第三章 习题
第三章 习题
1.什么是基本体？如何分类？
2.简述圆柱的投影特性
3. 在圆锥表面取点有几种方法？简述素线法的作图原理。
4. 简述用纬圆法圆在圆锥表面取点的作图原理。
5. 什么是平面体？什么是曲面体？各举两个例子说明。
6. 简述判断平面体表面上的点投影可见性的方法。
7．平面立体棱线上的点称为&&&&& 点，表面上的点称为&&&&&&
8. 回转体投影外形线上的点称为&&&&&& 点，表面上的点称为&&&&&&
9．用过圆锥顶的直线在其表面上取点的方法，叫做&&&&&& 。
10．用纬圆法求圆锥表面上的点时，纬圆的直径大小与纬圆的圆心到锥顶的距离&&& 。距离小，则直径&&& ，反之，直径&&& 。
11．当圆柱体的轴线垂直于水平面时，圆柱面的水平投影具有&&&&&&&&
&，其形状是&&&&&&& 。
12. 在圆柱表面所作的直线一定与圆柱轴线 &&&&&&&&&。
13. 在圆锥表面所作的直线一定是过&&&&&&& 的。
14.基本体有两种，分别是&& &&体和&& &&&体。
15.当圆锥的轴线垂直于H面时，圆锥底面的水平投影为&&& 形，其正面与侧面投影是与相应轴线&&&& &的&&& ，
16. 当圆锥的正面投影为圆时，锥顶的正面投影位置在该圆的 &&&&&&&&。
17. 基本体三面投影之间的对应关系是：正面投影与水平投影&&&&&&&&&
正面投影与侧面投影&&&&&&&&&
；侧面投影与水平投影&&&&&&&&&
18. 棱柱体的上下两个底面是互相 &&&&&&且&&&& 的。
三、判断（对T,& 错F）
19. 圆锥面的三个投影都没有积聚性。
20. 圆球表面也有直线。
21. 圆球的三个投影一定是直径相等的圆
22. 构成一个棱柱体的棱线数与棱面数是相等的。
23. 圆柱体的轴线一定是与水平面垂直的。
四、选择(单选、多选)
24．铅垂圆锥面上锥顶的水平投影位于（& ）。
A. 圆心B. 水平直径的左端点& C. 竖直直径的后端点 D. 水平直径的右端点
25. 棱线为铅垂线的棱柱顶面上的点，其水平投影是（ ）。
A. 可见的&&& B. 不可见的&& C.& 不确定
26. 轴线为正垂线的圆柱体最右外形线上的点，其侧面投影位于（ ）， 而且是（）
A. 轴线上，可见B. 投影外形线上，不可见C. 轴线上，不可见D. 均不确定
27. 因为圆锥的三个投影都没有积聚性，所以当
A. 轴线垂直H面时，圆锥面上点的水平投影都可见
B. 轴线垂直V面时，圆锥面上点的正面投影均可见
C. 轴线垂直V面时，圆锥底面上点的正面投影都可见。
D. 轴线垂直H面时，圆锥底面上点的水平投影都不可见。
28. 当棱锥的底面与水平面平行时，该面的水平投影具有（& ），且该底面上点水平的投影（& ）。
A. 真实性，可见B.& 积聚性，可见 C. 类似性，不可见 D. 真实性，不可见
五、看图分析并回答问题：
29.找出图3-1中的特殊点和一般点，并指出它们所在的位置。
30.判断点N的侧面投影可见性及其在图上的表示方法。
六、 如图3-3所示，回答下列问题：
31. 圆锥表面上的点A，B的取点方法是什么？
32.& A、B两点是什么类型的点？
33. 若已知圆锥表面上点B的侧面投影，按图3-3所示方法写出求该点水平投影和正面投影的作图步骤，并判别可见性。
七、看图3-2回答问题
34. 表面具有积聚性投影特性的立体有哪些？并指出它们相对哪个投影面具有积聚性。
35.图3-2(f)中的正面投影的虚线表示的含义是什么？
36.将图中所给立体分类
1.把工程上常用的单一几何形体称为基本体。基本体分为两类，一类是平面体，另一类是曲面体
2.当圆柱的轴线与某个投影面垂直时，圆柱在该投影面上的投影具有积聚性，其投影为一个与圆柱直径大小相等的圆。另外两个投影为大小相等的矩形。
3. 在圆锥表面取点有两种方法，纬圆法和素线法。
素线法的作图原理：过点及锥顶作直线，即为圆锥表面的素线，求出该素线的投影，而点在圆锥表面上，也在圆锥表面的一条素线上。
4. 纬圆法的作图原理是：过已知点作与圆锥底面的平行圆，在与之平行的投影面上投影反映实形，另外两个投影积聚为与投影轴平行的直线，点即为该辅助圆上的的点。辅助圆的直径等于积聚性投影与圆锥投影外形线相交处的长度。
5. 完全由平面所围成的立体称为平面立体。如四棱柱，三棱锥。
完全由曲面或曲面与平面所围成的立体称为曲面体。如圆球，圆柱。
6. 平面体表面上的点在某个投影面上的投影是否可见，首先应判断该点所在的平面在该投影面上是否可见，如平面的投影可见，则该面上的点投影也可见，反之，则为不可见。
7．特殊点，一般点&& 8. 特殊点，一般点&&& 9.素线法 10.有关，小，大
11. 积聚性，圆 12. 平行& 13. 圆锥的锥顶 14. 平面，曲面
15. 圆，平行，直线& 16. 圆心 17. 长对正，高平齐，宽相等18. 平行，相等
三、19. T& 20. F& 21. T& 22. T& 23. F&
四、24．A&& 25.& A.&
26. C& 27. A,B,D& 28.&
29. 点K是特殊点，位于棱线SC上。点M、N是一般点，分别位于三角形棱面SAB和SBC上。
30. 因为N点所在的平面的侧面投影不可见，所以点N的侧面投影不可见，在图上应表示为（n”）。
31. 其中点A的取点方法是素线法，点B的取点方法是纬圆法。
32. 点A、点B均为圆锥表面上的一般点。
