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品评校花校草，体验校园广场你第一眼看到欧拉公式e^πi + 1 = 0的感觉是什么？
我的感觉是——这里面的符号都是平常定义的含义吗？
如果没学过相关知识直接看到单纯的一个公式的话估计会是题主的感觉吧，但很不巧我是后看到公式的，所以感觉是:“哦。”
第一感觉………………………………次奥这tm啥……毕竟解析延拓你也说不好它的定义是不是原来的定义……
靠！看看能不能证明
干嘛不写e^(πi)=-1呢？
嘿！五朵金花。
很可惜，先学了泰勒展开式，后看到欧拉公式。手贱的我直接把他们各自展开加一起。然后就被吓到了。欧拉大神请收下膝盖。
上帝创造的美丽。
为什么我觉得很漂亮。。。
我用常数的近似值代入这个公式得到23.14的i次方等于-1
我当时在想 谁tm这么nb发现的啊
已有帐号？
无法登录？
社交帐号登录e+i+π)^0=1 这个式子有什么特殊的含义吗,为什么很多数学家喜欢用这个公式表达爱情
孤单圣诞树2z1z
e^(iπ)=cos(π)+i*sin(π) cos(π)=-1 sin(π)=0; 所以e^(iπ)= -1 所以有e^(iπ)+1=0这是个什么公式呀
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数学中最重要的五个数间一个奇妙的关系又叫五虎将聚会这种奇妙的关系常用来表示同样奇妙的爱情
真高深哈！
除0外任何实数的0次幂不都等于1吗。这五虎将聚会可真够搞笑的。肯定还有别的原因，否则向楼上所给的e^(iπ)+1=0 的关系式不也是这五个数间的奇妙关系吗。问题在于表达了怎样所谓“奇妙”的关系
扫描下载二维码数学上最重要和最基本的几个数字是怎么凑成一桌的，这是怎么发生的？
可以先解释给我这个已经大学毕业的孩子试试
&p&欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立和三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”。形式简单，结果惊人，欧拉本人都把这个公式刻在皇家科学院的大门上，看来必须好好推敲一番。&/p&&p&&strong&1 复数&/strong&&/p&&p&在进入欧拉公式之前，我们先看一些重要的复数概念。&/p&&p&&strong&1.1 &img src=&///equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&& 的由来&/strong&&/p&&p&&img src=&///equation?tex=i%3D%5Csqrt%7B-1%7D& alt=&i=\sqrt{-1}& eeimg=&1&& ，这个就是 &img src=&///equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&& 的定义。虚数的出现，把实数数系进一步扩张，扩张到了复平面。实数轴已经被自然数、整数、有理数、无理数塞满了，虚数只好向二维要空间了。&/p&&p&可是，这是最不能让人接受的一次数系扩张，听它的名字就感觉它是“虚”的：&/p&&ul&&li&&b&从自然数扩张到整数：&/b&增加的负数可以对应“欠债、减少”&/li&&li&&b&从整数扩张到有理数：&/b&增加的分数可以对应“分割、部分”&/li&&li&&b&从有理数扩张到实数：&/b&增加的无理数可以对应“单位正方形的对角线的长度（ &img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D& alt=&\sqrt{2}& eeimg=&1&& ）”&/li&&li&&b&从实数扩张到复数：&/b&增加的虚数对应什么？&/li&&/ul&&p&虚数似乎只是让开方运算在整个复数域封闭了（即复数开方运算之后得到的仍然是复数）。&/p&&p&看起来我们没有必要去理会 &img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B-1%7D& alt=&\sqrt{-1}& eeimg=&1&& 到底等于多少，我们规定 &img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B-1%7D& alt=&\sqrt{-1}& eeimg=&1&& 没有意义就可以了嘛，就好像 &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B0%7D& alt=&\frac{1}{0}& eeimg=&1&& 一样。&/p&&p&我们来看一下，一元二次方程 &img src=&///equation?tex=ax%5E2%2Bbx%2Bc%3D0%28a%5Cneq+0%29& alt=&ax^2+bx+c=0(a\neq 0)& eeimg=&1&& 的万能公式：其根可以表示为：&img src=&///equation?tex=x%3D%5Cfrac%7B-b%5Cpm+%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D& alt=&x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}& eeimg=&1&& ，其判别式 &img src=&///equation?tex=%5CDelta+%3Db%5E2-4ac& alt=&\Delta =b^2-4ac& eeimg=&1&& 。&/p&&ul&&li&&b&&img src=&///equation?tex=%5CDelta+%3E0& alt=&\Delta &0& eeimg=&1&& ：&/b&有两个不等的实数根&/li&&li&&b&&img src=&///equation?tex=%5CDelta+%3D0& alt=&\Delta =0& eeimg=&1&& ：&/b&有两个相等的实数根&/li&&li&&b&&img src=&///equation?tex=%5CDelta+%3C0& alt=&\Delta &0& eeimg=&1&& ：&/b&有两个不同的复数根，其实规定为无意义就好了，干嘛理会这种情况？