在三角形ABC中,BE把三角形分成两个相似三角形,相似系数为根号3,求这个三角形三个内角的度数.
这厮TA0052
B=90度,A、C分别为30度、60度第一步：证明三角形ABE是直角三角形三角形ABE与BCE相似,则对角相等,则角BEC必与三角形ABE中的一个内角相等,另角BEC+角BEA=180度,由于三角形ABE内角和为180度,则只有角BEC=角BEA时,角BEC+角BEA=180度才有可能成立,易得角BEC=角BEA=90度因三角形ABE与BCE相似,相似度=根号3第二步：计算角度假设BEC：AEB=根号3,边AE=1,则它的相似三角形有边为根号3,即BE=根号3,由相似性质,可得CE=3,角A=60度,角C=30度,角B=90度类似的,如果AEB：BEC=根号3,角B=60度,角A=30度,角B=90度
为您推荐：
其他类似问题
因∠AEB>∠C,∠A<∠BEC,相似系数为根号3, 故△ABE∽△BCE,∴∠AEB=∠BEC=90°，∠ABE=∠BCE,∴∠ABC=90°。当AB/BC=√3时C=60°，A=30°。当BC/AB=√3时C=30°，A=60°。
如图角AEB=角ECB+角EBC（三角形外角）由此可得出：角AEB不等这两个角中的任何一个角故:角AEB只能＝角CEB＝90度现在来分两种情况（1）假设角A=角C，侧三有形ABC为等腰三角形，BE则是中垂线，那么分成的两个三角形为全等三角形，与已知的相似第数不符。（2）角C＝角ABE侧有ABE相似于BCE，AB：BC＝根3&&&&&（具体过程略）&&&最后得出三解形ABC为直角三角形，三个角为30、60、90度。
扫描下载二维码Hi~亲，欢迎来到题谷网,新用户注册7天内每天完成登录送积分一个，7天后赠积分33个，购买课程服务可抵相同金额现金哦~
意见详细错误描述：
教师讲解错误
错误详细描述：
当前位置：>>>
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，作AB的垂直平分线DE，垂足为D，交AC于点E．连接BE，则EA＝EB，∴ ∠EBA＝∠A＝15°．由三角形的外角定理可得∠BEC＝30°．若设BC＝a，则EB＝________，AE＝________，EC＝________．请利用上面的信息求tan 15°的值．（结果不必化简）
主讲：苏海涛
【思路分析】
由线段垂直平分线的性质推知AE=BE，则根据等腰三角形的性质、三角形外角定理推知，∠BEC=30°，在Rt△BCE中，应用特殊角的三角函数值即可得到BE、EC、AE的值．在Rt△ABC中，利用三角函数的定义，直接代入相应数值，即可求得tan15°．
【解析过程】
解：如图，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE．∵在Rt△BCE中，tan∠BEC=30°，BC=a．∴EB= =2a，AE=EB=2a．∴EC= BC tan∠BEC= BC tan 30°= a，又∵在Rt△ABC中，BC=a，AC= AE+ EC=2a+a，∴tan∠A= =，故tan 15°=．
2a；2a；a；tan 15°=．
本题考查了含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
给视频打分
招商电话：010-
地址：北京市西城区新街口外大街28号A座4层409
扫一扫有惊喜！
COPYRIGHT (C)
INC. ALL RIGHTS RESERVED. 题谷教育 版权所有
京ICP备号 京公网安备三角形的重点知识_图文_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
评价文档：
三角形的重点知识
上传于||暂无简介
大小：351.00KB
登录百度文库，专享文档复制特权，财富值每天免费拿！
你可能喜欢【备战期末】“三角形”作辅助线方法大全，强烈推荐！
【备战期末】“三角形”作辅助线方法大全，强烈推荐！
数姐有话对于初二的同学来说，三角形与全等三角形，才是同学们正式接触几何，而在这块内容中，辅助线又是必不可少的，所以，希望同学们好好学习这块内容，对于以后学习更难的几何知识打下基础！1在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知D为△ABC内任一点，求证：∠BDC＞∠BAC证明：（一）：延长BD交AC于E，∵∠BDC是△EDC的外角，∴∠BDC＞∠DEC同理：∠DEC＞∠BAC∴∠BDC＞∠BAC证法（二）：连结AD，并延长交BC于F∵∠BDF是△ABD的外角，∴∠BDF＞∠BAD同理∠CDF＞∠CAD∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD即：∠BDC＞∠BAC2有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.例：已知，如图，AD为△ABC的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE＋CF＞EF证明：在DA上截取DN = DB，连结NE、NF，则DN= DC
