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在数列{an}中，a1=13，且前n项的算术平均数等于第n项的2n-1倍（n∈N*）．（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）由已知a1=13，a1+a2+a3+…+ann=（2n-1）an，分别取n=2，3，4，5，得a2=15a1=13×5=115，a3=114(a1+a2)=15×7=135，a4=127(a1+a2+a3)=17×9=163，a5=144(a1+a2+a3+a4)=19×11=199；所以数列的前5项是：a1=13，a2=115，a3=135，a4=163，a5=199；&&…（5分）（2）由（1）中的分析可以猜想an=1(2n-1)(2n+1)（n∈N*）．&&&&&&&&&&…（7分）下面用数学归纳法证明：①当n=1时，猜想显然成立．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（8分）②假设当n=k（k≥1且k∈N*）时猜想成立，即ak=1(2k-1)(2k+1)．&…（9分）那么由已知，得a1+a2+a3+…+ak+ak+1k+1=(2k+1)ak+1，即a1+a2+a3+…+ak=（2k2+3k）ak+1．所以（2k2-k）ak=（2k2+3k）ak+1，即（2k-1）ak=（2k2+3）ak+1，又由归纳假设，得(2k-1)1(2k-1)(2k+1)=(2k+3)ak+1，所以ak+1=1(2k+1)(2k+3)，即当n=k+1时，猜想也成立．&&&&&&&&…（11分）综上①和②知，对一切n∈N*，都有an=1(2n-1)(2n+1)成立．&&&&&&…（12分）
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据魔方格专家权威分析，试题“在数列{an}中，a1=13，且前n项的算术平均数等于第n项的2n-1倍（n∈..”主要考查你对&&数列的概念及简单表示法，数学归纳法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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数列的概念及简单表示法数学归纳法
数列的定义：
一般地按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项，数列的一般形式可以写成，简记为数列{an}，其中数列的第一项a1也称首项，an是数列的第n项，也叫数列的通项2、数列的递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。从函数角度看数列：
数列可以看作是一个定义域为正整数集N'（或它的有限子集{l，2，3，…，n}）的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里说的函数是一种特殊函数，其特殊性为自变量只能取正整数，且只能从I开始依次增大．可以将序号作为横坐标，相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列，从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。特别提醒：①数列是一个特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题；②还要注意数列的特殊性（离散型），由于它的定义域是N'或它的子集{1，2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性．归纳法：
对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法叫做归纳法。归纳法包括完全归纳法和不完全归纳法。
数学归纳法：
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）证明当n取第一个值n0（n0∈N*）时命题成立； （2）假设当n=k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立； 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法叫做数学归纳法。 数学归纳法的特点:
①用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，两步同样重要，两步骤缺一不可； ②第二步证明，由假设n＝k时命题成立，到n=k+1时．必须用假设条件，否则不是数学归纳法； ③最后一定要写“由（1）（2）……”。
数学归纳法的应用：
（1）证明恒等式； （2）证明不等式； （3）三角函数； （4）计算、猜想、证明。
发现相似题
与“在数列{an}中，a1=13，且前n项的算术平均数等于第n项的2n-1倍（n∈..”考查相似的试题有：
620470803710336204772294866460886240数列{an}满足an+1+(-1)^n an=2n-1,则{an}的前60项之和是多少?2012年高考数学新课标卷填空题的16题,答案是1830,
a2-a1=1,a3+a2=3,a4-a3=5,a5+a4=7,a6-a5=9,a7+a6=11,……,所以,a1+a3=a5+a7=……a57+a59=2,则,a1+a3+a5+……+a59=2×15=30;又,a2+a4=8,a8+a6=24,a12+a10=40,a12+a10=40,……,a58+a60=8+(15-1)16=232,所以,a2+a4+a6+a8+……+a58+a60=(8+232)15÷2=1800,所以s60=30+