&/li&&/ul&&p&我们再看一下，一元三次方程 &img src=&///equation?tex=ax%5E3%2Bbx%5E2%2Bcx%2Bd%3D0%28a%5Cneq+0%29& alt=&ax^3+bx^2+cx+d=0(a\neq 0)& eeimg=&1&& ，一元三次方程的解太复杂了，这里写不下，大家可以参考 &a href=&///?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E4%25B8%%25AC%25A1%25E6%%25E7%25A8%258B& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&维基百科&i class=&icon-external&&&/i&&/a& ，但愿大家能够打开。&/p&&p&我们讨论一下 &img src=&///equation?tex=b%3D0& alt=&b=0& eeimg=&1&& ，此时，一元三次方程可以化为 &img src=&///equation?tex=x%5E3%2Bpx%2Bq%3D0& alt=&x^3+px+q=0& eeimg=&1&& ，其根可以表示为：&/p&&img src=&///equation?tex=+%5Cbegin%7Bcases%7D++x_1%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%28%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%29%5E2%2B%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%29%5E3%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B%28%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%29%5E2%2B%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%29%5E3%7D%7D%5C%5C+x_2%3D%5Comega+%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%28%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%29%5E2%2B%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%29%5E3%7D%7D%2B%5Comega+%5E2%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B%28%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%29%5E2%2B%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%29%5E3%7D%7D%5C%5C+x_3%3D%5Comega+%5E2%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%28%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%29%5E2%2B%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%29%5E3%7D%7D%2B%5Comega+%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B%28%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%29%5E2%2B%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%29%5E3%7D%7D+%5Cend%7Bcases%7D+& alt=& \begin{cases}
x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\ x_2=\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\omega ^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\ x_3=\omega ^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}} \end{cases} & eeimg=&1&&&p&其中 &img src=&///equation?tex=%5Comega+%3D%5Cfrac%7B-1%2B%5Csqrt%7B3%7Di%7D%7B2%7D& alt=&\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}& eeimg=&1&& 。&/p&&p&判别式为 &img src=&///equation?tex=%5CDelta+%3D%28%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%29%5E2%2B%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%29%5E3& alt=&\Delta =(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3& eeimg=&1&& ，注意观察解的形式， &img src=&///equation?tex=%5CDelta+& alt=&\Delta & eeimg=&1&& 是被包含在根式里面的。