时间为0.33 s，图2（d）中椭圆面积为8 913，背景比例则降为0.19，拟合时间为0.07 s。　　对视频序列进行目标拟合时，首先采用高斯混合模型对监控视频做前景检测，检测出运动目标后，对运动目标的拟合方法进行了对比分析：（1）传统矩形框拟合方法；（2）Khachiyan目标拟合方法；（3）基于质心的快速椭圆拟合方法；（4）本文算法。如图3所示。　　图3是选取停车场监控画面的某一帧，对已经检测出的运动目标运用以上算法分别进行拟合运算。画面运动目标有两个，由于两个运动目标的距离较近，图3（a）中的矩形框几乎要重叠，且包含了大量的背景像素；图3（b）中的两个椭圆已经相交，多个运动目标的拟合框若相互交叠，在跟踪过程中，两个框内的特征会相互影响，导致跟踪时不能很好地区分当前像素属于哪一个目标；而图3（c）椭圆主轴方向与目标主轴方向不一致，而且两个拟合椭圆也已经相切，并没有有效地把两个目标区分开来；图3（d）中，目标信息全部包含在椭圆之内，而且拟合椭圆相互独立，能够更有效地还原真实目标运动情况。　　表1给出了图3中运动目标的面积、各个拟合框的面积、运算时间以及本文算法中椭圆内特征点的比例。由于运动目标是不规则的，因此把运动目标的像素点数作为它的面积。其中，s0为运动目标的面积；s为拟合框的面积；r为框内运动目标点的个数占总像素数的比例；t为程序运行时间。　　从表1中可以看出，在停车场的监控画面中，无论从面积还是时间的角度考虑，传统矩形拟合方法都要优于Khachiyan算法，但是，这两种拟合框的面积也都远大于运动目标的面积。质心法虽然能获得最小的拟合椭圆，但是，其拟合率较低，损失了一部分重要信息。因此，本文提出的跟踪目标表示法在拟合框面积、运行时间以及框内目标点的比例三方面做到了较好的折中，拟合时间仅次于传统矩形拟合框，椭圆倾斜方向与目标方向一致，该方法还能解决多个运动目标因距离太近造成边界框交叠的问题。3 结论　　本文提出了一种基于最小外包矩形的快速椭圆拟合方法，该方法可以用于视频跟踪中运动目标的拟合。本算法利用最小二乘法求取运动目标的长、短轴及倾斜方向，并求取目标的最小外包矩形，截取矩形的内切椭圆即为目标的拟合椭圆。这种椭圆表示方法应用简单，不需要迭代，椭圆面积接近运动目标的实际面积，减少了拟合框中背景像素点的比例，能够避免多个运动目标在距离较近时发生的重叠问题。基于最小外包矩形的快速椭圆拟合方法能够快速拟合存在于二维图像里的运动目标，在以后的研究中，还可以探索在3D空间的目标拟合，以及存在于3D空间的散点集的拟合椭球模型。三维空间的目标拟合在三维重建领域具有十分积极的研究意义。　　参考文献　　[1] FIEGUTH P， TERZOPOULOS D. 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