在△BDE和△NDE中，DN = DB∠1 = ∠2ED = ED∴△BDE≌△NDE∴BE = NE同理可证：CF = NF在△EFN中，EN＋FN＞EF∴BE＋CF＞EF3有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD为△ABC的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE＋CF＞EF证明：延长ED到M，使DM = DE，连结CM、FM△BDE和△CDM中，BD = CD∠1 = ∠5ED = MD∴△BDE≌△CDM∴CM = BE又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4 ∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180°∴∠3 ＋∠2 = 90°即∠EDF = 90°∴∠FDM = ∠EDF = 90°△EDF和△MDF中ED = MD∠FDM = ∠EDFDF = DF∴△EDF≌△MDF∴EF = MF∵在△CMF中，CF＋CM ＞MFBE＋CF＞EF（此题也可加倍FD，证法同上）4在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.例：已知，如图，AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD证明：延长AD至E，使DE = AD，连结BE∵AD为△ABC的中线∴BD = CD在△ACD和△EBD中BD = CD∠1 = ∠2AD = ED∴△ACD≌△EBD∵△ABE中有AB＋BE＞AE∴AB＋AC＞2AD5截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法：①a＞b②a±b = c③a±b = c±d例：已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC证明：⑴截长法：在AB上截取AN = AC，连结PN在△APN和△APC中，AN = AC∠1 = ∠2AP = AP∴△APN≌△APC∴PC = PN∵△BPN中有PB－PC＜BN∴PB－PC＜AB－AC⑵补短法：延长AC至M，使AM = AB，连结PM在△ABP和△AMP中AB = AM∠1 = ∠2AP = AP∴△ABP≌△AMP∴PB = PM又∵在△PCM中有CM ＞PM－PC∴AB－AC＞PB－PC练习：1.已知，在△ABC中，∠B = 60°,AD、CE是△ABC的角平分线,并且它们交于点O求证：AC = AE＋CD2.已知，如图，AB∥CD，∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4.求证：BC = AB＋CD6证明两条线段相等的步骤：①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。②若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等.③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.例:如图，已知，BE、CD相交于F，∠B = ∠C，∠1 = ∠2，求证：DF = EF证明：∵∠ADF =∠B＋∠3
∠AEF = ∠C＋∠4又∵∠3 = ∠4∠B = ∠C∴∠ADF = ∠AEF在△ADF和△AEF中∠ADF = ∠AEF∠1 = ∠2AF = AF∴△ADF≌△AEF∴DF = EF7在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等.例：已知，如图Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，过A作任一条直线AN，作BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，求证：DE = BD－CE证明：∵∠BAC = 90° BD⊥AN∴∠1＋∠2 = 90o
∠1＋∠3 = 90°∴∠2 = ∠3∵BD⊥AN
CE⊥AN∴∠BDA =∠AEC = 90°在△ABD和△CAE中，∠BDA =∠AEC∠2 = ∠3AB = AC∴△ABD≌△CAE∴BD = AE且AD = CE∴AE－AD = BD－CE∴DE = BD－CE8三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.例：AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于F，BE⊥AD的延长线于E求证：BE = CF证明：（略）9条件不足时延长已知边构造三角形.例：已知AC = BD，AD⊥AC于A，BCBD于B求证：AD = BC证明：分别延长DA、CB交于点E∵AD⊥AC