33. 作图步骤：1）过b”X轴平行线，与圆锥轮廓线相交；
2）以圆锥水平投影圆的圆心为圆心，正面投影轴线到轮廓线的距离为半径，在水平投影面上画圆；
3）作45°辅助线，根据点B的侧面投影可见，且在后半圆锥面上，将点的水平投影确定，为可见，
4）求出点的正面投影，根据上述分析，B点的正面投影不可见，表示为（b”）。
34.（d）（f）的立体的投影具有积聚性。其中（d）的轴线与正面垂直，所以正面投影具有积聚性，而（f）的轴线与水平面垂直，所以水平投影具有积聚性。
35.表示五棱柱的最后一条棱线的正面投影不可见。按规定，不可见轮廓线的投影画虚线。
36.分为两类：平面立体包括：三棱锥、四棱台和五棱柱
曲面立体包括：圆锥、圆柱和圆球机械制图考试理论知识练习题_百度文库
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　　张俊 计算所前瞻研究中心三维影视数字制作技术课题负责人，主要研究方向为计算机图形学、计算机视觉和虚拟现实。
　　一．背景及意义
　　球幕电影是出现于20 世纪70 年代的一种特种电影类型。这种电影的观众厅为圆顶式结构，银幕呈半球形，观众被包围其中，视银幕如同苍穹。由于放映的视域范围可达180°，可自观众面前延至身后，且伴有立体声环音，使观众如置身其间。按照视觉理论，人的视域范围一旦超过150°，就会产生身临其境的错觉，因此，这种电影类型的沉浸效果非常强烈，并且可脱离立体眼镜和头盔，产生立体视觉。
传统的球幕电影采用70mm 胶片和鱼眼镜头进行拍摄和放映，最典型的如加拿大IMAX 公司开发的OmniMAX 球幕技术。与之对应的数字球幕电影，包括两个不同层面的含义：数字制作和数字放映。
　　近几年，直径10 米以上、采用数字放映方式的大型数字球幕电影（Fulldome digital movie, 以下简称Fulldome，又称Large-scale immersive digital movie）开始出现，直径超过20 米的巨型Fulldome 很快也将成为趋势。据统计，目前国内已建成和正在建设的Fulldome 剧院已有三十余家。
　　基于计算机图形学的Fulldome 制作技术是最近几年兴起的一个新领域，它与传统的拍摄制作方式相比，可以制作出人类无法达到的过去世界、未来世界、微观世界、外太空世界等一切人类未知或无法拍摄到的世界，其表现潜力几乎不受限制。早期Fulldome电影用在太空剧场，最初用数字天象仪来放映天象影片，随着天象影片形式的丰富和影片题材的扩展， 基于计算机图形学的Fulldome 制作技术应运而生。
二．存在的主要问题
　　目前Fulldome 制作技术主要用于要求相对较低的天象题材影片。如果要进一步面向包括文物、生物、人物角色在内的更广泛题材影片，就必须面对真实感、分辨率、影片制作周期和变形处理等指标，实现对传统的鱼眼拍摄制作方式的超越。以下是对上述指标的分析：
　　1. 三维数字制作的真实感，取决于三维数字化的精度、纹理的精度、色彩的准确度和光照处理。不管数字化的对象在现实中是否存在原型，在影视级的目标下，都必须满足客观性的要求：存在原型的，数字化的结果要求准确、要求忠实于原型，如文物；找不到原型的，也应符合科学性，如古生物，应依据化石和生物专家、考古专家的研究成果。
　　2. 片放映清晰度的决定因素包括：影片的输出分辨率和设备、场地的因素。
　　其中，三维数字制作影片的输出分辨率取决于三维物体的几何精度、三维物体的纹理分辨率、三维物体与镜头距离等因素；设备、场地因素包括屏幕尺寸（在Fulldome 电影里通常使用球幕直径）、观众到屏幕的距离、单个投影机的设备分辨率和投影机的个数（通道数）等。
　　3. 片制作周期主要包括两大部分：三维数字化的周期（又分为几何建模、纹理图像处理、纹理映射、动作建模、场景空间搭建、摄像机镜头摄制、灯光处理等），影片绘制的周期（又分为三维绘制和后期特效制作）。
　　4. 在传统的鱼眼拍摄制作方法下，影片画面的变形问题不存在，因为拍摄和放映都使用鱼眼镜头；而数字制作，必须面临从矩形画面映射到球幕的过程，并需要解决该过程所导致的变形。
三．国内外研究现状
　　加拿大IMAX 公司研发了一套DMR (Digital Re-Mastering) 技术，可用于将普通35mm 胶片转制成IMAX 格式的70mm 胶片，这个工作使三维数字制作的影片转为IMAX 巨幕电影成为可能，但费用非常昂贵，需要近三百万美元；更重要的是，对于将三维数字制作的影片转换成OmniMAX 球幕电影，IMAX 目前还没有提供解决方案。
　　国际上对Fulldome 制作技术的研究近几年才刚开始，最初用于大型天象节目的数字制作，2004 年7 月8 日在西班牙Valencia 召开的International PlanetariumSociety Conference (IPS) 上，第一次对Fulldome 制作国际标准进行了讨论，并设立了Fulldome StandardsSummit。会上对相关各项指标提出了建议，其中在分辨率方面，建议标准提出观众观看天象的要求应达到介于“模糊感知”和“精确辨别”之间的“辩知”水平，此时相邻两象素与视点连线夹角为不低于3 弧分(Arcminutes)，因此影片分辨率应至少达到。2005 年召开了三次Fulldome 的国际会议，在天象题材之后，提出了Fulldome 三维数字制作技术在其他题材上的广泛应用前景和要求，其中文物题材、古生物等题材影片对分辨率的要求远高于天象题材，同时三维数字化精度的要求也远比天文题材影片更高。
