[转载]陈珍&试谈数学探究式课堂中“度”的把握
试谈数学探究式课堂中“度”的把握
摘要：在教学中,能放手的地方就大胆放手,把课堂还给学生,让学生自主探究.
教师应成为学生的组织者、引导者、促进者、帮助者，师生互动，寻找最佳的结合点。本文从启、放、点、评四个方面谈谈如何对“度”的把握。
关键词：学生& 课堂& 探究
新课程全面铺开后，公开课、示范课、调研课越来越多，在听课中发现有两种倾向值得我们思考，一种是对新教材的教学设计还是以教师为中心，对学生不敢放手，学生主动学习得不到有效落实，成了“穿新鞋走老路”,另一种则为了突出学生的“主体”地位，教师一味地放手让学生自己来，而缺乏有效的启发、引导措施，只有放没有点和评，学生的知结构支离破碎，教学效果也很不理想，成了“穿新鞋走弯路”针对这些现象，来谈谈自己的看法。
一.“启发”适度是前提
听课中常有这种现象，不少教师在让学生开展独立探究或作交流之前，由于没有讲清楚要求，致使学生在开展主动学习时无从下手、无所事事或者杂乱无章，学习效果很差，学生的“学”是以教师的“启”为前提的，教师在学生主动学习之前作适当的引导，能够为学生的学习活动指引方向，扫清障碍。概念的形成，可启发学生从具体到抽象，如函数的概念的教学；一些结论的得出，可启发学生从特殊到一般，如解析几何中的有关定值的证明、数列的通项等；一些性质的得出，可启发学生用类比方法，如等差数列与等比数列、指数函数与对数函数等等。应把握启发时机、方向适度，真正做到有启而发，发后探究，充分体现启发的作用。
二．“放”得真心、大度是关键
著名心理学家皮亚杰说：“儿童的思维是从动作开始的!切断动作与思维的联系，思维就得不到发展”。因此，教师要根据所学内容的特点，凡是学生能够动手的地方要放手让他们去操作，学生能发现的要放手让他们去探究，学生能体验的要放手让他们去经历，教学中如果没有对问题的探究，就不可能有学生积极主动的参与，不可能有学生的独立思考与相互之间的思维启迪，也就不可能有真正意义上的主动学习。因此，教师要为学生提供探究的时空，放手让他们自己去感知和理解知识产生和发展的过程，提出独到的见解、设想与做法，完成富有个人特色的探究性作业。学生主体性的发展是以活动为中介的，学生只有投身于各种数学活动之中，靠自己去悟、去做、去经历、去体验，数学的知识、思想和方法才能在现实的活动中理解和发展。因此，开放的课堂上多点宽容、多给学生几个允许，才会更大限度的挖掘学生的潜能。
1 允许学生“上课插嘴”。
实际上,在课堂教学过程中,学生总会对所学的知识产生这样或那样的认识,有这样或那样的疑问。教师所应该做的,不是把学生当做接受知识的“容器”,而应该把他们当做一个个有独立个性的个体。当他们有自己独特见解的时候,在没有得到教师允许的情况下,可以随时打断教师的话语,提出自己的疑问、阐述自己的观点。试想:不动脑筋思考问题的学生会插嘴吗?循规蹈矩的学生会插嘴吗?事实上,只有上课精力集中、思维活跃、具有自主学习和创新意识的学生才会插嘴,教师应该时时刻刻关注学生的学习活动,允许学生“上课插嘴”,或鼓励学生主动质疑、发问。与学生坦诚相见,从而建立起一种平等合作的关系,只有这样,学生作为一个有思想、有见地的活生生的个人的主体地位才能逐渐确立起来。
2 允许学生“质疑问难”
“发明千千万,起点在一问”(陶行知语)。质疑问难是培养创新精神的一把金钥匙,是激发学生探索知识的兴趣和热情、释放每一位学生潜能和才干的好方法。教师要鼓励和提倡学生敢于向书本质疑,向权威挑战,不满足于获得现成的答案或成果,对所学的内容能独立思考,并能从多种角度来认识同一事物,探索出新的问题。让学生真正成为知识的发现者、研究者和创造者。
3 允许学生“争辩”
在数学教学中充分利用学生争强好胜的心理,为学生创设“讨论争辩”的情境,不仅能满足学生爱表现的心理,而且让学生在争辩的过程中,认识得到深化,探索精神和竞争意识得到激发,不甘落后和勇于创新的人格品质得到培养。
抛物线焦点弦的性质
如图，点F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，线段AB焦点弦是通径，设A(x1、y1)，B(x2、y2)，对此，你能发现什么结论？让学生讨论、交流，得出以下结论：
（1）|AB|＝2p