&/p&&ul&&li&&b&&img src=&///equation?tex=%5CDelta+%3E0& alt=&\Delta &0& eeimg=&1&& ：&/b&有一个实数根和两个复数根&/li&&li&&b&&img src=&///equation?tex=%5CDelta+%3D0& alt=&\Delta =0& eeimg=&1&& ：&/b&有三个实数根，当 &img src=&///equation?tex=p%3Dq%3D0& alt=&p=q=0& eeimg=&1&& ，根为0，当 &img src=&///equation?tex=p%2Cq%5Cneq+0& alt=&p,q\neq 0& eeimg=&1&& ，三个根里面有两个相等&/li&&li&&b&&img src=&///equation?tex=%5CDelta+%3C0& alt=&\Delta &0& eeimg=&1&& ：&/b&有三个不等的实根！懵了，要通过复数才能求得实根？&/li&&/ul&&img src=&/45ad44d6ff91df14f2cf4_b.png& data-rawwidth=&825& data-rawheight=&571& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&825& data-original=&/45ad44d6ff91df14f2cf4_r.png&&&p&要想求解三次方程的根，就绕不开复数了吗？后来虽然发现可以在判别式为负的时候通过三角函数计算得到实根（谢谢匿名网友勘误），但是在当时并不知道，并且开始思考复数到底是什么？&/p&&p&我们认为虚数可有可无，虚数却实力刷了存在感。虚数确实没有现实的对应物，只在形式上被定义，但又必不可少。数学界慢慢接受了复数的存在，并且成为重要的分支。&/p&&p&详细的虚数由来可以看这篇科普文章：&a href=&/question//answer/& class=&internal&&虚数 i 是真实存在的吗？ - 马同学的回答&/a&&/p&&p&&strong&1.2 复平面上的单位圆&/strong&&/p&&p&在复平面上画一个单位圆，单位圆上的点可以用三角函数来表示：&img src=&/2d3aceb020ebab_b.png& data-rawwidth=&618& data-rawheight=&568& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&618& data-original=&/2d3aceb020ebab_r.png&&&img src=&/2128fcfc98f51ad2b1bda727e9ac2d1f_b.png& data-rawwidth=&690& data-rawheight=&568& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&690& data-original=&/2128fcfc98f51ad2b1bda727e9ac2d1f_r.png&&&/p&&p&我们来动手玩玩单位圆：&/p&&blockquote&&p&&img src=&/5ab916ed68c93e611b4d8b1ec6377405_b.png& data-rawwidth=&467& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&467& data-original=&/5ab916ed68c93e611b4d8b1ec6377405_r.png&&此处有互动内容，需要流量较大，最好有wifi处打开，土豪请随意。&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///madocs/8.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&点击此处前往操作。&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&/blockquote&&p&&strong&1.3 复平面上乘法的几何意义&/strong&&/p&&img src=&/df432f5cf91a47aaeced070_b.png& data-rawwidth=&599& data-rawheight=&568& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&599& data-original=&/df432f5cf91a47aaeced070_r.png&&&br&&p&同样来感受一下：&/p&&blockquote&&img src=&/7abf58fba10fad9f79b19a_b.png& data-rawwidth=&529& data-rawheight=&401& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&529& data-original=&/7abf58fba10fad9f79b19a_r.png&&&p&此处有互动内容，需要流量较大，最好有wifi处打开，土豪请随意。&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///madocs/8.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&点击此处前往操作。&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&/blockquote&&p&&strong&2 欧拉公式&/strong&&/p&&blockquote&&b&对于 &img src=&///equation?tex=%5Ctheta+%5Cin+%5Cmathbb+%7BR%7D& alt=&\theta \in \mathbb {R}& eeimg=&1&& ，有 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%5Ctheta+%7D%3Dcos%5Ctheta+%2Bisin%5Ctheta+& alt=&e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta & eeimg=&1&& 。