工程数学线性代数同济第五版 P10性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.的证明过程有一点很不懂.&&设行列式&&是由行列式D=det(aij)对换i,j两行得到的,即当&k≠i,j时,bkp=当k=i,j时,bip=ajp,bjp=aip,于是&& & & & & D1=& ∑(-1)tb1p1…bipi…bjpj…bnpn&& & & & & & =& ∑(-1)taip1…ajpi…aipj…anpn&& & & & & & =& ∑(-1)ta1p1…aipj…ajpi…anpn&其中1…i…j…n为自然排列,t为排列p1…pi…pj…pn的逆序数.设排列p1…pj…pi…pn的逆序数为&t1,则(-1)t=-(-1)t1,故&& & &Dj=&&-∑(-1)t1a1p1…aipj…ajpi…anpn=&-D& &证毕&上述为书本上完整的证明过程.&其他部分都很明白清晰,其中我最不明白的是最&后一步,为什么Dj=-D,难道说这意味着D=∑(-1)&t1a1p1…aipj…ajpi…anpn吗?可是,D为换行(列)&之前的行列式,不是应该&D=∑(-1)ta1p1…aipi…ajpj…anpn么?&除非我的思路有问题.那么如果我的思路有问题&的话,最后一步的等式到底是怎么推导出来&的呢?鄙人数学基础不好,想好好&弄懂课本上的知识.&
老坎200198
你跟我以前想的一样,现在我已经明白了,要想搞明白这一步,首先你得非常清楚行列式表达的定义,行列式是n!项的代数和,其中每一项是位于不同行不同列的n个数的乘积再加上符号（－1）的t次幂,关键是t怎么得来的,它是把每个乘积中的项的行标按顺序排好后相应列标的逆序数,所以这里的D可以表示为∑（－1）的t1次幂乘a1p1…aipj…ajpi…anpn,你是觉得列标的顺序pj和pi反了吧,其实这样表示不影响,只要把行表排好后列标任意排就行,因为不管怎么排,总能排成n!项,所以换行后的所得行列式的每一项都能找到原来的对应项的相反数,你如果写出一个简单的行列式,比如四阶,把它的按定义写出几项,然后互换它的二三行,再写出互换后行列式的对应的几项,就能看到逆序奇偶相反了,所以正负相反；其实书上的证明表达的不太容易理解,这也是很多人觉得数学难的原因,你也可以按定义直接思考,互换两行后行列式的每一项的行标按从小到大顺序排好后,其列标必有两个数颠换,这是互换两行造成的,这样每一项逆序数奇偶性必然发生改变,所以它的符号就改变了,而它的值没变,还是原来没交换的行列式的对应项的乘积,希望采纳!如果还不明白可以追问我
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举个例子,三阶行列式交换前两行,证明交换前后的行列式互为相反数:原行列式为:|A11 A12 A13||A21 A22 A23||A31 A32 A33|交换前两行得到新的行列式|A21 A22 A23||A11 A12 A13||A31 A32 A33|N阶行列式定义就是取所有不同行不同列的N个元素相乘外加...
我也不懂，D1的第二步和第三步为什么相等？它们的t代表的意义不一样吗？证毕前面的D1=-D我能理解。
扫描下载二维码如何证明行列式值能表示一个平行六面体的体积？
一个顶点在原点，其他三个顶点为（x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3),体积值即为以以上三个坐标为单行的行列式的值，为什么？怎么证明？大神出现吧
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感觉大家都没说到重点啊，首先如何定义一个平行六面体的体积？一般我们会采用中的（或Lebesgue测度）来定义平面六面体的体积，由于平面六面体是Jordan可测的，所以它的体积是定义良好的。那么接下来就是证明一个顶点在原点，另外三个顶点为的平面六面体的Jordan测度等于，这里是矩阵。这个平面六面体可以看作中的单位盒子在线性变换下的像，这里。因为在标准基在的矩阵就是，所以。然后根据对于Jordan可测的集合和线性变换，我们有所以。
