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[转帖]恼人的问题之一--方程与恒等式
作者:wzkongqi 日期: 17:48:00
&&&&&& 很多问题实在是属于“不必研究”的范畴，但在论坛里又经常冒出来，原因之一是很多地方的考卷经常出这种似是而非的判断题，引起争论。另一方面一线教学中确实也有很多教师对此有疑问，很多教师把这些问题带到论坛“教材论坛”板块，我刚履新接任教材论坛的斑竹，对论坛里的这些问题参考了一些数学教科书，不自量力的写了一些粗浅的意见，有“方程与恒等式”“直线射线线段长度”“统计与概率”三部分，陆续贴出，请诸位读者斧正。 方程与恒等式 论坛里经常被问到的问题有： A+B=B+A是方程吗？ X=2是方程吗？ 某某方程的解是2对吗？ &&& 相关的解说： &&& 参考人教版教科书的解释： &&& 我认为在小学教段，对方程概念只要有初步认识即可，不必对概念辨析进行纠缠。以下内容的读者是数学教师而非学生讲授需要。某些内容在中学教段也是没法讲授的。这个问题的数学基础应该是集合论，映射，函数，方程于此范畴讨论。这一点上，依据人民教育出版社教科书，从最基本的集合论出发，作详细的解说：相等关系、等式和方程数学问题的第一要义是“定义“，以下所使用的术语定义如非特别声明，皆使用人民教育出版社数学教科书所申明的术语定义。&&& 1．数学中常用的“关系”一词，泛指数学对象之间的某种性质的联系。两个数学对象之间具有某种性质的联系，就说它们“有某种关系”；如果它们之间不具有某种性质的联系，就说它们“没有某种关系”。数学中的关系，可以用文字语言表示，也可以用由字母与符号组成的符号语言或关系式来表示，还可以用图形语言来表示；至于关系的名称，显然根据联系的性质来确定。&&& 在常用的数学关系中，有一种关系叫做“等价关系”，可以用符号“∽”来表示，读作“等价于”。它是在集合S上具有以下三个性质的关系：&& &(1) 自反性。对于任何 a∈S，都有 a∽a。 & & (2) 对称性。对于任何 a，b ∈S，如果 a∽b，那么 b∽a。 && &(3) 传递性。对于任何 a，b， c ∈S，如果 a∽b，且 b∽c，那么 a∽c。&& &如果 a， b∈S，且 a∽b，则称 a，b在S上等价。&&& 根据这个定义，我们容易判断；相等关系“=”是一种等价关系，这是因为：&& （1）相等关系具有自反性。对于任何S及任何a∈S，都有a=a。&& （2）相等关系具有对称性。对于任何S及任何a，b∈S，如果a=b，那么b=a。&& （3）相等关系具有传递性。对于任何S及任何a，b，c∈S，如果a=b，b=c，那么a＝c。大于关系“＞”、小于关系“＜”显然都不是等价关系，因为它们不具有自反性。大于或等于关系“≥”、小于或等于关系“≤”也都不是等价关系，因为它们不具有对称性。例如，“3≥2”是真命题，但“2≥3”却是假命题。所以有的书上把“如果a＞b，那么b＜a”，以及“如果a≤b，那么b≥a”这样的性质改称为不等关系的“反对称性”。可以看出“对称性”与“反对称性”在思路上是不同的。在几何中，全等关系、相似关系、平行关系都是等价关系，垂直关系不是等价关系。&& &如果S是某些命题（例如关于二维欧氏空间的所有命题，不管是真是假）的集合，A∈S，B∈S，那么我们常用符号“”来表示“等价于”，不难看出，由于等价关系具备对称性和传递性，所以“AB”与“由A能推出B，且由B能推出A”是一致的。&& &2．教科书中规定，“用符号‘=’来表示相等关系的式子，叫做等式”，这首先牵涉到以下问题：& &（1）为什么不定义“用符号连结两个代数式所得到的式子叫做等式”呢？因为这是一个形式定义，它没有反映出等式的实质。例如，x+1是“绝对大于”x的，但如果承认“x+1=x”是等式或“矛盾等式”，逻辑上是不合理的。再说，等式A=B的两边可以不是代数式，比方可以是超越式、矩阵、命题等。另外，“两个代数式”中的“两个”也不妥，这样就会排除像“a=b=c”这样的连等式。而事实上，所谓等式的“左端”“右端”，正是在连等式中才有意义，例如上面连等式中，左端为a，右端为c。&& （2）为什么不把恒等式与等式分开定义呢？这是因为恒等式不一定与字母有关。例如，实际是一个恒等式，我们也不要求学生弄清这里该用“=”号还是“≡”号。其次，如果一个恒等式中含有字母，那么恒等概念依*的是函数概念，即在所涉及字母的取值范围上定义的一个函数，而不是仅仅涉及两个多项式。显然，对学生先讲函数，再讲恒等，然后讲解一元一次方程，这是不合理的。所以，在不少场合下，把“=”与“≡”两种符号合并为“=”号，有一定的好处。&&& 既然学生学习等式的目的实际上是运用相等关系所具有的三个性质，以及由这三个性质导出的等式性质，那么就应该用相等关系来定义等式。根据教科书中的定义，“8=2”“x+1=x”这样的式子都不是等式。&&& 3．教科书中规定，“方程就是含有未知数的等式”。这一定义是小学数学教科书和传统的我国中学数学教科书的处理方法，目的是让学生利用等式的性质。