　　在国外对文物、生物题材的Fulldome 的三维数字制作方面的工作中，美国E&S 公司（计算机图形学之父Sutherland 在1968 年创建）于2004 年底利用其最新的Digistar 3 制作出的《法老的星空》（Stars of thePharaohs），其中三维制作的部分代表该领域的最高水平，影片输出分辨率达到了。
　　我们通过与中央新影导演合作承担国家发改委和敦煌研究院委托的石窟F u l l d o m e 电影的验证性课题，在国内首次进行了F u l l d o m e 制作技术的研究，目前已经能达到 的影片输出分辨率，并可在上海科技馆的F u l l d o m e 环境下实现无变形。该分辨率已经超过F u l l d o m e 的建议标准（），但要用于直径20 米以上的巨型F u l l d o m e 剧院来放映文物、古生物题材的三维Fulldome 影片（如敦煌预期建成的直径22 米F u l l d o m e 剧院），还需要进一步将分辨率提高到 以上。与此同时，
　　E&S 公司基于德国Zeiss 专利技术的激光投影机即将投放F u l l d o m e 投影市场，这种投影机将比传统D L P和CRT 投影技术分辨率更高、亮度和对比度更好，4台激光投影机可将设备分辨率提高到（理论值），这为文物、生物题材三维巨型F u l l d o m e 的放映提供了设备基础。我们针对这种新投影机开发了样片，并送到位于美国盐湖城的激光投影机样机上进行放映，取得了非常好的效果。E & S 公司C E OJames R. Oyler 盛赞该片是“目前所看到过制作最好的Fulldome 电影”。
在美国盐湖城首台Fulldome 激光投影机上进行的放映
四．主要研究内容
　　大型Fulldome 技术包括影片制作、投影以及剧场建设等多方面，本研究主要面向的是相对于传统节目摄制的数字化影片制作技术，尤其是三维影像绘制技术，其主要的研究内容包括：
　　1. 研究影视级的三维数字化技术
　　前面谈到，在影视级的目标下，不管数字化的对象在现实中是否存在原型，都必须满足客观性的要求。现有的三维数字化方法有三大类：
　　第一类是依靠三维美工进行手工建模，这种方法显然无法满足客观性，而且工作量非常大，对美工的要求也很高。
　　第二类是使用3D Scanner 进行三维扫描。该方法能够准确地获取目标的三维形状，但由于现有的3D Scanner 无法有效地获取纹理、光照等其他信息，还需要手工进行贴图，因而也会引入部分主观因素；另一方面，使用该方法，部分物体的获取会受到限制；同时，该方法还会造成大量冗余数据，不利于后期处理效率的提高。
　　第三类是基于计算机视觉的三维数字化。目前该方法有一个很大的瓶颈：需要在拍摄时规定相机严格使用确定的基线和镜头，多数情况下，该条件无法满足，限制了基于计算机视觉三维重建技术的发展（比如对于不可移动的物体，大部分时候，实拍过程中相机会因场地而受限）。经过我们的前期工作，对采集的限制现已不复存在，相机的位置、角度、焦距、拍摄路线等不再成为拍摄时的必要条件，均可通过计算反求出，从而真正实现了严格忠实于原作（三维形状、纹理、颜色、光照），完全满足文物级要求，目前误差<0.2mm。接下来需要进一步研究的是基于计算机视觉的交互图形处理技术，其目标是（1）改进交互方式，简化人工干预；（2）提高自动化程度，减少人工干预。
　　2. 研究基于影视级虚拟现实的实时绘制技术
　　在计算机图形学中，绘制的真实程度与绘制的速度是一对矛盾。目前我们已经有了实时真实感图形绘制的基础：
　　（1）通过从PC 底层开始，研发了一套绘制加速框架，实现了基于PC 的海量图形图像实时绘制。该框架取代操作系统的存储管理，建立了一套在多级Cache
　　间进行动态存储和调度的机制；并通过对时间相关性和空间相关性的利用，及对用户（操作）行为模型的统计和分析，进行图形图像数据的预调度和预绘制。因此，目前可以实时处理数千倍于系统处理能力的海量图形图像数据。
　　（2）提出了一个光照计算模型，可实时地实现对光传输方程的近似求解，这样，既可以达到Phong 模型和Gouraud 模型的实时，又可在绝大多数情况下模拟出Global Illumination 模型才能实现的真实感光照效果，甚至在玉器的光照实时实现方面，比现有GlobalIllumination 的效果更好。
　　通过以上工作，目前对于除大场面自然灾害（如海啸、飓风）、人体头发和部分无法实时实现的后期特效外，以包括自然景观的真实再现、复杂材质的逼真光效生成、细节的精细展现（墙壁裂缝、皮肤毛孔、树叶虫眼等）、动物毛发（羽毛、绒毛）等为内容的影片绘制，除数据载入时需要数分钟时间外，载入后可达到平均帧速率25 FPS。完全满足科教、文物记录片和动漫的质量需求。接下来需要在此基础上，为数字电影创意制作团队设计一个UI 模式，该UI 模式是后续开发成三维数字电影交互创作环境的基础。一方面，数字电影创意制作团队可以通过这个UI，利用绘制内核实时地预览制作的效果；此外，大部分影片的三维绘制工作，可以直接用实时绘制内核来完成，三维绘制时间将大大缩短。
　　3. 研究Fulldome 成片分辨率的提高，以适应文物、生物等题材的要求