（2）以AB为直径的圆与准线相切。
（3）∠MFN＝90°
（4）x1x2＝
（5）y1y2＝－P2
（6）KOA·KOB＝－4
老师：对于通径中的这些结论，在抛物线的一般焦点弦中会怎样呢？（放手让学生探究）。
（1）|AB|≥2P
（2）以AB为直径的圆与准线相切
（3）∠MFN＝90°
（4）x1x2＝
（5）y1y2＝－P2
（6）KOA·KOB＝－4
老师：这些结论正确吗？如何证明？（讨论之后整理如下）
对于（2）（3），作出梯形MNBA的中位线CH，由抛物线的定义与平面几何的知识易得。
(4) (5)： &&
（这样设包括斜率不存在的通径所在的直线）
由(4)(5) (6)
对于（1）可用下面两种方法证：
法1：|AB|= &≥ (x1＝x2时取等号)
法2：|AB|=＝
＝（k2+1）·2P≥2P（当K＝0时取等号）
小结：其实，抛物线焦点弦还有很多的性质，课后，同学们自己去探究、去发现，然后搜集整理。
三.“点”得及时是保障
点即点拨、指点。“自主开放”决不是“放任自流”开放的课堂不能上到哪里算哪里，如果只有“放任自流”这样的“放”是无目的、浅层次的、只有做到了该放时放，该点时点，才能真正培养学生思维的深刻性，才能落实真正意义上的主动学习，那么怎样把握这个“度”呢
1．“点”在关键处
当学生在主动学习中对学习内容理解偏颇了或探究活动偏离方向时，教师要及时启发、点拨甚至讲解等手段把他们引导到正确中去。
案例2& 二元均值不等式
如果a,b∈R,那么
≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号)
教师:这是个重要的不等式,条件少、结论好,形式简单,但应用广泛.我们看看它有哪些变式.经过几分钟的讨论,学生把自己的变式写在黑板上:
学生1:≥ab(当且仅当a=b时取“=”)
学生2:我觉得应加上条件a,b是正数,否则不成立.
学生3:a+≥2(a&0)
学生4:≥2,(ab&0)
老师:这些结论很好,而且注意到了条件的限制.我们能不能思路再宽一点呢?
学生5： ；
老师：好！能与三角函数相结合，结论是否正确呢？
学生讨论之后补上条件 等。
老师：很好！是否再写出类似的式子呢？
学生6： &；
老师：同学们都没意见了吗？看清定理的条件后验证一下是否正确。
学生恍然大捂，原来等号取不到！象这种形同而质不同的式子中所含的错学生是很难辨别的。在几处关键处点一下，学生对定理中的“条件”会留下深刻的印象。
2．“点”在提炼概括时
当学生经过自主探究和合作交流之后，教师要顺着学生的思路去对学生的学习结果作必要的引导或讲解。如在用均值不等式时务必要注意条件，此时教师可再出示题目：求（1） （x
0）的最小值。（2）
的最小值。从而形成一类问题的解法，不能用均值不等式求出最值时，可利用函数的单调性来求得，将学生零散的观点进行理论升华，使之系统化、条理化，从而完善学生的认知结构。
四．“评”得开心是动力
对学生研究,学习的结果和过程做好评讲和评价非常重要。在学生有一系列真切的感受后教师进行点评，更有针对性，学生听的积极性高，效果会特别好。学生由于思维能力和知识的限制，他们的探究结果肯定不会是尽善尽美的，教师结合学生探究结果精讲和深化，加强对知识的认识，补充学生未研究的或认识不足的知识点。使学生知道哪方面做得很好，哪些方面做得还不够，哪些方面有待改进，今后扬长避短，逐步让学生学会学习、学会探究、学会创新。评价时，以鼓励为主，即使结论错误或不完整，表扬他认真的思考、流畅的表达，还有他的勇气等。不要单以成败论“英雄”，要重视弘扬钻研的精神。
参考文献：
1.《探究式课堂教学中存在的问题及对策》袁振才
教海探航 2006.2
2.《试论探究式教学中教师作用的体现》俞峰
教学月刊 2006.2.
3.《数学教学的启-放-收导学策略》陈力 教学与管理2005.11
4.《引导自主探究　促进主动发展》邱杰
赤峰学院学报2005年8月
以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。> 【答案带解析】（12分）理数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到...
