解密版《复变函数与积分变换》(西安交大_第四版)课后答案 -五星文库
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解密版《复变函数与积分变换》(西安交大_第四版)课后答案
导读：5．复变函数的可导性与解析性有什么不同？判断函数的解析性有那些方法？答：，判定函数解析主要有两种方法：1）利用解析的定义：要判断一个复变函数在z0是否解析，如函数f(z)=|z|2=x2+y2在z平面上处处连续，如函数f(z)=|z|2在点z=0处可导，如函数f(z)=zRez=x2+ixy仅在点z=0处满足C-R条件，7．如果f(z)=u+iv是z的解析函数，要判断该函数在区域D内是否解析，
（4）由于f′(z)=
，知f(z)在除去z=?d/c(c≠0)外在复平面上处处解析。 2
5．复变函数的可导性与解析性有什么不同？判断函数的解析性有那些方法？ 答：
判定函数解析主要有两种方法：1）利用解析的定义：要判断一个复变函数在z0是否解析，只
6．判断下述命题的真假，并举例说明。
（3）如果z0是f(z)的奇点，那么f(z)在z0不可导。
（4）如果z0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z0也是f(z)+g(z)和f(z)/g(z)的奇点。 （6）设f(z)=u+iv在区域内是解析的。如果u是实常数，那么f(z)在整个D内是常数；如果v是实常数，那么f(z)在整个D内是常数；
（1）命题假。如函数f(z)=|z|2=x2+y2在z平面上处处连续，除了点z=0外处处不可导。 （2）命题假，如函数f(z)=|z|2在点z=0处可导，却在点z=0处不解析。 （3）命题假，如果f(z)在z0点不解析，则z0称为f(z)的奇点。如上例。
（4）命题假，如f(z)=sinxchy,g(z)=icosxshy，z=(π/2,0)为它们的奇点，但不
处可导。 后面同理可得。
是f(z)+g(z)的奇点。
（5）命题假。如函数f(z)=zRez=x2+ixy仅在点z=0处满足C-R条件，故f(z)仅在点z=0
（6）命题真。由u是实常数，根据C-R方程知v也是实常数，故f(z)在整个D内是常数；
7．如果f(z)=u+iv是z的解析函数，证明：
?()|fz|=|f'(z)|2 ?|f(z)|?+???
|f(z)|=u2+v2，于是
，那么f(z)=u+iv亦可导。 （5）如果u(x,y)和v(x,y)可导（指偏导数存在）
（2）如果f′(z0)存在，那么f(z)在z0点解析。
（1）如果f(z)在z0点连续，那么f′(z0)存在。
可导；2）利用解析的充要条件，即本章§2中的定理二。
要判定它在z0及其邻域内是否可导；要判断该函数在区域D内是否解析，只要判定它在D内是否
?u?v?u?v+vu+v
?y，?|f(z)|=?y
2222?yu+vu+v
由于f(z)=u+iv为解析函数，故
?u?v?u?v==?，， ?x?y?y?x
?1?2??u??v??????2?
?|f(z)|?+??|f(z)|??=u2+v2?u??x?+u???x?
?????y??x?????
?u?v??v??u???u?2??v?+2uv??? +v??+v??+2uv
?x?x??x??x???x???x??2
令x=rcosθ,y=rsinθ，利用复合函数求导法则和u,v满足C-R条件，得
=。又 ?rr?θ
10．证明：如果函数f(z)=u+iv在区域D内解析，并满足下列条件之一，那么f(z)是常数。 （1）f(z)恒取实值。 （2）fz在D内解析。 （3）|f(z)|在D内是一个常数。 （4）argf(z)在D内是一个常数。
（5）au+bv=c，其中a、b与c为不全为零的实常数。
?u1?v?v1?u=，=?。 ?rr?θ?rr?θ
?v?v?v?u?u?u
rcosθ=r=(?rsinθ)+rcosθ=rsinθ+
?θ?x?y?y?x?r
=(?rsinθ)+?urcosθ ?θ?x?y
?v?v?v?u?u
=cosθ+sinθ=?cosθ+sinθ ?r?x?y?y?x?1??u?u1?u
?=??rcos?rsin θθ=??r??y?xr?θ??