这里也牵涉到一些问题：&& （1）为什么不提出“条件等式”这一概念？其实从上面已经可以看出，将等式划分为“恒等式”“条件等式”和“矛盾等式”三类，不是一种科学的逻辑划分，而只是一种形式上的处理。抓住等式的实质是（在任何条件下或某些条件下）表示相等关系，这才是问题的关键。&& （2）x+1=x是不是方程？是方程。对于这个问题，正确的处理办法应该是：先定义“含有未知数的命题叫做开命题”，再定义“含有等号‘=’的开命题叫做方程”。这里没有确认方程必然表示相等关系。国际上不少教科书就是这样处理的，可以看出编者的用意，即“含有等号的命题所表示的是相等关系，但含有等号的开命题所表示的不一定是相等关系”。&&& 对于我们来说，也可以把方程定义改成“含有未知数与等号的式子叫做方程”，这样做就基本上合理了。解方程时，就是要求出使方程两边的值相等的未知数的值，因此要先假定它是一个等式，可以表示一个相等关系，这样就可以利用等式性质。但如果这样修改，一则与小学里的定义不一致，二则舍简求繁，提高理论上的难度，不符合义务教育的宗旨，所以还是以不改为宜。&&& 不过，教科书还是采用了一种“过渡”的办法：一个方程，当它的未知数取某些值时，这个等式成立（等式两边的值相等）；当它的未知数取另一些值时，这个等式不成立（等式两边的值不相等）。这就隐含着一种观点：等式可以不成立；无解方程就是不可能成立的等式。当然，归根结底还是一句话：无解方程不表示相等关系，它实际上不是等式。
&&& 我们再回到“形式定义”来看“等式”与“方程”。 我们引入一个新概念-恒等方程。 等式可以分为三类：&&&&
&& （1）恒等式。在等号两边的代数式中，它含有的字母无论取什么值，都能使两边的值相等。例如：3＋5＝8，a+a=2a等，都是恒等式。
&& （2）条件等式。在等号两边的代数式中，它含有的字母只有取某些值时，等号两边的值才能相等。这样的等式叫做条件等式。例如：2a＝6，只有当a＝3时，等号两边的值才能相等，所以是条件等式。
&& （3）矛盾等式。在形式上是用等号连接的式子，但实质上无法使等号两边的值相等。这样的等式叫做矛盾等式。例如：a＋1＝a＋2，就是矛盾等式。& &
&& &对于恒等式和条件等式，有以下基本性质：
&& （1）等式两边可以调换位置（对称性）。也就是说，如果A＝B那么B＝A。
&& （2）等式中，相等的量可以传递（传递性）。也就是说，如果A＝B，B＝C，那么A＝C。
&& （3）等式两边，加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。也就是说，如果A＝B，那么A±m＝B±m。
&& （4）等式两边，乘同一个数，或除以同一个非零数，等式仍然成立。也就是说，如果A＝B，那么Am＝Bm，或，（n≠0）。
&&& 方程也可以和等式一样分为三类。
&& （1）恒等方程。无论未知数取什么值，都能使方程两边的值相等。例如：x＋x＝2x，就是恒等方程。
&& （2）条件方程。它含有的未知数只有取某些值时，方程两边的值才能相等。例如：2x＝6，只有当x＝3时，方程两边的值才能相等，所以是条件方程。
&& （3）矛盾方程。无论未知数取什么值，都不能使方程两边的值相等。例如：x＋1＝x＋2，就是矛盾方程。
&&& 一般地说，所谓解方程，就是确定这个方程是否有解，如果有解，则求出方程的解。
&&& 小学数学中的简易方程，一般都是条件方程，不出现矛盾方程。所以不存在通过解方程，确定这个方程无解的现象。
&&& 如果两个方程的解完全一样，我们就说这两个方程是同解方程。
&&& 我们常常需要把一个方程变形成为另一个与它同解的方程，这种变形就叫作同解变形。
&&& 常用的同解变形定理有：
&&& 定理一，方程两边同时加上（或减去）同一个数或整式，所得方程与原方程同解。
&&& 定理二，方程两边同时乘（或除以）同一个非零的数，所得方程与原方程同解。
&&& 实际上，同解变形定理一就是等式的基本性质（3）。但是，同解变形定理二只是等式基本性质（4）的一部分，两条性质的区别在于：等式两边乘0，得0＝0，仍然是等式；而方程两边乘0，得0＝0，与原方程就不是同解方程了，所以同解变形不允许在方程两边同时乘上0。
&&& 例如，由方程2x－5＝7，得到2x＝12，再得出x＝6，都是同解变形。
&&& 还要注意方程的同解变形与代数式的恒等变形（简单地说，就是形变值不变的变形）之间的区别。例如：