BC⊥BD∴∠CAE = ∠DBE = 90°在△DBE和△CAE中∠DBE =∠CAEBD = AC∠E =∠E∴△DBE≌△CAE∴ED = EC，EB = EA∴ED－EA = EC－ EB∴AD = BC10连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题.例：已知，如图，AB∥CD，AD∥BC求证：AB = CD证明：连结AC（或BD）∵AB∥CD，AD∥BC∴∠1 = ∠2在△ABC和△CDA中，∠1 = ∠2AC = CA∠3 = ∠4∴△ABC≌△CDA∴AB = CD练习：已知，如图，AB = DC，AD = BC，DE = BF，求证：BE = DF11有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”.例：已知，如图，在Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，∠1 = ∠2 ，CE⊥BD的延长线于E
求证：BD = 2CE证明：分别延长BA、CE交于F∵BE⊥CF∴∠BEF =∠BEC = 90°在△BEF和△BEC中∠1 = ∠2BE
BE∠BEF =∠BEC∴△BEF≌△BEC∴CE = FE =1/2CF∵∠BAC = 90° , BE⊥CF∴∠BAC
= ∠CAF = 90°∠1＋∠BDA = 90°∠1＋∠BFC = 90°∠BDA = ∠BFC在△ABD和△ACF中∠BAC
= ∠CAF∠BDA = ∠BFCAB = AC∴△ABD≌△ACF∴BD = CF∴BD = 2CE练习：已知，如图，∠ACB = 3∠B，∠1 =∠2,CD⊥AD于D，求证：AB－AC = 2CD12当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形.例：已知，如图，AC、BD相交于O，且AB = DC，AC = BD，求证：∠A = ∠D证明：（连结BC，过程略）13当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件.例：已知，如图，AB = DC，∠A = ∠D求证：∠ABC = ∠DCB证明：分别取AD、BC中点N、M，连结NB、NM、NC（过程略）14有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.例：已知，如图，∠1 = ∠2 ，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC = 2BD，求证：∠BAP＋∠BCP = 180°证明：过P作PE⊥BA于E∵PD⊥BC，∠1 = ∠2∴PE = PD在Rt△BPE和Rt△BPD中BP = BPPE = PD∴Rt△BPE≌Rt△BPD∴BE = BD∵AB＋BC = 2BD，BC = CD＋BD，AB = BE－AE∴AE = CD∵PE⊥BE，PD⊥BC∠PEB =∠PDC = 90°在△PEA和△PDC中PE = PD∠PEB =∠PDCAE =CD∴△PEA≌△PDC∴∠PCB = ∠EAP∵∠BAP＋∠EAP = 180°∴∠BAP＋∠BCP = 180°练习：1.已知，如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们交于P，PD⊥BM于M，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线2. 已知，如图，在△ABC中，∠ABC =100o，∠ACB = 20°，CE是∠ACB的平分线，D是AC上一点，若∠CBD = 20°，求∠CED的度数。15有等腰三角形时常用的辅助线⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，求证：∠BAC = 2∠DBC证明：（方法一）作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则∠1 = ∠2 = 1/2∠BAC又∵AB = AC∴AE⊥BC∴∠2＋∠ACB = 90°∵BD⊥AC∴∠DBC＋∠ACB = 90°∴∠2 = ∠DBC∴∠BAC = 2∠DBC（方法二）过A作AE⊥BC于E（过程略）（方法三）取BC中点E，连结AE（过程略）⑵有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE = DF证明：连结AD.