集合（数学概念）_百度百科
（数学概念）
集合（简称集）是数学中一个基本概念，它是的研究对象，集合论的基本理论直到19世纪才被创立。最简单的说法，即是在最原始的集合论——中的定义，集合就是“一堆东西”。集合里的“东西”，叫作元素。由一个或多个元素所构成的叫做集合。若x是集合A的元素，则记作x∈A。集合中的元素有三个特征：1.确定性（集合中的元素必须是确定的） 2.互异性（集合中的元素互不相同。例如：集合A={1，a}，则a不能等于1）
3.无序性（集合中的元素没有先后之分。）
集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。
确定的对象体聚集一起，对这类总体称为集合。
例如全中国人的集合，它的元素就是每一个中国人。我们通常用大写字母如A,B,S,T,...表示集合，而用小写字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。[1]
若x是集合S的元素，则称x属于S，记为x∈S。若y不是集合S的元素，则称y不属于S,记为y?S。一般的我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。
集合表示方法：
①[x，y] ：中括号表示包括边界数字，即表示大于等于x小于等于y
②(x，y)：小括号是不包括边界，即表示大于x小于y
集合A中不同元素的数目称为集合A的，记作card(A)。当其为有限大时，集合A称为集，反之则为无限集。
有一类特殊的集合，它不包含任何元素，如
，我们称之为，记为?。[1]
设S,T是两个集合，如果S的所有元素都属于T ，即
，　　其中符号∈称为属于，即表示由左边的可以推出右边的命题，则称S是T的，记为
。显然，对任何集合S ，都有
如果S是T的一个子集，即
，但在T中存在一个元素不属于S ，即
，则称S是T的一个。[3]
空集?是任意一个非空集合的真子集。
如果两个集合S和T的元素完全相同，则称S与T两个集合相等，记为S=T 。显然我们有　　
　　其中符号
称为当且仅当，表示左边的与右边的命题相互，即两个命题。[1]
集合并交集
并集定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。并集越并越多。
交集定义：由属于A且属于B的相同元素组成的集合，记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。交集越交越少。
若A包含B，则A∩B=B，A∪B=A
相对补集定义：由属于A而不属于B的元素组成的集合，称为B关于A的相对补集，记作A-B或A\B，即A-B={x|x∈A，且x?B'}
绝对补集定义：A关于全集合U的相对补集称作A的绝对补集，记作A'或?u（A）或~A。·U'=Φ；Φ‘=U
定义：设有集合A，由集合A所有子集组成的集合，称为集合A的幂集。
定理：有限集A的的等于2的A的基数。
中，最常遇到的实数集的子集是。[3]
设a,b(a&b)是两个相异的实数，则满足不等式a&x&b的所有实数x的集合称为以a,b为端点的开区间，记为　　
；满足不等式
的所有实数 的集合称为以a,b为端点的闭区间，
；满足不等式
的所有实数x的集合称为以a,b为端点的半开半闭区间，分别记为
。除此之外，还有下述几类无限区间：
集合表示法
表示集合的方法通常有三种。[4]
集合列举法
列举法就是将集合的元素逐一列举出来的方式。例如，光学中的三原色可以用集合{红，绿，蓝}表示；由四个字母a,b,c,d组成的集合A可用A={a,b,c,d}表示，如此等等。
列举法还包括尽管集合的元素无法一一列举，但可以将它们的变化规律表示出来的情况。如正整数集
可以分别表示为
集合描述法
{代表元素|满足的性质}
设集合S是由具有某种性质P的元素全体所构成的，则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合：S={x|P(x)}
例如，由2的平方根组成的集合B可表示为B={x|x2=2}。
而有理数集
和正实数集
则可以分别表示为
集合韦恩图（Venn 图）
用一条封闭的曲线内部表示一个集合的方法。
集合符号法
N：非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…}
N*或N+：正整数集合{1,2,3,…}
Z：集合{…,-1,0,1,…}
Q：有理数集合
Q+：正有理数集合
Q-：负有理数集合
R：集合(包括有理数和无理数）
R+：正实数集合
R-：负实数集合
?：空集合（不含有任何元素的集合称为空集合，又叫空集）
集合确定性
给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。
集合互异性
一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用，其中的元素允许出现多次。
集合无序性
一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。（参见）
集合运算律
交换律：A∩B=B∩A；A∪B=B∪A
结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
分配对偶律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
律：(A∪B)^C=A^C∩B^C；(A∩B)^C=A^C∪B^C
同一律：A∪?=A；A∩U=A
求补律：A∪A'=U；A∩A'=?