　　对于文物和生物题材的Fulldome 电影，观众经常需要欣赏到精细的画面或者质感，也就是说，需要达到对细节“精确辨别”的程度，对数字画面具体量化的指标，是相邻两象素与视点连线夹角1.5 弧分（Arcminutes），换算成Fulldome 分辨率约为。
　　前面谈到全三维影片输出分辨率的决定因素，主要有三维物体的几何精度、三维物体的纹理分辨率、三维物体与镜头距离等。数字制作电影画面的清晰度不能只看输出分辨率数值的大小，如果不满足上述因素，而强制按输出分辨率的数值进行输出，则将产生锯齿，或者如果通过图像插值来抗锯齿，也会造成画面的模糊。尤其是屏幕巨大的特种电影，在画面模糊之后，非但不能让观众产生临场感，而且还会造成头晕。
　　对于全三维电影，三维物体与镜头的距离是一个重要问题。为了剧本和效果的需要，影片经常要把镜头与目标安排得非常近（比如特写），这对数据采集、三维数字化和绘制（尤其是实时绘制）均是巨大的挑战，是包括Fulldome 在内的数字特种电影公认的难题。我们目前已经达到了 的分辨率，与 的目标还有一定距离。
分辨率的Fulldome鱼眼单帧画面
4. 研究适用于数字放映方式的Fulldome 抗变形技术
　　球幕影片的磁转胶非常昂贵，而且目前国内不具备此能力，因此针对数字放映方式来研究Fulldome 成片是非常必要的。Fulldome 图像有两种类型，正交鱼眼（Orthographic Fish-Eye）图像和等距鱼眼（EquidistantFish-Eye）图像，前者会造成天顶处的拉伸和赤道处的压缩，而后者则因为能够实现象素在球面上的平均分布，因而是更理想的类型。
　　在成像方法上，如果采用直接鱼眼绘制（DirectFish-Eye Rendering）方法，生成的是正交鱼眼图像，因而不适合我们的目标，目前我们采用的是半立方体绘制（Hemi-cubic Rendering）方法，能够得到较均匀的象素分布，但需要针对不同的数字放映方式（如放映通道数目、球幕的倾斜度、球面覆盖角等），采用不同的画面裁切和边缘融合方法，否则会在球面映射的过程中产生变形，或者无法融合不同通道的边界。我们已经在上海科技馆的Fulldome 放映环境（直径13 米，6 台DLP 投影，球幕倾斜度23°）下和新研制出来的全球首台Fulldome 激光投影机（位于美国盐湖城E&S总部）上实现了影片的生成，解决了变形。更进一步，我们还需要探寻出一种与数字放映环境无关的球面映射变形解决方法。
五．总结与展望
　　本研究是在承担敦煌大型Fulldome 电影验证性课题过程中提出的，Fulldome 数字制作在国内是首次， 而且面对的是比国外挑战更大的文物、生物等题材， 和更高的要求， 同时也面临着国际标准尚待制定的机遇。在学术上、在大型影视娱乐应用前景上，本研究都有很高的价值，其中的关键问题和下一阶段的重点工作包括：
　　1. 对于全三维制作的科教记录片和动画片，如何在绘制结果的真实程度达到影视级的前提下，提高三维绘制的实时效率，最终为数字电影创意制作人员开发出一个辅助进行交互创作的环境。
　　2. 如何通过研究数据采集、三维数字化以及实时三维绘制的架构和方法，提高影片的输出分辨率，使其达到 象素以上。这个指标对应的像素夹角为1.5 弧分，一旦满足该夹角，即可让观众在巨型Fulldome 剧场（直径超过20m）中完全达到精确辨识的目标，从而使得文物、古生物题材的巨型Fulldome数字制作成为现实。同时，这个目标也将Fulldome 的影片输出分辨率提高到国外现有水平（）的2.5 倍。
　　3. 如何用计算机图形学中的小孔成像模型来有效模拟等距鱼眼（Equidistant Fish-Eye）成像模型， 从而得到象素分布均匀的等距鱼眼图像， 并探寻一个与数字放映环境无关的球面映射变形解决方法。该方法的成功， 将避免为不同标准的Fulldome 放映环境花费的专门绘制时间， 大大提高Fulldome 制作对不断涌现的Fulldome 剧场的适应性。
作者：张俊
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小柒786154
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张帆，高云龙，黄先锋，尹若捷，张志超，朱宜萱。基于球面投影的单站地面激光点云直线段提取方法[J].测绘学报，)：655-662. DOI:
ZHANG Fan,GAO Yunlong,HUANG Xianfeng,YIN Ruojie,ZHANG Zhichao,ZHU Yixuan. Spherical Projection Based Straight Line Segment Extraction for Single Station Terrestrial Laser Point Cloud[J]. Acta Geodaeticaet Cartographica Sinica,): 655-662. DOI:
基于球面投影的单站地面激光点云直线段提取方法
张帆1,高云龙1,黄先锋1,尹若捷1,张志超2,朱宜萱2&&&&
1. 武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室，湖北 武汉 430079；2. 武汉大学遥感信息工程学院，湖北 武汉 430079
基金项目：国家973计划(；)；国家科技支撑计划(2014BAK07B04)；国家自然科学基金(071291).