（12分）理数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=．tanD=tan15°===．思路二
利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）===．思路三
在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…思路四
…请解决下列问题（上述思路仅供参考）．（1）类比：求出tan75°的值；（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度；（3）拓展：如图3，直线与双曲线交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由． 
（1）；（2）；（3）能相交，P（﹣1，﹣4）或（，3）．
试题分析：（1）如图1，只需借鉴思路一或思路二的方法，就可解决问题；
（2）如图2，在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB，由三角函数得出∠BAC=30°．从而得到∠DAB=75°．在Rt△ABD中，由三角函数就可求出DB，从而求出DC长；
（3）分类种情况讨论：①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲...
考点分析：
考点1：二元一次方程组
二元一次方程：
如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无穷个解，若加条件限定有有限个解。二元一次方程组，则一般有一个解，有时没有解，有时有无数个解。
二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0其中a、b不为零。
二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解 。
考点2：一次函数
函数的定义：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个自变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
对函数概念的理解，主要抓住以下三点：
①有两个变量；
②一个变量的每一个数值随着另一个变量的数值的变化而变化；
③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。
例如：y=±x，当x=1时，y有两个对应值，所以y=±x不是函数关系。对于不同的自变量x的取值，y的值可以相同，例如，函数：y=|x|，当x=±1时，y的对应值都是1。
理解函数的概念应扣住下面三点：
（1）函数的概念由三句话组成：“两个变量”，“x的每一个值”，“y有惟一确定的值”；
（2）判断两个变量是否有函数关系不仅看它们之间是否有关系式存在，更重要地是看对于x的每一个确定的值。y是否有惟一确定的值和它对应；（3）函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
函数的表示方法：
（1）解析法：两个变量之间的关系有时可以用含有这两个变量及数学运算符号的等式来表示，这种表示方法叫做解析法．
（2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表格来表示函数关系，这种表示方法叫做列表法．
（3）图象法：用图象表示函数关系的方法叫做图象法．
函数的判定：
①判断两个变量是否有函数关系，不仅看他们之间是否有关系式存在，更重要的是看对于x的每个确定的值，y是否有唯一确定的值和他对应。
②函数不是数，他是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
考点3：解直角三角形
（1）解直角三角形的定义&&&& 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系&&&& ①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；&&&& ②三边之间的关系：a2+b2=c2；&&&& ③边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
考点4：图形的平移与旋转
将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移是图形变换的一种基本形式。平移不改变图形的形状和大小，平移可以不是水平的。
平移基本性质：
经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；
平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。
（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;
（2）图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等
（3）多次连续平移相当于一次平移。
（4）偶数次对称后的图形等于平移后的图形。
（5）平移是由方向和距离决定的。
这种将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移运动，简称为平移
平移的条件：确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。
平移的三个要点
1 原来的图形的形状和大小和平移后的图形是全等的。
2 平移的方向。（东南西北，上下左右,东偏南n度，东偏北n度，西偏南n度，西偏北n度）
3 平移的距离。（长度，如7厘米，8毫米等）
平移作用：
1.通过简单的平移可以构造精美的图形。也就是花边，通常用于装饰，过程就是复制-平移-粘贴。
2.平移长于平行线有关,平移可以将一个角,一条线段,一个图形平移到另一个位置,是分散的条件集中到一个图形上,使问题得到解决。
平移作图的步骤：
（1）找出能表示图形的关键点；
（2）确定平移的方向和距离；
（3）按平移的方向和距离确定关键点平移后的对应点；
（4）按原图的顺序，连结各对应点。
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三角形． 
（8分）求证：等腰三角形的两底角相等．已知：如图，在△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C． 
题型：解答题
难度：困难
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科目：初中数学
下列命题中，属于真命题的是（　　）
　 A． 三点确定一个圆 B． 圆内接四边形对角互余
　 C． 若a2=b2，则a=b D．
若=，则a=b
科目：初中数学
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．