&/b&&p&----维基百科&/p&&/blockquote&&p&欧拉公式在形式上很简单，是怎么发现的呢？&/p&&p&&strong&2.1 欧拉公式与泰勒公式&/strong&&/p&&p&关于泰勒公式可以参看这篇详尽的科普文章：&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&如何通俗地解释泰勒公式？&/a& 。&/p&&p&欧拉最早是通过泰勒公式观察出欧拉公式的：&/p&&img src=&///equation?tex=e%5E+x%3D1%2Bx%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%21%7Dx%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%21%7Dx%5E3%2B%5Ccdots+& alt=&e^ x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots & eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=sin%28x%29%3Dx-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%21%7Dx%5E3%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B5%21%7Dx%5E5%2B%5Ccdots+& alt=&sin(x)=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+\cdots & eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=cos%28x%29%3D1-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%21%7Dx%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%21%7Dx%5E4%2B%5Ccdots+& alt=&cos(x)=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+\cdots & eeimg=&1&&&p&将 &img src=&///equation?tex=x%3Di%5Ctheta+& alt=&x=i\theta & eeimg=&1&& 代入 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 可得：&/p&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D++e%5E%7Bi%5Ctheta+%7D+%26++%3D+1+%2B+i%5Ctheta+%2B+%5Cfrac%7B%28i%5Ctheta+%29%5E2%7D%7B2%21%7D+%2B+%5Cfrac%7B%28i%5Ctheta+%29%5E3%7D%7B3%21%7D+%2B+%5Cfrac%7B%28i%5Ctheta+%29%5E4%7D%7B4%21%7D+%2B+%5Cfrac%7B%28i%5Ctheta+%29%5E5%7D%7B5%21%7D+%2B+%5Cfrac%7B%28i%5Ctheta+%29%5E6%7D%7B6%21%7D+%2B+%5Cfrac%7B%28i%5Ctheta+%29%5E7%7D%7B7%21%7D+%2B+%5Cfrac%7B%28i%5Ctheta+%29%5E8%7D%7B8%21%7D+%2B+%5Ccdots+%5C%5C+%26++%3D+1+%2B+i%5Ctheta+-+%5Cfrac%7B%5Ctheta+%5E2%7D%7B2%21%7D+-+%5Cfrac%7Bi%5Ctheta+%5E3%7D%7B3%21%7D+%2B+%5Cfrac%7B%5Ctheta+%5E4%7D%7B4%21%7D+%2B+%5Cfrac%7Bi%5Ctheta+%5E5%7D%7B5%21%7D+-+%5Cfrac%7B%5Ctheta+%5E6%7D%7B6%21%7D+-+%5Cfrac%7Bi%5Ctheta+%5E7%7D%7B7%21%7D+%2B+%5Cfrac%7B%5Ctheta+%5E8%7D%7B8%21%7D+%2B+%5Ccdots+%5C%5C+%26++%3D+%5Cleft%28+1+-+%5Cfrac%7B%5Ctheta+%5E2%7D%7B2%21%7D+%2B+%5Cfrac%7B%5Ctheta+%5E4%7D%7B4%21%7D+-+%5Cfrac%7B%5Ctheta+%5E6%7D%7B6%21%7D+%2B+%5Cfrac%7B%5Ctheta+%5E8%7D%7B8%21%7D+-+%5Ccdots+%5Cright%29+%2B+i%5Cleft%28%5Ctheta+-%5Cfrac%7B%5Ctheta+%5E3%7D%7B3%21%7D+%2B+%5Cfrac%7B%5Ctheta+%5E5%7D%7B5%21%7D+-+%5Cfrac%7B%5Ctheta+%5E7%7D%7B7%21%7D+%2B+%5Ccdots+%5Cright%29+%5C%5C+%26++%3D+%5Ccos+%5Ctheta+%2B+i%5Csin+%5Ctheta+%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align}
e^{i\theta } &
= 1 + i\theta + \frac{(i\theta )^2}{2!} + \frac{(i\theta )^3}{3!} + \frac{(i\theta )^4}{4!} + \frac{(i\theta )^5}{5!} + \frac{(i\theta )^6}{6!} + \frac{(i\theta )^7}{7!} + \frac{(i\theta )^8}{8!} + \cdots \\ &