?u1?v?v1?u
?rr?θ?rr?θ
=cosθ+sinθ ?r?x?y
9．证明：柯西-黎曼方程的极坐标形式是
u2+v2|f(z)|2=|f(z)|2
2222??2???u???v??2???u???v????
?u???+???+v???+????
?????x???x???????x???x???? ??
（1）若f(z)恒取实值，则v=0，又根据f(z)在区域D内解析，知C-R条件成立，于是
==0， =?=0 ?x?y?y?x
故u在区域D内为一常数，记u=C(实常数)，则f(z)=u+iv=C为一常数。 （2）若fz=u+iv=u?iv在区域D内解析，则
?u?(?v)?v?u?(?v)?u
（1） ==?=?=
?x?y?y?x?y?x
又f(z)=u+iv在区域D内解析，则
结合（1）、（2）两式，有
?u?u?v?v====0， ?x?y?xvy
为一复常数。
（3）若|f(z)|在D内为一常数，记为C1，则u2+v2=C12，两边分别对于x和y求偏导，得
由于f(z)在D内解析，满足C-R条件
==0。同理，可解得==0故u,v均为常数，分别记为u=C1,v=C2，则?x?y?xvy
f(z)=u+iv=C1+iC2=C为一复常数。
（4）若argz在D内是一个常数C1，则f(z)≠0，从而f(z)=u+iv≠0，且
arctan,u&0?u?v?
argf(z)=?arctan+π,u&0,v&0
?arctanv?π,u&0,v&0?u??C1
=?C1+π?C?π?1
u&1u&0,v&0u&0,v&0
2u+2v=0???x?x ??u?v?2u+2v=0???yy?
?u??uu?v=0???x?y
?v+u=0???xy?
f(z)=u+iv=C1+iC2=C
=,=?代入上式又可写得
u1=C1,u2=C2(C1,C2为实常数)，
总之对argf(z)分别关于x和y求偏导，得
故u,v在D内均为常数，分别记之为
1??v?u??v?uuv??u??v2
?x?u??x=0 =2
1+???u?1u2
??v?u??v?u??u?v?vu???y?y??y?y?==0 222
?v?u=0???x?y
?u?v=0??x?y?
化简上式并利用f(z)解析，其实、虚部满足C-R条件，得
其中a、b和c为不全为零的实常数，这里a和b不全为0，即a2+b2≠0，（5）若au+bv=c，
再利用解析函数f(z)=u+iv的实、虚部u和v满足C-R条件，得
?u??ua?b=0???x?y
?b+a=0??x?y?
==0，同理也可求得==0，知函数f(z)为一常数。
11.下列关系是否正确？
（3）sinz=
（1）ez=e；
（2）cosz=cos；
（3）sinz=sin 解（1）e=ex(cosy+isiny)=ex(cosy?isiny)=ex?iy=e ?eiz+e?iz
（2）cosz=?
?=e+e?iz=1e?i+ei=cos。 ?22?
1iz1iz1e?e?iz=e?e?iz=(e?i?ei) 2i?2i2i
1ie?e?i=sin。 2i
12．找出下列方程的全部解。
（3）1+e=0；
（4）sinz+cosz=0；
解（3）原方程等价于e=?1，于是它的解为：
a+b=0???x?x ??u?v?a+b=0?yy???
否则此时a、b和c全为零。对方程au+bv=c分别对于x和y求偏导，得
f(z)=u+iv=C2+iC3=C为一复常数。
==0，同理也可求得==0，即u和v均为实常数，分别记为C2和C3，从而?x?y?x?y
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3秒自动关闭窗口求解一道简单的复变函数积分这个区域是只包含的我用柯西积分公式计算出来总是跟答案不一样,
非常感谢！！！不过请问你是怎么判断极点的呢？我解出来极点为正负根号下-i和正负根号下i
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