&&& 有时，也可运用恒等变形把原方程化简。如上例中方程左边先去括号得3x＋135＝210，就是运用了恒等变形。下面再辨析“未知数“概念。&& “未知数“是我们定义的。--在ax=b方程式中，我们必须明确：x作为未知数是我们定义的，也是约定俗成的。如果我们非要定义a是未知数，x,b是常量，也无不可，只要你事先申明即可。但这非常不方便，给读者造成很大的阅读困难。因此，方程式ax=b严格（罗嗦的）的写法是：&&& ax=b(x是未知数，a,b是常量，x,a.b属于R或其它集）。&& 理论讲完了，来讨论“a+b=b+a”.&&& 单独的给出这个式子，通常的情况下，我们认为是恒等式，是加法交换律。a,b字母代表数，表示这个规律的一般性。但这是指“通常情况”。如果出题者补充说，a是“未知数”的身份（注意：出题者是有申明定义这个权利的。）或a,b都是“未知数”，情况就会起变化，我认为勉强可以接受其为“方程”。&&& 之所以说“勉强”，我认为这个题目出的不好，除了其本身有问题之外，还与方程的价值有关。方程的意义不在判断，不在概念本身，而在于它的思想。用已知量的观点来处理未知量，寻找问题中的等量关系构造一个模型求解，用这种方程的思想解决问题才是主要的，正如有的人看书总是记不住书中人物的名字，但知道情节，知道从中能得到什么样的教益一样。知道不知道x＝2是不是方程无关紧要，要紧地是知道如何用方程的思想解决我们遇上的一些问题。这是方程的价值。
&&& （以上参考抄录人教版教科书及北师大任景业的解说，特此说明。）
&&&&& 本文转自人教论坛
Re:[转帖]恼人的问题之一--方程与恒等式
作者:ame(游客) 日期:<span id="t_13-3-5 11:09:00
晕了！方程与等式到底是什么关系？
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&&&20122&&&
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看过坛友的一个回答，我还是不清楚为什么间接效用函数等于y=px*x+pz*z
不明白px pz 是什么情况。
可能是我没学过数学分析吧
请教一下，对一个隐函数的两个变量（p,y）分别求偏导数再相除的数学含义是什么呢？怎么就能把可以单调变换的效用函数变为唯一的马歇尔需求函数了呢？ 有价值回答会加币。
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lz能否把题设说得清楚一些？这应该是个多元微分的问题，不难。但是需要lz把题目说得再具体些，都有哪些函数？谁对什么求导？
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最新精选初中奥数三角恒等式公式大全
奥数的学习并没有我们想象的那么难，只要用心我们还是可以把奥数学习好的。我们一起来看一下这篇最新精选初中奥数三角恒等式公式大全吧。两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB&sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA R&&cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB&cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB&tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)&tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)&cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) &cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式&tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]&cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2
-1=1-2(sina)^2sin2A=2sinA*cosA三倍角公式sin3a=3sina-4(sina)^3cos3a=4(cosa)^3-3cosatan3a=tana*tan(π/3+a)*tan(π/3-a)半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)&cos(A/2)=√((1+cosA)/2)
cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)&tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))&tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))&cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))&cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) Q&tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)和差化积&sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)