= 1 + i\theta - \frac{\theta ^2}{2!} - \frac{i\theta ^3}{3!} + \frac{\theta ^4}{4!} + \frac{i\theta ^5}{5!} - \frac{\theta ^6}{6!} - \frac{i\theta ^7}{7!} + \frac{\theta ^8}{8!} + \cdots \\ &
= \left( 1 - \frac{\theta ^2}{2!} + \frac{\theta ^4}{4!} - \frac{\theta ^6}{6!} + \frac{\theta ^8}{8!} - \cdots \right) + i\left(\theta -\frac{\theta ^3}{3!} + \frac{\theta ^5}{5!} - \frac{\theta ^7}{7!} + \cdots \right) \\ &
= \cos \theta + i\sin \theta \end{align}& eeimg=&1&&&p&那欧拉公式怎么可以有一个直观的理解呢？&/p&&p&&strong&2.2 对同一个点不同的描述方式&/strong&&/p&&img src=&/86e9df7b8_b.png& data-rawwidth=&736& data-rawheight=&582& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&736& data-original=&/86e9df7b8_r.png&&&p&我们可以把 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%5Ctheta+%7D& alt=&e^{i\theta }& eeimg=&1&& 看作通过单位圆的圆周运动来描述单位圆上的点， &img src=&///equation?tex=cos%5Ctheta+%2Bisin%5Ctheta+& alt=&cos\theta +isin\theta & eeimg=&1&& 通过复平面的坐标来描述单位圆上的点，是同一个点不同的描述方式，所以有 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%5Ctheta+%7D%3Dcos%5Ctheta+%2Bisin%5Ctheta+& alt=&e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta & eeimg=&1&& 。&/p&&p&&strong&2.3 为什么 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%5Ctheta+%7D& alt=&e^{i\theta }& eeimg=&1&& 是圆周运动？&/strong&&/p&&blockquote&&b&定义 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 为： &img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+e%3D%5Clim+_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty+%7D%281%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%29%5E+n& alt=&\displaystyle e=\lim _{n \to \infty }(1+\frac{1}{n})^ n& eeimg=&1&&&/b&&p&----维基百科&/p&&/blockquote&&p&这是实数域上的定义，可以推广到复数域 &img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+e%5E+i%3D%5Clim+_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty+%7D%281%2B%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%29%5E+n& alt=&\displaystyle e^ i=\lim _{n \to \infty }(1+\frac{i}{n})^ n& eeimg=&1&& 。根据之前对复数乘法的描述，乘上 &img src=&///equation?tex=%281%2B%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%29& alt=&(1+\frac{i}{n})& eeimg=&1&& 是进行伸缩和旋转运动， &img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 取值不同，伸缩和旋转的幅度不同。&/p&&p&我们来看看 &img src=&///equation?tex=e%5E+i%3De%5E%7Bi%5Ctimes+1%7D& alt=&e^ i=e^{i\times 1}& eeimg=&1&& 如何在圆周上完成1弧度的圆周运动的：&img src=&/b6d4c3b3f0c24f7c2dd386_b.png& data-rawwidth=&599& data-rawheight=&568& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&599& data-original=&/b6d4c3b3f0c24f7c2dd386_r.png&&&img src=&/5ff161a13ffe2a_b.png& data-rawwidth=&599& data-rawheight=&568& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&599& data-original=&/5ff161a13ffe2a_r.png&&&img src=&/ac8fdb10717fea1ee53cedab00c933b6_b.png& data-rawwidth=&644& data-rawheight=&568& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&644& data-original=&/ac8fdb10717fea1ee53cedab00c933b6_r.png&&&/p&&p&从图上可以推出 &img src=&///equation?tex=n%5Cto+%5Cinfty+& alt=&n\to \infty & eeimg=&1&& 时， &img src=&///equation?tex=e%5E+i& alt=&e^ i& eeimg=&1&& 在单位圆上转动了1弧度。