我来给一个严谨的证明吧.首先我们要说清楚什么是"体积"? 按照直观, 我们自然希望在中的一个长方体的体积是. 这引出的就是上的标准Lebesgue测度. 所以要证明的说穿了是这样一件事:对于一个由向量张成的平行六面体, 其Lebesgue测度恰好等于行列式 回忆一下, 可测集的Lebesgue测度定义为其外测度和内测度的公共值(或者按照抽象测度的语言, 是长方体生成的sigma代数的完备化上自然扩张出来的那个测度), 所以这个结论的证明其实并不那么直接. 注意, 我们固然可以从直观上得出"平行四边形的面积=底乘高"这种结论的推广, 但是这种纯解析几何的证明会非常复杂, 和测度论的联系表述起来也会比较繁琐. 所以这里给一个不那么解析几何的证明.相应地, 这个结论非常重要: 它是积分换元公式的基础. 有了这个结论, 才能够证明积分换元公式.我们很容易把问题归结到这n个向量线性无关的情形. 为了方便说话, 选定的一组基底, 并且规定Euclidean内积 下文中也不区分线性算子和它在这组基底下的矩阵. 把向量组记成列向量. 这样, 矩阵就相应于一个线性算子. Lebesgue测度关于平移变换的不变性是很容易证明的, 所以我们不妨就假设平行六面体的一个顶点(所有边的起点)都在原点处. 把取定的标准正交基底张成的正方体记作. 这样, 有(集合论的意义下). 由于线性变换都是Lipchitz连续的, 所以它把可测集变到可测集.下面就来证明核心的结论.我们先来claim两件在直观上很显明的事:1)对于对角化了的算子有.2)对于正交算子, 有, 也就是说正交算子保持测度不变.第一个结论容易证明, 因为算子代表的是伸缩(加上反射)变换, 因而正方体的像实际上就是一个各边平行于坐标轴的长方体.第二个结论稍微困难一些. 我们回忆一下正交群可以由(关于超平面的)对称变换生成, 所以只需要对对称变换证明这个结论(注意到). 从测度论的标准构造, 又可以归结为对各边平行于坐标轴的正方形进行证明. 但归结到这里就很明显了.现在可以完成对命题本身的证明了.回忆一下线性算子的奇异值分解: 存在正交变换和一组正数, 使得(奇异值分解告诉我们: 线性变换可以通过找到合适的正交基底而"化归"成"伸缩".)这样根据行列式的性质, 和前面证明过的两条claim, 立刻可以得到要证明的结论.这个证明的想法是将线性算子一步步拆分成简单算子的复合. 也许结论本身的直观意义是很明显的, 但是真正严格地证明起来还是需要用到行列式的重要性质(当然, 有了这种直观意义之后, 这个式子也有了很明显的几何意义), 和正交几何以及奇异值分解的相关结论. 这也许就是数学证明和直观推演不同的地方. 当然, 几何直观为我们提供了极其重要的导引和启发.最后提一句纯解析几何的证明. 它也依赖于线性算子的分解, 关键的步骤是分解成准上三角方阵和正交方阵的乘积(对应着找到"底"和"高").
体积 a,b,c分别为向量(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)(x3,y3,z3)，然后带进去算一下就知道了诸位还是看其他几位大神的解法吧，我这个解法太trivial
行列式是n维线性空间上的规范的，反对称的n重线性函数。（这是一种定义）而有向体积也满足这些性质。
《introduction to linear algebra》里面有一个非常直观的解释。
首先把这个行列式化成三个边向量的形式然后，三阶行列式=混合积=任意两个向量的叉积与第三个向量的点积=底面积乘以高=平行六面体的体积。
这个问题。。我能说“由定义得”么？
如何证明这个大家说得都很多。但是如何理解呢？让我们先结构一下这个问题。题主想必知道怎样求平行六面体的体积，那就是底面积乘以高。这是平行四边形面积公式的一个推广。平行四边形面积公式怎么来的？通过对长方形进行切割和拼接得来的。在这里我们用到了长方形面积公式（定义）体（面）积的可加性全同图形面积相等也就是说，这一套面积或体积计算公式是建立在测度意义上的——测度天然有可加性，并且作为拓扑空间上的附加结构，在满足一定规则的前提下是可以任意定义的，比如基础集合的面积测度，以及等测度集合类等等。而行列式是纯代数方法，有人说雅克比行列式是体积的定义，这是纯代数意义上的体积，严格说和我们在中小学学习的方法和日常直觉是有一定差距的。所以要理解他们相等，关键要理解这两种体（面）积定义的等价性。可以通过证明代数定义同样满足上面三个条件来理解，只要元规则满足了，那么之后导出的公式就会相同。长方形面积在代数中来源于欧氏度规体积可加性是线性代数自然拥有的性质全同图形在代数方法中是完全等价的
用向量解释，分行列式为三个行向量组
令a=[x1 .. ], b=[x2 .. ], c=[x3 .. ]a叉乘b得到矢量m假設ab夾角為theta這個矢量大小是|a| |b| sin(theta)
也就是以a b為邊的平行四邊形的面積方向垂直於ab平面 , 右手法則c在m方向的投影的長度 就等於c的終點到ab平面的距離因此(m點乘c)的絕對值等於體積回到題目的式子本身你把m=a叉乘b
寫成行列式形式, 然後再點乘一下c就知道了