∵D为BC中点，∴BD = CD又∵AB =AC∴AD平分∠BAC∵DE⊥AB，DF⊥AC∴DE = DF⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE = AF，求证：EF⊥BC证明：延长BE到N，使AN = AB,连结CN,则AB = AN = AC∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC = 180°∴2∠BCA＋2∠ACN = 180°∴∠BCA＋∠ACN = 90°即∠BCN = 90°∴NC⊥BC∵AE = AF∴∠AEF = ∠AFE又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC∴∠AEF = ∠ANC∴EF∥NC∴EF⊥BC⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F求证：DF = EF证明：（证法一）过D作DN∥AE，交BC于N，则∠DNB = ∠ACB，∠NDE = ∠E，∵AB = AC，∴∠B = ∠ACB∴∠B =∠DNB∴BD = DN又∵BD = CE∴DN = EC在△DNF和△ECF中∠1 = ∠2∠NDF =∠EDN = EC∴△DNF≌△ECF∴DF = EF（证法二）过E作EM∥AB交BC延长线于M,则∠EMB =∠B（过程略）⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，△ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延长线上，且AD = AE，连结DE求证：DE⊥BC证明：（证法一）过点E作EF∥BC交AB于F，则∠AFE =∠B∠AEF =∠C∵AB = AC∴∠B =∠C∴∠AFE =∠AEF∵AD = AE∴∠AED =∠ADE又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE
= 180o∴2∠AEF＋2∠AED = 90o即∠FED = 90o∴DE⊥FE又∵EF∥BC∴DE⊥BC（证法二）过点D作DN∥BC交CA的延长线于N，（过程略）（证法三）过点A作AM∥BC交DE于M，（过程略）⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC
,P为形内一点，若∠PBC = 10o
∠PCB = 30o
求∠PAB的度数.解法一：以AB为一边作等边三角形，连结CE则∠BAE =∠ABE = 60oAE = AB = BE∵AB = AC∴AE = AC
∠ABC =∠ACB∴∠AEC =∠ACE∵∠EAC =∠BAC－∠BAE
= 80°－60° = 20°∴∠ACE = 1/2(180°－∠EAC)= 80°∵∠ACB= 1/2(180°－∠BAC)= 50°∴∠BCE =∠ACE－∠ACB
= 80°－50° = 30°∵∠PCB = 30°∴∠PCB = ∠BCE∵∠ABC =∠ACB = 50°, ∠ABE = 60°∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60°－50° =10°∵∠PBC = 10°∴∠PBC = ∠EBC在△PBC和△EBC中∠PBC = ∠EBCBC = BC∠PCB = ∠BCE∴△PBC≌△EBC∴BP = BE∵AB = BE∴AB = BP∴∠BAP =∠BPA∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50°－10° = 40°∴∠PAB = 1/2(180°－∠ABP)= 70°解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。解法三：以BC为一边作等边三角形△BCE，连结AE,则EB = EC = BC，∠BEC =∠EBC = 60o∵EB = EC∴E在BC的中垂线上同理A在BC的中垂线上∴EA所在的直线是BC的中垂线∴EA⊥BC∠AEB = 1/2∠BEC = 30° =∠PCB由解法一知：∠ABC = 50°∴∠ABE = ∠EBC－∠ABC = 10°=∠PBC∵∠ABE =∠PBC,BE = BC,∠AEB =∠PCB∴△ABE≌△PBC∴AB = BP∴∠BAP =∠BPA∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50°－10°= 40°∴∠PAB = 1/2(180o－∠ABP) = 1/2(180°－40°)= 70°16有二倍角时常用的辅助线⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角例：已知，如图，在△ABC中，∠1 = ∠2，∠ABC = 2∠C，求证：AB＋BD = AC证明：延长AB到E，使BE = BD，连结DE则∠BED = ∠BDE∵∠ABD =∠E＋∠BDE∴∠ABC =2∠E∵∠ABC = 2∠C∴∠E = ∠C在△AED和△ACD中∠E = ∠C∠1 = ∠2AD = AD∴△AED≌△ACD∴AC = AE∵AE = AB＋BE∴AC = AB＋BE即AB＋BD = AC⑵平分二倍角例：已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC求证：∠ABC = ∠ACB证明：作∠BAC的平分线AE交BC于E，则∠BAE = ∠CAE = ∠DBC∵BD⊥AC∴∠CBD ＋∠C = 90o∴∠CAE＋∠C= 90o∵∠AEC= 180o－∠CAE－∠C= 90o∴AE⊥BC∴∠ABC＋∠BAE = 90o∵∠CAE＋∠C= 90o∠BAE = ∠CAE∴∠ABC = ∠ACB⑶加倍小角例：已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC求证：∠ABC = ∠ACB证明：作∠FBD =∠DBC,BF交AC于F（过程略）17有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来.例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120o，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E求证：BF =1/2FC证明：连结AF，则AF = BF∴∠B =∠FAB∵AB = AC∴∠B =∠C∵∠BAC = 120o∴∠B =∠C∠BAC =1/2(180°－∠BAC) = 30°∴∠FAB = 30°∴∠FAC =∠BAC－∠FAB = 120°－30° =90°又∵∠C = 30°∴AF = 1/2FC∴BF =1/2FC练习：已知，如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC延长线于N求证：BM = CN18有垂直时常构造垂直平分线.例：已知，如图，在△ABC中，∠B =2∠C，AD⊥BC于D求证：CD = AB＋BD证明：（一）在CD上截取DE = DB，连结AE，则AB = AE∴∠B =∠AEB∵∠B = 2∠C∴∠AEB = 2∠C又∵∠AEB = ∠C＋∠EAC∴∠C =∠EAC∴AE = CE又∵CD = DE＋CE∴CD = BD＋AB（二）延长CB到F，使DF = DC，连结AF则AF =AC（过程略）19有中点时常构造垂直平分线.例：已知，如图，在△ABC中，BC = 2AB, ∠ABC = 2∠C,BD = CD求证：△ABC为直角三角形证明：过D作DE⊥BC，交AC于E，连结BE，则BE = CE，∴∠C =∠EBC∵∠ABC = 2∠C∴∠ABE =∠EBC∵BC = 2AB，BD = CD∴BD = AB在△ABE和△DBE中AB = BD∠ABE =∠EBCBE = BE∴△ABE≌△DBE∴∠BAE = ∠BDE∵∠BDE = 90°∴∠BAE = 90°即△ABC为直角三角形20当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题.例：已知，如图，在△ABC中，∠A = 90°，DE为BC的垂直平分线求证：BE2－AE2 = AC2证明：连结CE，则BE = CE∵∠A = 90°∴AE2＋AC2 = EC2∴AE2＋AC2= BE2∴BE2－AE2 = AC2练习：已知，如图，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，P为BC上一点求证：PB2＋PC2= 2PA221条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中.例：已知，如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠C = 30°，AB =根号2，求AC的长.解：过A作AD⊥BC于D∴∠B＋∠BAD = 90°，∵∠B = 45o，∠B = ∠BAD = 45°，∴AD = BD∵AB2 = AD2＋BD2，AB =根号2∴AD = 1∵∠C = 30°，AD⊥BC∴AC = 2AD = 2
发表评论：
TA的最新馆藏[转]&&#xe621; 上传我的文档
&#xe602; 下载
&#xe60c; 收藏
该文档贡献者很忙，什么也没留下。
&#xe602; 下载此文档
正在努力加载中...
湖南省长沙市麓山国际实验学校2015届中考数学三模试卷（解析版）
下载积分：500
内容提示：湖南省长沙市麓山国际实验学校2015届中考数学三模试卷（解析版）
文档格式：DOC|
浏览次数：9|
上传日期： 10:26:06|
文档星级：&#xe60b;&#xe612;&#xe612;&#xe612;&#xe612;
该用户还上传了这些文档
湖南省长沙市麓山国际实验学校2015届中考数学三模试卷
官方公共微信}