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带有第三类边界条件的热传导方程逆时问题数值解
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第八章固体中的热传导
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数理方法第二章热传导方程习题答案.doc17页
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热 传 导 方 程
热传导方程及其定解问题的提
一均匀细杆直径为，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律
又假设杆的密度为，比热为，热传导系数为，试导出此时温度满足的方程。
解：引坐标系：以杆的对称轴为轴，此时杆为温度。记杆的截面面积为。由假设，在任意时刻到内流入截面坐标为到一小段细杆的热量为
杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻到在截面为到一小段中产生的热量为
又在时刻到在截面为到这一小段内由于温度变化所需的热量为
由热量守恒原理得：
消去，再令，得精确的关系：
试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
解：在扩散介质中任取一闭曲面，其包围的区域 为，则从时刻到流入此闭曲面的溶质，由，其中为扩散系数，得
浓度由变到所需之溶质为
两者应该相等，由奥、高公式得：
其中叫做孔积系数 孔隙体积。一般情形。由于的任意性即得方程：
3. 砼 混凝土 内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的水化热成正比。以表示它在单位体积中所储的热量，为初始时刻所储的热量，则，其中为常数。又假设砼的比热为，密度为，热传导系数为，求它在浇后温度满足的方程。
解： 可将水化热视为一热源。由及得。由假设，放热速度为
它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书71页， 1.7 式得
4. 设一均匀的导线处在周围为常数温度的介质中，试证:在常电流作用下导线的温度满足微分方程
其中及分别表示导体的电流强度及电阻系数，表示横截面的周长，表示横截面面
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