&/p&&p&再来看看 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%5Cpi+%7D& alt=&e^{i\pi }& eeimg=&1&& ，这个应该是在单位圆上转动 &img src=&///equation?tex=%5Cpi+& alt=&\pi & eeimg=&1&& 弧度：&img src=&/4fd89aeae2f3e_b.png& data-rawwidth=&599& data-rawheight=&568& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&599& data-original=&/4fd89aeae2f3e_r.png&&&img src=&/f8c2f2e525a9b599afbdfdca572255ba_b.png& data-rawwidth=&645& data-rawheight=&568& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&645& data-original=&/f8c2f2e525a9b599afbdfdca572255ba_r.png&&&/p&&p&看来 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%5Ctheta+%7D& alt=&e^{i\theta }& eeimg=&1&& 确实是单位圆周上的圆周运动。&/p&&p&动手来看看 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%5Ctheta+%7D& alt=&e^{i\theta }& eeimg=&1&& 是如何运动的吧：&br&&/p&&blockquote&&img src=&/c8fc46d06cdeef6e0b0a80_b.png& data-rawwidth=&517& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&517& data-original=&/c8fc46d06cdeef6e0b0a80_r.png&&&p&此处有互动内容，需要流量较大，最好有wifi处打开，土豪请随意。&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///madocs/8.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&点击此处前往操作。&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&/blockquote&&p&&strong&2.4 &img src=&///equation?tex=2%5E+i& alt=&2^ i& eeimg=&1&& 的几何含义是什么？&/strong&&/p&&p&&img src=&///equation?tex=2%5E+i& alt=&2^ i& eeimg=&1&& 看不出来有什么几何含义，不过我们稍微做个变换 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Biln2%7D& alt=&e^{iln2}& eeimg=&1&& ，几何含义还是挺明显的，沿圆周运动 &img src=&///equation?tex=ln2& alt=&ln2& eeimg=&1&& 弧度。&/p&&p&&strong&2.5 欧拉公式与三角函数&/strong&&/p&&p&根据欧拉公式 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%5Ctheta+%7D+%3D+%5Ccos+%5Ctheta+%2Bi%5Csin+%5Ctheta+& alt=&e^{i\theta } = \cos \theta +i\sin \theta & eeimg=&1&& ，可以轻易推出：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Csin+%5Ctheta+%3D%7B%5Cfrac%7Be%5E%7B%7Bi%5Ctheta+%7D%7D-e%5E%7B%7B-i%5Ctheta+%7D%7D%7D%7B2i%7D%7D& alt=&\sin \theta ={\frac{e^{{i\theta }}-e^{{-i\theta }}}{2i}}& eeimg=&1&& 和 &img src=&///equation?tex=%5Ccos+%5Ctheta+%3D%7B%5Cfrac%7Be%5E%7B%7Bi%5Ctheta+%7D%7D%2Be%5E%7B%7B-i%5Ctheta+%7D%7D%7D%7B2%7D%7D& alt=&\cos \theta ={\frac{e^{{i\theta }}+e^{{-i\theta }}}{2}}& eeimg=&1&& 。三角函数定义域被扩大到了复数域。&/p&&p&我们把复数当作向量来看待，复数的实部是 &img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 方向，虚部是 &img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 方向，很容易观察出其几何意义。