第一作者简介：张帆(1982—)，男，副教授，研究方向为激光扫描数据处理、数字图像处理、精细三维重建。E-mail: zhangfan@
通信作者：黄先锋 E-mail: huangxf@
摘要：由于激光点云离散分布于三维空间，导致特征计算困难，目前针对地面激光扫描点云的直线提取方法普遍存在计算量大、提取错误、或适应性不足等问题。本文提出了一种基于球面投影的单站地面激光点云直线段提取方法：首先将三维点云投影到球面上，球面投影后的三维点云保持了正确的邻接关系，同时也解决了三维数据计算量大的问题；然后，利用球面霍夫变换，正确提取球面投影后点云中的直线段特征；最后，利用稳健的直线拟合算法计算点云中的三维直线段参数。通过对室内室外场景数据的直线段提取试验及与商业软件Geomagic Studio等方法的对比试验，验证了本方法的正确性、适用性和准确性。
地面激光扫描&&&&
直线段提取&&&&
球面投影&&&&
霍夫变换&&&&
Spherical Projection Based Straight Line Segment Extraction for Single Station Terrestrial Laser Point Cloud
ZHANG Fan1,GAO Yunlong1,HUANG Xianfeng1 ,YIN Ruojie1,ZHANG Zhichao2,ZHU Yixuan2 &&&&
1. State Key Laboratory of Information Engineering on Survey,Mapping and Remote Sensing,Wuhan University,Wuhan 430079,C2. School of Remote Sensing and Information Engineering,Wuhan University,Wuhan 430079,China
First author: ZHANG Fan(1982—),male,associate professor,majors in laser scanning data processing,digital image processing,high precision 3D reconstruction.
Corresponding author: HUANG Xianfeng E-mail： huangxf@
Abstract: Due to the discrete distribution computing errors and lack of adaptability are ubiquitous in the current straight line extraction for TLS data methods. A 3D straight line segment extraction method is proposed based on spherical projection for single station terrestrial laser point clouds. Firstly,horizontal and vertical angles of each laser point are calculated by means of spherical coordinates,intensity panoramic image according to the two angles is generated. Secondly,edges which include straight line features are detected from intensity panoramic image by using of edge detection algorithm. Thirdly,great circles are detected from edges of panoramic image using spherical Hough transform. According to the axiom that a straight line segment in 3D space is a spherical great circle after spherical projection,detecting great circles from spherical projected data sets is essentially detecting straight line segments from 3D data sets without spherical projection. Finally,a robust 3D straight line fitting method is employed to fitting the straight lines and calculating parameters of the straight line segments. Experiments using different data sets and comparison with other methods show the accuracy and applicability of the proposed method.
Key words:
terrestrial laser scanning&&&&
straight line segment extraction&&&&
spherical projection&&&&
Hough transform&&&&
地面激光扫描(terrestrial laser scanning)系统能够快速获取目标表面精确而密集的点集，是一种高效的数据获取模式。激光扫描数据由密集而离散的三维点构成，又被称作激光点云。三维激光点云的直线段提取是数据配准、对象识别和三维重建方法的基础步骤。然而，目前较成熟的直线提取方法，如霍夫变换、启发式连接、层次记号编组等[]都只适用于二维图像，无法直接应用于三维激光点云的直线段提取。