&&sin(a)&#8722;sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)&cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)&cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB积化和差公式sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]&cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]&sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]诱导公式sin(-a)=-sin(a)&cos(-a)=cos(a)&sin(pi/2-a)=cos(a)&cos(pi/2-a)=sin(a)&sin(pi/2+a)=cos(a)&cos(pi/2+a)=-sin(a)&sin(pi-a)=sin(a)&cos(pi-a)=-cos(a)&&sin(pi+a)=-sin(a)&cos(pi+a)=-cos(a)&tgA=tanA=sinA/cosA万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)=
(1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))&tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))其它公式a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c)[其中，tan(c)=b/a] a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c)[其中，tan(c)=a/b] 1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2
1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2其他非重点三角函数csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)双曲函数sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2&cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：&sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：&sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：&sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：&sin(π/2+α)=cosα&cos(π/2+α)=-sinα&tan(π/2+α)=-cotα&cot(π/2+α)=-tanα&sin(π/2-α)=cosα&cos(π/2-α)=sinα&tan(π/2-α)=cotα&cot(π/2-α)=tanα&sin(3π/2+α)=-cosα&cos(3π/2+α)=sinα&tan(3π/2+α)=-cotα&cot(3π/2+α)=-tanα&sin(3π/2-α)=-cosα&cos(3π/2-α)=-sinα&&tan(3π/2-α)=cotα&cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z)现在是不是觉得奥数很简单啊，希望这篇最新精选初中奥数三角恒等式公式大全可以帮助到你。相关推荐如何判断一个等式是不是恒等式?方程与恒等式究竟有什么区别,要怎样区分?例如看看这题：（2x-1)^6=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4+a5x^5+a6x^6这题是恒等式吗?为什么?
带有参数a,b,c...的关于x的恒等式,要求化简成f(a,b,...x)=0的形式后,x各项系数为0；
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是恒等式是字母无论是什么值，等式都相等，比如平方差公式等等而方程是解未知数的值，不一定恒等，一般只能在一定范围使方程恒等，比如一般的一元一次方程只有一个值使等式成立，而其他值则使等式不成立。最简单的恒等式是0=0
方程是一个等式 但要求未知数满足一定的条件才成立而恒等式不论未知数为何值 永远成立判断恒等式要要项数 系数均相等
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