&img src=&/bcda4ffbf1cbd_b.png& data-rawwidth=&637& data-rawheight=&582& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&637& data-original=&/bcda4ffbf1cbd_r.png&&&img src=&/e3f897dd16404dcd7e23f23cc482514c_b.png& data-rawwidth=&613& data-rawheight=&582& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&613& data-original=&/e3f897dd16404dcd7e23f23cc482514c_r.png&&&br&&/p&&p&&strong&2.6 欧拉恒等式&/strong&&/p&&p&当 &img src=&///equation?tex=%5Ctheta+%3D%5Cpi+& alt=&\theta =\pi & eeimg=&1&& 的时候，代入欧拉公式：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%5Cpi+%7D%3Dcos%5Cpi+%2Bisin%5Cpi+%3D-1%5Cimplies+e%5E%7Bi%5Cpi+%7D%2B1%3D0& alt=&e^{i\pi }=cos\pi +isin\pi =-1\implies e^{i\pi }+1=0& eeimg=&1&& 。&/p&&p&&img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%5Cpi+%7D%2B1%3D0& alt=&e^{i\pi }+1=0& eeimg=&1&& 就是欧拉恒等式，被誉为上帝公式， &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 、 &img src=&///equation?tex=%5Cpi+& alt=&\pi & eeimg=&1&& 、 &img src=&///equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&& 、乘法单位元1、加法单位元0，这五个重要的数学元素全部被包含在内，在数学爱好者眼里，仿佛一行诗道尽了数学的美好。&/p&
欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立和三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”。形式简单，结果惊人，欧拉本人都把这个公式刻在皇家科学院的大门上，看来必须好好推敲一番。1 复数在进入欧拉公式之前，我们先看一些重要的复数概念。…
(1＋1/x)^x　接近 e 　（x越来越大）&br&so&br&(1＋n/x)^x　接近 e^n　（x越来越大）&br&so&br&(1＋i&img src=&///equation?tex=%5Cpi+& alt=&\pi & eeimg=&1&&/x)^x　接近 e^&img src=&///equation?tex=%5Cpi+& alt=&\pi & eeimg=&1&&i 　（x越来越大）&br&&br&那(1 + i&img src=&///equation?tex=%5Cpi+& alt=&\pi & eeimg=&1&&/x)^x　是什么？&br&我们可以试一下把x慢慢加大。&br&&br&(1＋i&img src=&///equation?tex=%5Cpi+& alt=&\pi & eeimg=&1&&/10)^10 = -1.59 + 0.16i&br&(1＋i&img src=&///equation?tex=%5Cpi+& alt=&\pi & eeimg=&1&&/100)^100 =
-1.05 + 0.001i&br&(1＋i&img src=&///equation?tex=%5Cpi+& alt=&\pi & eeimg=&1&&/ = -1.005 + 0.00001i&br&等等&br&&br&当然越发接近－１&br&&br&（用complex plane的几何也能看出来这趋势的意义所在，１到－１就在同一个半径为１的半圈上，而且是&img src=&///equation?tex=%5Cpi+& alt=&\pi & eeimg=&1&&的距离，因为这半圈圆周本来就是pi。你只是把半圈切成Ｎ片然后把Ｎ个小片加在一起，当然越发接近走半圈。。。）&br&&br&so&br&e^&img src=&///equation?tex=%5Cpi+& alt=&\pi & eeimg=&1&&i　=
(1＋1/x)^x 接近 e （x越来越大） so (1＋n/x)^x 接近 e^n （x越来越大） so (1＋i\pi /x)^x 接近 e^\pi i （x越来越大） 那(1 + i\pi /x)^x 是什么？ 我们可以试一下把x慢慢加大。 (1＋i\pi /10)^10 = -1.59 + 0.16i (1＋i\pi /100)^100 = -1.05 + 0.001i …
已有帐号？
无法登录？
社交帐号登录关于e^πi+1=0的问题e^πi+1=0e有他自己的定义x→ (1+1/x)^xπ有他自己的定义 ⊙周长和直径的比i有他自己的定义 根号-1他们各自都有自己独立的定义那么这个等式可以归结于巧合吗?为什么
七殿哥哥0000
当然是巧合,不过也不是那么巧,因为他们在他们的定义之下,行为已经很不寻常.比如:e的指数函数的导数是自身,这导致其马克劳林展开项刚好就是x^n/n!.π的定义简单了,但是使得sin和cos都以2π为周期i的定义使得它是1的4次单位虚根,所以i的幂以4为周期有了这些事实,这个式子还有什么巧的吗?
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