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已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，在定义域x∈[-2，2]上表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为-1．有以下命题：①f（x）是奇函数；②若f（x）在[s，t]内递减，则|t-s|的最大值为4；③f（x）的最大值为M，最小值为m，则M+m=0．④若对?x∈[-2，2]，k≤f'（x）恒成立，则k的最大值为2．其中正确命题的个数有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个
题型：单选题难度：偏易来源：不详
函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，可得c=0；又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为-1，则有3+2a+b=-13-2a+b=-1，解得a=0，b=-4．所以f（x）=x3-4x，f′（x）=3x2-4．①可见f（x）=x3-4x是奇函数，因此①正确；x∈[-2，2]时，[f′（x）]min=-4，则k≤f'（x）恒成立，需k≤-4，因此④错误．②令f′（x）=0，得x=±233．所以f（x）在[-233，233]内递减，则|t-s|的最大值为433，因此②错误；且f（x）的极大值为f（-233）=1639，极小值为f（233）=-1639，两端点处f（-2）=f（2）=0，所以f（x）的最大值为M=1639，最小值为m=-1639，则M+m=0，因此③正确．故选B．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，在定义域x∈[-2，2]上表示的曲线过原点..”主要考查你对&&函数的单调性、最值，函数的奇偶性、周期性，函数的单调性与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的单调性、最值函数的奇偶性、周期性函数的单调性与导数的关系
单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&
发现相似题
与“已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，在定义域x∈[-2，2]上表示的曲线过原点..”考查相似的试题有：
747069825304887885403616410407553164怎样判断函数f（x）的定义域是否关于原点对称?比如呢?
心系冬季42810
如果定义域是全体实数,那肯定就是关于原点对称了.如果定义域不是全体实数,比如是全体正实数,那定义域在x轴的负半轴上都不能取值,当然更谈不上是对称了.再比如定义域是全体负实数,那定义域在x轴正半轴也不能取值,所以定义域也不是关于原点对称.举个例子：f（x）=1/(1-x)此题的定义域是x不等于1,那么如果定义域要是关于原点对称,x也不能等于-1.再举个例子：f（x）=x的偶次方根.此题的定义域是x非负,x非负这个取值,关于原点的对称区间是x非正.所以两个例子中的定义域都不是关于原点对称的.我们一般在讨论一个函数的奇偶性时,才会关注定义域的取值.定义域是关于原点对称的,函数才有可能是奇函数或者偶函数.如果一个函数,它的定义域不是关于原点对称的,那么都没有“资格”成为奇函数或者偶函数.
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其他类似问题
看是否关于零点对称。（-2，2）就对称。但（-2，3）就不行。（-2，2】也不行。判断对称后，函数关于原点对称为奇，关于y轴对称为偶。表达式表示：如y=f(x)若y=f(-x)为偶函数，若y=-f(-x)为奇函数
先求定义域，再将f(x)列出，能否是否等于－f（－x）
我想楼上的分析的很全面。高手，学习了
任意取定义域中的一点X，看负X在不在此定义域中，如果都在，就是关于原点对称，只要有一点不在，就不对称（－4，4）就对称（－4，4】就不对称，因为取X=4,那么负X＝－4，－4不在此定义域中，所以关于原点不对称
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第六章 多元函数微分学基础
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&&第​六​章​ ​多​元​函​数​微​分​学​基​础0332
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怎么用matlab画指定定义域内的二元函数图像
请高人指点：
& && && &已知一个二元函数 z=f(x,y)=3*(x.^2)+3*(y.^2)+3*x*y+1-3*x-3*y, 其定义域为 D={(x,y) | x&=0, y&=0, x+y&=1}. 如何用matlab画出这个函数的图像。谢谢了:hand:
关注者： 169
[x,y] = meshgrid(0:.02:1);
idx = x + y & 1;
z = 3*(x.^2)+3*(y.^2)+3*x.*y+1-3*x-3*y;
surf(x,y,z)
关注者： 307
除了楼上的方法，还可以用：n = 50;
x = linspace(0,1,n+1);
y = cumsum([zeros(size(x));repmat((1-x)/n,n,1)]);
x = repmat(x,size(y,1),1);
z = 3*(x.^2)+3*(y.^2)+3*x.*y+1-3*x-3*y;
mesh(x,y,z);
axis tight复制代码
关注者： 307
再提供一种类似2楼的办法：[x,y] = meshgrid(0:0.02:1);
z = 3*(x.^2)+3*(y.^2)+3*x.*y+1-3*x-3*y;