行列式定义为自变量为矩阵的函数，或者说自变量为矩阵的所有列向量的函数。要求这个函数满足如下性质：1. 对每个列向量的线性性；2. 如果相邻两列相同，则函数值为0；3. 当矩阵为单位矩阵时，函数值为1。然后会发现，这三条正是“有向面积”该有的性质，不多不少。所以，有向面积＝行列式。从这三条可以唯一确定任意一个矩阵的行列式的值，也就是通常教科书上n!个带符号的完全置换乘积的和。逻辑链大致如下：1. 有一列全为0，则行列式为零；2. 把一列的倍数加到任何其它列不改变行列式；3. 交换两列行列式换号；4. 任何两列相同则行列式为0；5. 把所有列乱序后的行列式等于原行列式乘以一个正负号，正负号与只乱序方式有关；6. 每列换成原来所有列的线性组合，则新的行列式等于原行列式乘以这些系数组成的行列式(即n!个带符号的完全置换乘积的和)。把“原行列式”换成单位矩阵的行列式，则得到任意矩阵的行列式的计算公式。[具体逻辑链比上面写的长一些]From：Emil Artin的Galois theory，第11页开始。在低维情形可以直接用“初等”方法证明（不通过上面那种公理化的方法）。比如，在二维情形，面积 ＝ |A||B|sin(theta) = |A||B|sqrt(1-cos(theta)^2) = |A||B|sqrt(1-(A.B/(|A||B|))^2) = sqrt(|A|^2|B|^2-(A.B)^2) = |行列式|。这里需要用到A.B=|A||B|cos(theta)，这个通过和差化积公式可得，而和差化积公式可通过辅助线证明。这样就没有逻辑循环了。三维情形，在二维情形的基础上（即知道AxB是A和B组成的平行四边形的面积），再知道AxB垂直于A和B就可证明了。
用三维坐标下的平行法则做辅助线即可证明，这是线性代数的经典题啊..
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证明行列式
com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=78deae9a4fc6b78a268fd31/3b87ece55736cafdf2bd.jpg" esrc="http://f.hiphotos.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink"><img class="ikqb_img" src="/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=a321f7d1d709b3deebeaec6cf98f40b7/3b87ece55736cafdf2bd.hiphotos:///zhidao/pic/item/3b87ece55736cafdf2bd.baidu://f第4题<img class="ikqb_img" src="http.baidu://d.jpg" esrc="http！<a href="http，请及时采纳://a.com/zhidao/pic/item/67ddf82b2b7d0a2877e.hiphotos.jpg" esrc="http./zhidao/wh%3D600%2C800/sign=/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=ba61edfbbc02b380cdb2b7d0a2877e.baidu.baidu。经济数学团队帮你解答.com/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=a06a1dd8fee7807fddbaa1cd9bcefcc3cec3fd2c3e://d./zhidao/wh%3D600%2C800/sign=748fcd8cb568c0303caaeb3/67ddf82b2b7d0a2877e。谢谢./zhidao/pic/item/d000baa1cd9bcefcc3cec3fd2c3e！这个行列式如图借用范德蒙行列式计算比较简单，化三角形则麻烦一些
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出门在外也不愁第1章 行列式_图文_百度文库
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第1章 行列式
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你可能喜欢怎么证明下列行列式等式成立?两边的1是两竖1 a1+1 a2 a3……an 1 1 a1 a2+1 a3……an 1 1 a1 a2 a3+1……an 1 1……………………… 1=a1+a2+a3……+an+1用文字说明吧.1 …………………… 1 1 a1 a2 a3…… an+1 1
1.依次用第2,3,……,n列去加第一列 2.得到第一列每一行的元素都是：a1+a2+a3……+an+1 3.提取公公因子a1+a2+a3……+an+1,得到第一列全为一的行列式 4.用第一列乘以a2去减第二列,乘以a3去减第三列,……,乘以an去减第n列.得到对角线为1的上三角行列式；原式 = (a1+a2+a3……+an+1 )*1*……*1 =a1+a2+a3……+an+1 5.得证
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