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比较审敛法判断级数敛散性 5.7.题,貌似要用什么等价无穷小或者重要极限 &
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利用x→0时,sinx～x,ln(1+x)～x.5、通项un～π/(n*n^(1/n))～π/n,n→∞时.∑π/n发散,所以原级数发散.7、通项un～1/n^2*√n=1/n^(3/2),n→∞时.∑1/n^(3/2)收敛,所以原级数收敛.
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无穷级数 根号n-1/4的根号下(n^2+n)的敛散性
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　　级数 Σ√(n-1)/(n^2+n)^(1/4) 是发散的.事实上,因　　　　√(n-1)/(n^2+n)^(1/4) = √(1-1/n)/(1+1/n^2)^(1/4) → 1 ≠ 0 (n→∞),据级数收敛的必要条件得知原级数发散.
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∑(-1)^n/n^2 用柯西收敛证明敛散性
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如果不限制方法,可以直接用Leibniz判别法解决.所以不妨就按Leibniz判别法的证明来.对任意ε > 0,存在N = [1/ε]+1 > 1/ε.当n > N时有n&#178; > n > 1/ε,故1/n&#178; < ε.考虑∑{n ≤ k ≤ n+p} (-1)^k/k&#178; = (-1)^n·(1/n&#178;-1/(n+1)&#178;+...+(-1)^p/(n+p)&#178;)若p为偶数,0< (1/n&#178;-1/(n+1)&#178;)+...+(1/(n+p-2)&#178;-1/(n+p-1)&#178;)+1/(n+p)&#178;= 1/n&#178;-1/(n+1)&#178;+...+(-1)^p/(n+p)&#178;= 1/n&#178;-(1/(n+1)&#178;-1/(n+2)&#178;)-...-(1/(n+p-1)&#178;-1/(n+p)&#178;)< 1/n&#178; < ε.若p为奇数,0 < (1/n&#178;-1/(n+1)&#178;)+...+(1/(n+p-1)&#178;-1/(n+p)&#178;)= 1/n&#178;-1/(n+1)&#178;+...+(-1)^p/(n+p)&#178;= 1/n&#178;-(1/(n+1)&#178;-1/(n+2)&#178;)-...-(1/(n+p-2)&#178;-1/(n+p-1)&#178;)-1/(n+p)&#178;< 1/n&#178; < ε.即总有|∑{n ≤ k ≤ n+p} (-1)^k/k&#178;| = |1/n&#178;-1/(n+1)&#178;+...+(-1)^p/(n+p)&#178;| < ε.由Cauchy收敛准则,级数收敛.上面的证法放缩的比较精细,其实适用于∑{1 ≤ n} (-1)^n/n.如果不要求这样广的适用面,也可以考虑用Cauchy收敛准则证明绝对收敛,即∑{1 ≤ n} 1/n&#178;收敛.其部分和0 < ∑{n ≤ k ≤ n+p} 1/k&#178; < ∑{n ≤ k ≤ n+p} 1/(k(k-1))= ∑{n ≤ k ≤ n+p} (1/(k-1)-1/k)= 1/(n-1)-1/(n+p)< 1/(n-1).当n趋于∞时收敛到0.由Cauchy收敛准则,∑{1 ≤ n} 1/n&#178;收敛.∑{1 ≤ n} (-1)^n/n&#178;绝对收敛,从而也是收敛的.当然也可以不用绝对收敛这一说法,直接说|∑{n ≤ k ≤ n+p} (-1)^k/k&#178;| ≤ ∑{n ≤ k ≤ n+p} 1/k&#178; < 1/(n-1)收敛到0.从而∑{1 ≤ n} (-1)^n/n&#178;收敛.
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