（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长．
科目：初中数学
我市今年中考数学学科开考时间是6月22日15时，数串“”中“0”出现的频数是　　　　　　．
科目：初中数学
）求证：等腰三角形的两底角相等．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC．
求证：∠B=∠C．
科目：初中数学
下列运算不正确的是（　　）
　&&& A． a2•a=a3& B． （a3）2=a6&&& C． （2a2）2=4a4&&&&&& &
D．&&&& a2÷a2=a
科目：初中数学
如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（　　）
　&&& A． x＞﹣2&&& B． x＞0&&&&&& C． x＞1&&&&&& D． x＜1
科目：初中数学
如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．
（1）直接写出∠NDE的度数；
（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；
（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=
，其他条件不变，求线段AM的长．
科目：初中数学
已知方程2x2+4x&#的两根分别为x1和x2，则x1+x2的值等于　
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2015年福建省漳州市中考数学试卷（解析版）
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3秒自动关闭窗口（;漳州）理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：
思路一
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=．tanD=tan15°===2-．
思路二
利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°-45°）===2-．
思路三
在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…
思路四
…
请解决下列问题（上述思路仅供参考）．
（1）类比：求出tan75°的值；
（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度；
（3）拓展：如图3，直线y=x-1与双曲线y=交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由．
解：（1）方法一：如图1，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．
设AC=1，则BD=BA=2，BC=．
tan∠DAC=tan75°====2+；
方法二：tan75°=tan（45°+30°）
====2+；
（2）如图2，
在Rt△ABC中，
AB=2-BC2=2-302=30，
sin∠BAC===，即∠BAC=30°．
∵∠DAC=45°，∴∠DAB=45°+30°=75°．
在Rt△ABD中，tan∠DAB=，
∴DB=AB•tan∠DAB=30•（2+）=60+90，
∴DC=DB-BC=60+90-30=60+60．
答：这座电视塔CD的高度为（60+60）米；
（3）①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P，如图3．
过点C作CD∥x轴，过点P作PE⊥CD于E，过点A作AF⊥CD于F．
解方程组，得
或，
∴点A（4，1），点B（-2，-2）．
对于y=x-1，当x=0时，y=-1，则C（0，-1），OC=1，
∴CF=4，AF=1-（-1）=2，
∴tan∠ACF===，
∴tan∠PCE=tan（∠ACP+∠ACF）=tan（45°+∠ACF）
=
==3，即=3．
设点P的坐标为（a，b），
则有，
解得：或，
∴点P的坐标为（-1，-4）或（，3）；
②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后，与x轴相交于点G，如图4．
由①可知∠ACP=45°，P（（，3），则CP⊥CG．
过点P作PH⊥y轴于H，
则∠GOC=∠CHP=90°，∠GCO=90°-∠HCP=∠CPH，
∴△GOC∽△CHP，
∴=．
∵CH=3-（-1）=4，PH=，OC=1，
∴==，
∴GO=3，G（-3，0）．
设直线CG的解析式为y=kx+b，
则有，
解得，
∴直线CG的解析式为y=-x-1．
联立，
消去y，得
=-x-1，
整理得：x2+3x+12=0，
∵△=32-4×1×12=-39＜0，
∴方程没有实数根，
∴点P不存在．
综上所述：直线AB绕点C旋转45°后，能与双曲线相交，交点P的坐标为（-1，-4）或（，3）．
分析：（1）如图1，只需借鉴思路一或思路二的方法，就可解决问题；
（2）如图2，在Rt△ABC中，运用勾股定理求出AB，运用三角函数求得∠BAC=30°．从而得到∠DAB=75°．在Rt△ABD中，运用三角函数就可求出DB，从而求出DC长；
（3）①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P，如图3．过点C作CD∥x轴，过点P作PE⊥CD于E，过点A作AF⊥CD于F，可先求出点A、B、C的坐标，从而求出tan∠ACF的值，进而利用和（差）角正切公式求出tan∠PCE=tan（45°+∠ACF）的值，设点P的坐标为（a，b），根据点P在反比例函数的图象上及tan∠PCE的值，可得到关于a、b的两个方程，解这个方程组就可得到点P的坐标；②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后，与x轴相交于点G，如图4，由①可知∠ACP=45°，P（（，3），则有CP⊥CG．过点P作PH⊥y轴于H，易证△GOC∽△CHP，根据相似三角形的性质可求出GO，从而得到点G的坐标，然后用待定系数法求出直线CG的解析式，然后将直线CG与反比例函数的解析式组成方程组，消去y，得到关于x的方程，运用根的判别式判定，得到方程无实数根，此时点P不存在．
点评：本题主要考查了锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、和（差）角正切公式、用待定系数法求一次函数的解析式、求反比例函数与一次函数的图象的交点、相似三角形的判定与性质、勾股定理、根的判别式、解一元二次方程等知识，考查了运用已有经验解决问题的能力，在解决问题的过程中，用到了分类讨论的数学思想，用到了类比探究的数学方法，是一道体现新课程理念（自主探究与合作交流相结合）的好题．
围城外面的人想进去，围城里面的人想出去。
我来说一句
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