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专题：等差数列与等比数列
分析：（1）根据S1，S2，S3成等比数列，求出d=0或a1=32d，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式、等比数列的定义分别判断数列{Sn}是否成等比数列即可；（2）由a1=154d＞0，可得1Sn=12n-1(32d&#+a1-32d)=89d&#&#d×3×4n-142n-1+3×2n×4n-1≤89d×4n-4n-142n-1+5×4n-1+1=89d(14n-1+1-14n+1)．利用“裂项求和”即可得出．
（1）解：∵S1，S2，S3成等比数列，∴S22=S1•S3，∴a1（a4+a5+a6+a7）=(a2+a3)2，∴a1(4a1+18d)=(2a1+3d)2，化为2a1d=3d2，解得d=0或a1=32d．当d=0时，Sn=2n-1a1≠0，∴Sn+1Sn=2，∴数列{Sn}成等比数列．当a1=32d时，Sn=a2n-1+a2n-1+1+…+a2n-1=2n-1a2n-1+2n-1(2n-1-1)2d=2n-1[a1+(2n-1-1)d]+2n-1(2n-1-1)2d=32d&#≠0．∴Sn+1Sn=4，∴数列{Sn}成等比数列．综上可得：S1，S2，S3成等比数列，数列{Sn}成等比数列．（2）∵a1=154d＞0，∴1Sn=12n-1(32d&#+a1-32d)=89d&#&#d×3×4n-142n-1+3×2n×4n-1≤89d×4n-4n-142n-1+5×4n-1+1≤89d(14n-1+1-14n+1)．∴1S1+1S2+1S3+…+1Sn≤89d[(140+1-141+1)+(141+1-142+1)+…+(14n-1-14n+1)]=89d（12-14n+1），n∈N*．
点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、等比数列的定义及其性质、“裂项求和”，考查了变形、裂项、放缩等技巧，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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已知a＜b＜0，则下列不等式中成立的是（　　）
A、3a＜3bB、a2＜b2C、3-a＜3-bD、-a＜-b
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一个圆柱的侧面与底面均切于一个半径为2cm的球，求此圆柱的表面积．
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求函数y=（14）x-（12）x+1，x∈[-3，2]的单调区间，并求它的值域．
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已知f（x）=alnx，g（x）=f（x）+bx2+cx，且f′（2）=1，g（x）在x=12和x=2处有极值．（1）求实数a，b，c的值；（2）若k＞0，判断g（x）在区间（k，2k）内的单调性．
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已知函数f（x）=2cos（x2-π4），x∈R．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若sinθ=35，θ∈（π2，π），求f（4θ+π）．这是个机器人猖狂的时代，请输一下验证码，证明咱是正常人~用户名 密码
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可以插入公式啦！&我知道了&
已知数列{an}的前n项和n＝
2n(n 1)，且an是bn和1的等差中项．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）若n＝
nan(n≥2)，C1＝b2，求i；
（3）若n，n＝2k 1
bn，n＝2k (k∈N*)是否存在n∈N*，使f（n+11）=2f（n）？说明理由．
正在获取……
(为防止盗链，此处答案可能存在乱码，查看完整答案不会有乱码。)
解：（1）因为Sn＝12n(n 1)，a1＝S1＝0，
所以当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n-1，n=1也成立，
所以an=n-1．
因为an是bn和1的等差中项，所以bn+1=2an，所以b 1 1n=2 1n…（6分）
（3）当n=2k-1时，f（n+11）=2n+19，
2f（n）=2（n-1），f（n+11）=2f（11）
&#=2n-2无解
…（9分）
bn=2an-1=2n-3…（3分）．
（2）因为Cn＝1n(n 1)(n≥2)，C1＝b2＝1，
所以ni＝1Ci＝1+11×2+12×3+…+1(n 1)n=1+1 12+12+13+…+1n>当n=2k（k∈z）时f（n）=2n-3，f（n+1）=n+10，f（n+11）=2f（n），
所以n+10=4n-6，此时无整数解，
故这样的值不存在．
…（12分）
分析：（1）利用an与Sn的关系求出数列{an}的通项公式，然后利用an是bn后利用裂项法求和．
（3）先求出f（n）的表达式，然后通过等式f（n+11）=2n和1的等差中项，求出{bn}的通项公式．
（2）求出数列{Cn}的通项公式，然，求n．
点评：本题主要考查数列的通项公式以及利用裂项法求和．考查学生的运算能力(点击上面的蓝色链接“查看完整答案与解析”字样可以查看完整答案)
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