z(x+y&1) =
surf(x,y,z);
axis tight复制代码
关注者： 307
总结一下以上3种办法的的区别与联系。
2楼和4楼的办法本质上相同，都是先产生矩形区域内均匀分布的网格数据，然后剔除不符合要求（即落在定义域以外）的网格点。这种办法能保证产生的网格点在 x 方向、y 方向都是均匀分布（体现在网格曲面上一般不会出现颜色的突变）。但是因为这种方法是直接将不符合要求的数据置为NAN，在图形的斜线边缘处（即 x+y=1的地方）会出现图形过度是不连续的。
3楼的办法是直接产生三角形定义域区域内的网格点。产生的原理是先让 x 方向上的点等间隔分布，再针对每个 x 在 y 方向上选取相同数量的等间隔分布的 y，最终的效果是网格点在 x 方向均匀分布，在 y 方向上分布的密度随着对应的 x 增大而逐渐增大（这是因为 y 的上限是一条斜线）。所以，3 楼的图形看起来会在接近 (0,1) 的一个角上变得非常密集 （体现在网格曲面颜色的改变上）。另一方面，由于这种方法是直接产生定义域内的点，在曲面边缘处的图形也是连续的。另外，3楼的代码也可以修改成先产生等间隔分布的y，然后针对每个 y构建符合要求的 x，这样，就可以得到网格点在 y 方向均匀分布，在 x 方向非均匀分布。
谢谢各位大神了:)
关注者： 40
本帖最后由 kastin 于
14:06 编辑
对于在指定定义域绘制函数图象的问题，MATLAB 没有直接的函数实现，而通过简单的方法能实现的，上面的二位版主也给出了。在Mathematcia 里面，这个问题就很简单了，直接设置一个RegionFunction就行了（一维、二维），且对于非线性的区域都行。下面讨论一下MATLAB的其他实现方法。
先说一说简单情况，也就是凸区域（不一定是线性不等式区域）。不规则区域绘图我们有个很好的工具，那就是delaunay三角形，由于这个网格是凸区域，所以只要定义域是凸的就行。在定义域中随便取尽可能多一些点，根据这些不规则点集，我们就能得到delaunay三角形，从而绘制出曲面。
绘制二元函数曲面 z=f(x,y)=3*(x.^2)+3*(y.^2)+3*x.*y+1-3*x-3*y, 其定义域为 D={(x,y) | x&=0, y&=0, x+y&=1}.
1. 线性凸域
该区域是线性不等式区域，半空间交集自动构成凸域，可以直接使用。f=@(x,y)3*(x.^2)+3*(y.^2)+3*x.*y+1-3*x-3*y;
[xi,yi]=meshgrid(0:0.1:1);
idx=xi+yi&1&xi&=0&yi&=0;
v=[xi(idx) yi(idx)]; % 样点（内点）
val=f(v(:,1),v(:,2));
tri=delaunay(v(:,1),v(:,2));
trisurf(tri,v(:,1),v(:,2),val);复制代码这个方法只适合线性不等式构成的定义域。
2. 非线性凸域
假设上述定义域发生改变，变成一个非线性的凸区域：D={(x,y) | x&=0, y&=0, x^2+y&=1}. 同样可以使用上述方法，由于是非线性的，所以除了内部少数点以外，还需要给出定义域边界上的一些点：[xi,yi]=meshgrid(0:0.05:1);
idx=xi.^2+yi&1&xi&=0&yi&=0;
v=[[xi(1,:); 1-xi(1,:).^2]';[xi(idx) yi(idx)]]; % 样点（内点+边界点）
val=f(v(:,1),v(:,2));&&% 高度值
tri=delaunay(v(:,1),v(:,2));
trisurf(tri,v(:,1),v(:,2),val);复制代码与NaN方法相比较，这个方法既有优点又有缺点。
优点：在同样的样点数下，产生的曲面以及边界一般比NaN方法要光滑。
缺点：只能适用于定义域为凸区域情况，而NaN方法则不限于此。
有没有改进该方法缺点的手段呢？其实是有的。对于较为简单的凹区域，我们可以通过凸集分解（自己搜索相关文献），将凹区域分解为多个凸集的并集，然后使用上述方法即可。这样就能使用少量样点，却能产生光滑的曲面与边界。不过对于极度复杂的区域（连续性很差，且多多连通，奇异点较多），凸集分解算法就显得麻烦，程序也不容易实现，因而最好使用下述通用方法：
3. 一般情况
定义域为凸/非凸，或者为多连通域。对于这种情形，只能使用patch绘制曲面，那么定义域必须是通过某种方法来获得三角面片（一种较为直观的方法就是，可以先做矩形网格然后三角化，最后采用递归细分优化边缘三角形）。这就需要比较复杂的编程技术了。自己可以试试。
上面讨论的都是单值函数或者单值隐函数的方法，对于多值隐函数曲面在指定定义域的绘制，情况则稍显不同了。
这是因为，这种情况下的曲面不再是定义域一一映射产生的（因为是多值）。因此需要通过样点构成的四面体插值求边界面，我们正好有griddata或者isosurf（type之查看用法）可以使用。最后使用patch得到结果。
kastin 发表于
对于在指定定义域绘制函数图象的问题，MATLAB 没有直接的函数实现，而通过简单的方法能实现的，上面的 ...
看这篇幅就很给力啊~
关注者： 169
这里有两个项目，希望对有兴趣的人有所帮助：
http://persson.berkeley.edu/distmesh/
http://iso2mesh.sourceforge.net/cgi-bin/index.cgi
关注者： 40
kaaaf123 发表于
这里有两个项目，希望对有兴趣的人有所帮助：
http://persson.berkeley.edu/distmesh/
http://iso2mesh.sou ...
嗯，第一个是区域网格生成的，同样的在fileexchange也有个mesh2d也是这个功能。这两个函数一年前使用过demo运行，感觉如果是专门用作生产优质网格还行，但作为绘图的辅助函数来说，速度似乎太慢了。distmesh用的好像是力学的某种算法，mesh2d用的是自适应迭代算法进行松弛得到良好的三角网格。
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