三维激光点云的直线提取，有两大类方法：直接法和降维法。直接法是在点云数据三维计算和分析的基础上提取直线，最常见的是平面相交法[, ]。常见的直接法之一是将三维点云分割为不同的平面，拟合平面参数，通过相邻且有一定夹角的平面相交提取直线。此方法提取直线精度较高，在机载点云的建筑物重建中应用较多，但因地面激光扫描数据分辨率高、邻接关系复杂，该方法往往需要大量人工交互操作。另一类常见的直接法首先构建三维激光点云之间的邻接关系或将点云拟合为参数表面，然后通过邻近点或参数表面形成的面状特征进行直线或曲线的提取[, , ]。这类方法适用于小型零件结构特征的精确提取，在逆向工程和计算机辅助设计方面应用广泛，但复杂场景地面激光点云拟合表面本身就是一个较复杂的问题，因而，此类方法适用性较差。
地面激光点云数据量大、缺乏拓扑邻接关系，直接法的三维计算需要消耗非常多的计算资源。因此，许多研究者提出将三维点云降维处理后进行特征检测和直线提取，将三维激光扫描数据按扫描线进行分解，每条扫描线就是一个二维点集，以减少计算量。这类降维法大多用于面片提取[, ]或移动机器人导航[, , ]，无法提取整站地面激光点云中的直线特征。另一类常用的降维法是投影法，将点云以平行投影[, , , ]或中心投影[, , ]的方式投影到对应的光学图像上，利用图像处理的方法检测特征并提取直线段，再将二维图像的直线段提取结果反投影到三维空间获得三维直线段提取结果。这类方法在处理机载点云数据和地面激光扫描视场角较小的情况下能得到较好的结果，但激光扫描视场角较大(如超过180°)或场景较复杂时，通过这些投影方式必然会造成点的重叠或遮挡等问题，从而导致信息缺失或提取错误。更重要的是，这种投影很难保证点云中的三维点与投影后的二维点一一对应，因而，在反投影过程中容易出现错误。
为了克服投影法在投影过程中的重叠或遮挡等问题，文献[]将单站激光点云投影到以激光中心为球心的球面上进行分析计算从而构建三角网。因此，本文选择这种球面投影的方法将单站激光扫描数据进行投影，并利用球面霍夫变换方法[]提取球面投影后的三维直线段特征，最后利用稳健的三维空间直线拟合方法计算激光点云中的三维直线段。
基于球面投影的单站地面激光扫描数据直线段提取方法流程如图 1所示，大体上分为球面投影、边缘检测、球面霍夫变换及三维直线拟合4个步骤：
图 1 球面投影直线段提取方法流程
Fig. 1 Flow chart of proposed method
(1) 球面投影。将单站激光扫描数据进行球面投影，计算每个激光点对应球面坐标的两个角度值，并利用这两个角度值和激光点云强度信息生成全景图，由于单站激光扫描角度间隔固定，所以全景图的像素与点云中的激光点一一对应。
(2) 边缘检测。利用数字图像边缘检测方法对全景图进行边缘检测，获得全景图上的边缘点，这些边缘点包含了组成直线段的特征点。
(3) 球面霍夫变换。由于三维空间中的直线段经过球面投影后成为球面大圆的弧，球面霍夫变换在二维球面坐标空间中检测边缘点中的大圆，即可提取三维空间中的直线段特征点。
(4) 三维直线拟合。由于投影及边缘检测带来的错误，球面霍夫变换检测的大圆可能包含错误点，利用稳健的三维直线拟合方法剔除粗差，并拟合出精确的三维直线段，完成三维直线段提取。
本节将对算法涉及的理论和实施步骤进行详细描述。
2.1 球面投影
地面激光扫描仪的扫描方式是底座水平放置，激光脉冲发射方向随着扫描头在垂直方向上下摆动或连续转动，同时扫描底座在水平方向缓慢自转，扫描仪通过记录激光脉冲的方向和经目标表面反射后返回的时间(或相位差)来计算目标表面三维坐标。因此，可将单站激光扫描数据中的扫描点无重叠的投影到以激光发射中心点为球心的球面上，通过由三维球坐标系降维简化的二维球面坐标系来描述激光扫描数据。
球坐标系是利用球坐标(r,θ,φ)表示一个点P空间位置的三维正交坐标系[]。图 2示意了球坐标的几何意义：原点与点P之间的径向距离r，原点到点P的连线与正Z轴之间的天顶角θ，以及原点到点P的连线在XOY平面的投影线MO与X轴之间的方位角φ。本文定义的球面坐标系是设径向距离r为单位常量1的球坐标系，即，将三维球坐标系(r,θ,φ)简化为二维球面坐标系(θ,φ)。
图 2 球坐标系
Fig. 2 Spherical coordinates
记空间中的一点P的三维坐标为(X,Y,Z)，该点投影到半径为1的单位球面后的点p的球面坐标为(φ,θ)、三维坐标为(x,y,z)，则有
式中，φ和θ即为获取该点时激光脉冲的水平角和垂直角。因单站激光扫描中，激光器水平和垂直方向的角分辨率是固定的，则点云在球坐标系下的φ和θ的间隔也是固定的，因此，对投影后的点云可以用二维栅格进行索引，某一点在栅格中的二维坐标由φ和θ确定。栅格中存放的是点云的三维坐标、深度和强度等信息，每个三维激光点都有唯一的二维栅格与之对应[]。
如果将二维栅格表示为图像，则该图像为全景图，图像的像素灰度值可由其对应点云的深度或强度等信息决定。图 3用不同方式表现了单站地面激光扫描数据，像素的灰度值由点云回波强度决定。图 3(a)为点云的三维透视图，其经过球面投影后如图 3(b)所示，将其展开为全景图如图 3(c)所示。
图 3 按强度赋色的激光点云不同表现形式的图像
Fig. 3 Different view types of point cloud colored according to intensity
点云的深度是被测点与扫描仪中心的距离，强度表示激光脚点经由目标表面反射后激光器接收激光信号的强弱。通常情况下，深度的阶跃会导致强度的阶跃变化。除此之外，颜色、材质、角度的变化也会导致强度的变化，因此，许多深度变化不明显的地方，如建筑物的拐角处、不同颜色的装饰处等在强度中的变化十分明显。可见，强度包含了十分丰富的信息，利于激光扫描数据的分析与计算，本文选取由强度信息生成的全景图进行进一步的特征提取。
2.2 边缘检测与球面霍夫变换
全景图与普通图像一样，可以用图像处理的方法进行边缘提取。Edison算子[]将像素的嵌入置信度贯穿到Canny算子中，满足最佳边缘提取算子的3个准则：高信噪比、精确定位和单边缘响应[]。因此，本文选用了Edison算子进行边缘检测。
对图 3(c)的强度全景图边缘检测结果如图 4所示。可以看出，利用Edison算子可以较好地检测出强度全景图中的边缘特征。然而，三维空间中的直线在球面投影与展开后的全景图中变成了曲线，无法用传统霍夫变换提取这些直线。由立体几何知识可知，三维空间中的直线段投影到球面上是一个大圆弧，而球面上大圆的轨迹可以用一系列的球面坐标(θi,φi)表示，而且这些二维坐标也能在球面坐标φ-θ空间中累积形成峰值。文献[]利用球面霍夫变换准确估计三维点云中圆柱的方向，基于类似原理，本文利用球面霍夫变换检测球面空间的大圆。
图 4 强度全景图的边缘检测结果
Fig. 4 Edge detection results of intensity panoramic image