对合律：A''=A
等律：A∪A=A；A∩A=A
零一律：A∪U=U；A∩?=?
吸收律：A∪(A∩B)=A；A∩(A∪B)=A
德·摩根律（反演律）：(A∪B)'=A'∩B'；(A∩B)'=A'∪B'
德·摩根律：1.集合A与集合B的交集的等于集合A的补集与集合B的补集的; 2.集合A与集合B的并集的补集等于集合A的补集与集合B的补集的交集。
（特殊情况）：
card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)
集合在数学领域具有无可比拟的特殊重要性。的基础是由德国数学家在19世纪70年代奠定的，经过一大批卓越的科学家半个世纪的努力，到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论体系中的基础地位，可以说，现代数学各个分支的几乎所有成果都构筑在严格的集合理论上。[3]
集合模糊集
用来表达模糊性概念的集合，又称模糊集、模糊子集。普通的集合是指具有某种属性的对象的全体。这种属性所表达的概念应该是清晰的，界限分明的。
因此每个对象对于集合的隶属关系也是明确的，非此即彼。但在人们的思维中还有着许多模糊的概念，例如年轻、很大、暖和、傍晚等，这些概念所描述的对象属性不能简单地用“是”或“否”来回答，模糊集合就是指具有某个模糊概念所描述的属性的对象的全体。
由于概念本身不是清晰的、界限分明的，因而对象对集合的隶属关系也不是明确的、非此即彼的。这一概念是美国加利福尼亚大学控制论专家L.A.扎德于1965 年首先提出的。
模糊集合这一概念的出现使得数学的思维和方法可以用于处理模糊性现象，从而构成了模糊集合论（中国通常称为模糊性数学)的基础。
陈纪修，於崇华，金路 ．数学分析：高等教育出版社，2004-6
华东师范大学数学系．数学分析：高等教育出版社，2010-7
Walter Rudin ．数学分析原理：机械工业出版社，2004-01
辛钦．数学分析八讲：人民邮电出版社，2010
企业信用信息全集（数学含义）_百度百科
（数学含义）
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一般的，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。
数学上，特别是在和数学基础的应用中，全类（若是集合，则为全集）大约是这样一个类，它（在某种程度上）包含了所有的研究对象和集合。
全集在特定场合下
这个一般概念有一些精确的版本。 最简单的可能就是，任意集合都可能是全集。当研究一个特定集合的时候，这个集合就是全集。 若研究，则所有实数的集合R就是全集。 这是在1870年代和1880年代运用第一次发展现代和集合的势的时候默认的全集。 康托尔一开始只关心 R的。
这种全集概念在的应用中有所反映。 在文氏图中，操作传统上发生在一个表示全集 U的大长方形中。 集合通常表示为圆形，但这些集合只能是 U的子集。 集合 A的则为长方形中表示 A的圆形的外面的部分。 严格地说，这是A对 U的U\ A；但在 U是全集的场合下，这可以被当成是 A的A。 同样的，有空交集的概念，即零个集合的（指没有集合，而不是）。 没有全集，空交集将是所有东西组成的集合，这一般被认为是不可能的；但有了全集，空交集可以被当成是有条件（即 U）下的所有东西组成的集合。
这种惯例在基于的方法研究基础集合理论时非常有用。 但对的一些非标准形式并非如此，例如，这里所有集合的类并不是布尔格，而仅仅是。 相反，U的，即 U的所有组成的集合，是一个布尔格。 上述的是布尔格中的；而空交集 U则作为布尔格中的（或空交）。 这里，适用于补运算、和（中的）的成立，而且对空交和空并（即）也成立。
全集在一般数学中
然而，一旦考虑了给定集合 X的（在的例子中，X= R），就会进一步关心 X的子集组成的集合。 （例如：X上的一个拓扑就是一个 X的子集组成的集合。） 这些不同的 X的子集组成的集合本身并不是 X的子集，却是 X的 PX的子集。 当然，这还没有完；可以进一步考虑 X的子集组成的集合所组成的集合，等等。 另一个方向是：可以关心X× X，或从 X映射到其自身的函数。 那么，可以得到笛卡尔积上的函数，或从 X映射到 X× PX的函数，等等。