球面上某一点Pi(θi,φi)，记其对应的三维空间坐标为(xi,yi,zi)，由式(2)可知
由立体几何知识可知，一个球有且仅有一条直径与球面上某一已知圆垂直，球面三角中将这条垂直直径的两个端点定义为该已知圆的极。因此，球面上一个大圆有且仅有两个极，反之，以球面上一个点为极的大圆也是唯一的。
由极的定义可知，以Pi为极的大圆所在的平面垂直于线段OPi(O为球心)，即该平面的法向为(xi,yi,zi)，且该平面过原点，则该平面方程为
将式(4)代入式(5)得该平面与球面相交形成的大圆(即以Pi为极的大圆)的三维直角坐标系方程为
将式(2)代入式(6)可得该大圆的球面坐标系方程为
由极的定义可得到以下两个有关极和大圆之间关系的推论，推论和证明如下：
推论1：经过球面上某一已知点的所有大圆的极形成的轨迹是球面上以该已知点为极的大圆。
证明：如图 5(a)所示，球面上某一已知点M，记经过点M的大圆直径的另一端点为M′，那么经过点M的所有大圆Ci都会以MM′为直径。根据极的定义，大圆Ci的极Ni和Ni′的连线NiNi′是与大圆Ci垂直的直径，显然直径NiN′i垂直于直径MM′。由此推断，所有的点Ni和点N′i都在过圆心且垂直于直径MM′的平面与球面的交线上，即为一个大圆，且该大圆的极为M和M′。
图 5 球面上极和大圆的关系
Fig. 5 Relationships between spherical poles and great circles
推论2：以球面上某一已知大圆上的所有点为极的大圆交汇于该已知大圆的极。
证明：如图 5(b)所示，记已知大圆C上的任一点为Mi，过Mi的大圆直径的另一端点为M′i，过圆心且与直径MiM′i垂直的平面与球面相交的大圆为Ci。由极的定义可知，大圆Ci的极为Mi和M′i。由于大圆Ci与大圆C的直径MiM′i垂直，所以大圆Ci与大圆C垂直。记大圆C的极为P和P′，由于大圆Ci和直径PP′均与大圆C垂直，且均过圆心O，因此，直径PP′与大圆Ci共面，即球面上所有大圆Ci都交汇于点P和P′。
由上述推论可知，球面上一个点有且仅有唯一的大圆以该点为极，本文称该大圆为“该点对应的大圆”。同时，由式(7)可知大圆轨迹可以在一个有限的φ-θ二维空间表现为一条曲线。利用霍夫变换原理，如果将一段大圆弧上所有点对应的大圆轨迹在这个φ-θ二维参数空间进行累积，则φ-θ二维参数空间中在该大圆弧的两个极会形成峰值，通过峰值的φ-θ坐标即可求得大圆方程。
为避免霍夫变换全局投票给较短的特征线段带来漏检测或检测不准确的影响，本文采用局部霍夫变换[]的方法进行大圆检测：首先，将边缘点按邻接关系分成若干的边缘组；再以边缘组为单位进行球面霍夫变换，单独解算某条边缘中包含大圆的参数；最后按照大圆参数和端点距离合并大圆弧段。
图 6为图 4通过球面霍夫变换检测大圆弧段的结果，这些大圆弧段即对应三维点云中的直线段特征点集。
图 6 球面霍夫变换直线段提取结果
Fig. 6 Spherical Hough transform results of straight line segment extraction
2.3 稳健的三维直线拟合
由于边缘提取误差、球面投影带来的空间歧义以及激光扫描系统本身在边缘处的噪声，导致球面霍夫变换提取的三维点云直线段特征点中除了真正的直线段特征点外，往往还包含一些噪声点。激光扫描数据中比较理想的是脊状边缘上的直线段特征，如图 7(a)所示，对其提取到的三维直线段特征点如图 7(b)所示，这类特征比较理想，无噪声点。然而，激光扫描数据中还存在大量如图 7(c)所示的由阶跃引起的边缘，由于激光光斑有一定的大小，在边缘处的激光点会包含一些噪声，如图 7(d)所示；此外，如图 7(e)所示直线段边缘处有植被等其他对象干扰时也会在三维直线段特征点中引入一些噪声点，如图 7(f)所示。对于存在噪声点的直线段特征点集，如果仅用最小二乘法无法准确解算三维空间的直线段参数，本文用RANSAC[]的方法剔除直线段特征中的粗差点，稳健的拟合三维直线。这种方法与文献[]中的类似，本文不再详细讨论。通过稳健的三维直线拟合得到的最终直线段提取结果如图 8所示。
图 7 几种典型的直线边缘及对应的三维直线段特征点集
Fig. 7 Several typical straight line edges and corresponding 3D point sets
图 8 三维直线段提取结果
Fig. 8 Results of 3D straight line segment extraction
2.4 实施步骤
记单站激光点云中包含的激光点Pi的三维空间坐标为(Xi,Yi,Zi)，归一化强度值为Ii。该站激光扫描水平与垂直角度范围为H和V，角分辨率为RH和RV。本方法实施步骤如下：
球面投影及三维点索引
根据(Xi,Yi,Zi)，利用式(1)和式(3)计算每个点Pi的球面坐标(θi,φi)。
根据H、V、RH和RV利用式(8)计算球面投影后的二维栅格大小M×N。
根据θi、φi、RH和RV利用式(9)计算点Pi在二维栅格中的存放位置ri和ci，并将点Pi的三维空间坐标(Xi,Yi,Zi)及归一化强度Ii存入ri行ci列的栅格中。
建立一张M×N的图像，图像像素值设置为栅格中对应位置激光点的强度Ii×255，生成强度全景图，对应栅格中没有激光点的像素(如天空等无回波对象)像素值设置为0。
2.4.2 边缘检测与球面霍夫变换
利用Edison算子对步骤(1)生成的强度全景图进行边缘检测，利用8连通将检测到的边缘点分组，以组为单位进行球面霍夫变换。
球面φ-θ参数空间中，完整球面的参数范围是φ∈[0,2π)，θ∈[0,π)。球面霍夫变换是累积大圆极的轨迹，一个大圆对应的两个极在球面呈中心对称，因此，只需半球的参数空间φ∈[0,π)，θ∈[0,π)即可。参数空间量化间距大小取角度分辨率，从而，累积矩阵大小为：π/RV行，π/RH列。
利用式(7)计算该组内每个边缘点对应的大圆轨迹，并计入累积矩阵。累积完成后，选取累积峰值及其对应的边缘点。
所有边缘组大圆检测完成后，按大圆参数排序，合并大圆参数相同且弧段端点在一定阈值内的大圆弧。
三维直线拟合
步骤(2)中检测出的大圆弧对应的是全景图上的一系列边缘点，每个边缘点对应二维栅格中存储的一个三维激光点。取出每个大圆弧对应的一系列三维激光点，通过稳健的三维直线拟合方法拟合三维直线方程，通过边缘点的范围计算三维直线段的两个顶点，完成三维直线段提取。
3 试验与分析
3.1 直线段提取试验