这样，尽管主要关心的是 X，仍然需要一个比 X大很多的全集。 顺着上面的思路，可能需要 X上的。 这可以通过结构递归来定义，如下：
设 S0X为 X自身。设 S1X为 X和 PX的。设 S2X为 S1X和 P(S1X) 的并集。一般的，设 Sn+1X为 SnX和 P(SnX) 的并集。则 X上的，写作 SX，为 S0X，S1X，S2X，等等，的；或
注意到，无论初始集合 X如何，总是属于 S1X。 重定义空集为冯·诺伊曼序数[0]。 则 {[0]}，仅含有元素空集的集合，属于 S2X；定义为冯·诺伊曼序数 [1]。 类似的，{[1]} 属于 S3X，则 {[0]} and {[1]} 的 {[0],[1]} 也属于该集合；定义为冯·诺伊曼序数 [2]。 重复这个过程，所有的自然数都通过其冯·诺伊曼序数在中表现出来。 然后，若 x和 y属于这个超结构，则 {{x},{x,y}}（这个集合表示了(x,y)）也属于它。 从而，这个超结构将包含各种所想要的。 而且，这个超结构也包含各种函数和关系，因为他们可以被表示为笛卡尔积的。 以及，还能够得到有序 n元组，表示为域为诺伊曼序数 [n] 的函数。 等等。
所以，若仅从 X= {} 出发，可以构造大量的用于数学研究的集合，它们的元素属于 {} 上的 S{}。 但是，S{} 的每个元素都是。 每个自然数都属于 S{}，但“所有”自然数的集合 N不属于 S{}（尽管它是 S{} 的“子集”）。 实际上，X上的超结构包含了所有的遗传有限集合。 这样，它可以被认为是“有限主义数学的全集”。 若有机会的话，可以建议19世纪的有限主义者利奥波德·克罗内克使用这个全集；他相信每个自然数都存在但集合 N（一个&完全的&）不存在。
然而，对一般的数学家（它们不是有限主义者）来说，S{} 还不够，因为尽管 N是 S{} 的，但 N的仍然不是。 特别的，任意的都不是。 所以，需要重新开始这个过程，来构造 S(S{})。 简单起见，就用给出的自然数集合 N来构造 SN，N上的。 这常常被认为是“一般数学的全集”。 这个想法在于，所有数学一般研究这个全集的元素。 例如：任何通常的实数的构造（用表示）属于 SN。 尽管采用自然数的，能够在超结构中进行。
需要注意的是，这个部分在哲学上有些改变，这里全集是任何被关心的集合 U。 上个部分中，被研究的集合是全集的；而现在，它们是全集的元素。 这样尽管 P(SX) 是一个，而相应的 SX不是。 因此，几乎不直接采用布尔格和来描述这种超结构式的全集；在上个部分中，它们被用来描述式的全集。 作为代替，可以采用独立的布尔格 PA，这里 A是 SX中任意相应的集合；则 PA是 SX的（实际上它属于 SX）。
全集在集合论中
在一般数学中，可以精确定义 SN为全集；这是的模型。策梅洛是由Ernst Zermelo最初在1908年提出的。 策梅洛集合论的成功完全在于它能够公理化&一般&数学，完成了在三十年之前开始的课题。 但策梅洛集合论对进一步发展公理集合论和中的其他工作，特别是，是不够的。 举一个戏剧性的例子：上述的描述并不能独立地在策梅洛集合论中完成！ 最后一步，构造 S成为一个无限，需要代换公理；这条公理在1922年被加入策梅洛集合论，成为如今通用的。 所以，尽管一般数学可以在 SN中进行，而对SN的讨论不再&一般&，属于。
但是，若在超级的中，可以发现上述的超结构过程只是的开始。 回到 X= {}（），并用（标准的）符号 Vi表示 Si{}。 则有 V0 = {}， V1 =P{}，等等，和前面一样。 但是，所谓&超结构&现在只是这个列中的下一项：Vω，这里 ω 为第一个。 按照序数知识，得到：
可以对任意序数 i定义 Vi。 所有 Vi的为冯·诺伊曼全集V:
注意，每个单独的 Vi都是集合，但他们的并集 V是一个纯类。 在差不多时候加入ZF 系统的说，每个集合都属于 V。
的可构造全集L和可构造公理
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