本文选择了建筑物室外和室内两站地面激光扫描数据进行直线段提取试验。试验数据的采集仪器为Z+F Imager5006型三维激光扫描仪。该扫描仪25m处测距中误差为1.5mm，试验数据采集的水平角度范围为360°，垂直角度范围为310°，角分辨率为0.018°。
对建筑物室外场景的激光扫描数据已经在第2节的方法描述中进行了试验说明，提取直线段结果如图 8所示，建筑物上的主要直线段特征都被正确提取，但仍存在一些特征被遗漏，以及少量树上干扰特征的过检测。
建筑物室内激光扫描试验数据集及中间步骤结果如图 9所示。其中，图 9(a)为点云三维透视视图，图 9(b)为球面投影后展开的强度全景图，由于建筑物内部的主要直线段特征在扫描仪中构象的水平角度范围大，因此，直线段特征呈现出更明显的弯曲。利用Edison算子的边缘提取结果如图 9(c)所示，边缘检测结果中除了场景的直线段特征外，还存在大量的干扰特征。通过球面霍夫变换大圆检测后，得到的大圆弧中保留了大部分主要特征，剔除了大部分干扰特征，如图 9(d)所示。通过直线拟合后的三维直线段提取结果如
图 10所示。建筑物内部的主要直线段特征都被正确提取。
图 9 室内点云试验数据及中间步骤结果
Fig. 9 The data set of indoor scene and the interim results
图 10 室内场景三维直线段提取结果
Fig. 10 Results of straight line segment extraction of indoor scene
以上室内和室外场景两组试验都验证了本文提出的直线段提取方法的正确性，虽然本方法存在少量直线段特征的过检测和漏检测，但目前其他文献的方法从理论上，都无法自动完成此类全站激光扫描数据的直线段提取。
3.2 对比与分析
本文首先选择了商业软件Geomagic Studio进行对比试验，并在精度上与文献[, ]中的直线段提取方法进行比较。
商业软件Geomagic Studio的直线段提取采用的是平面相交法，具体步骤为：首先自动将待提取点云构建三角网，然后在三角网中自动提取平面，再通过人工交互选取相邻且有一定夹角的平面相交提取直线段，最后人工交互合并邻近且共线的直线段。
Geomagic Studio对数据量的限制及其方法需要大量人机交互操作，因此，对比试验选取室外场景的台阶部分进行，此部分数据直线段特征集中，适合试验分析。Geomagic Studio与本文方法的直线段提取结果对比如图 11所示。
图 11 Geomagic Studio与本方法的直接提取结果对比
Fig. 11 Comparison of straight line segment extraction results of Geomagic Studio and proposed method
效率方面。Geomagic Studio提取直线段过程较复杂，且需大量人工交互操作，而本方法为自动提取，效率高于Geomagic Studio软件。
直线段提取完整性方面。Geomagic Studio的直线段提取依赖于平面特征检测的结果，平面检测的遗漏会导致直线段检测的遗漏及长度完整性不够。由图 11的对比结果可知，本方法提取的直线段也存在遗漏，但在直线段的长度完整性方面优于Geomagic Studio。
直线段提取精度方面。由激光扫描原理可知，激光扫描点云拟合的平面精度高，因而Geomagic Studio的平面相交法提取的直线段精度较高。本文统计本方法与Geomagic Studio提取的16条同名直线段之间的夹角和距离，对本方法提取直线段的精度进行间接验证，统计结果如表 1所示。从统计数据看，夹角平均值为0.153°，距离平均值为0.0033m。本文方法的距离平均值大幅度优于文献[]中的结合影像与点云自动直线特征提取方法结果的0.0096m，同时，本方法与文献[]中的霍夫变换与最小二乘提取直线的误差统计结果相比也有较大的优势。
表 1 Geomagic Studio与本方法提取的同名直线段之间的夹角与距离统计
Tab. 1 Statistics of the angles and distances between the corresponding straight line segments extracting from Geomagic Studio and the proposed method
直线段编号4/898/978/773/762/7316/7515/6114/62
夹角/(°)0.11720.33620.28960.09730.04350.20280.04290.1441
距离/m0.00710.01850.00260.00650.00060.00230.00240.0004
直线段编号7/6013/5912/571/560/5411/5510/9417/49
夹角/(°)0.52810.07450.12160.04170.14060.06410.17720.0262
距离/m0.00370.00050.00010.00070.00120.00240.00010.0030
夹角平均值：0.153°距离平均值： 0.0033m
4 结论与展望
本文提出了一种基于球面投影的单站三维激光点云直线段提取方法，其核心思路是将单站激光扫描数据进行球面投影，不仅能用二维的规则格网对三维激光扫描数据索引，简化计算和分析，更能避免其他投影方法引起的重叠或遮挡等问题。而在以强度信息为依据生成的影像上进行计算，不仅能检测出几何的直线段特征，也能检测出纹理的直线段特征。
如何有效融合包括深度、强度甚至可见光影像的数据进行更稳健的直线段提取，弥补单一强度信息特征提取的不足，是本文进一步的研究方向。此外，将直线段提取结果用于数据配准、对象识别和三维建模等方面，也将是下一步的研究方向。
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ZHANG Fan,GAO Yunlong,HUANG Xianfeng,YIN Ruojie,ZHANG Zhichao,ZHU Yixuan
基于球面投影的单站地面激光点云直线段提取方法
Spherical Projection Based Straight Line Segment Extraction for Single Station Terrestrial Laser Point Cloud
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