初等数论《&余数&》&习题集(连载&4)
初等数论《
》 习题集(连载
一个数除以6余1，除以9余1，除以10余1，求出符合条件的最小自然数。
&答：最小的是91。
先求最小公倍数〔6&
，A=90+1=91。实际上是先获得整除结果90再加余数，成最终结果。在《数论》中叫“余同取余”，即当同余时，被除数A＝各除数的最小公倍数(90)+同余数(1)。
<span STYLE="font-size:12.0font-family:楷体_GB2312;color:#&
某个两位数A，加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，求A。
(A+3)&3＝X&&
A&3+3&3＝X&
→A&3＝X+1&
(A+4)&4＝Y&&
A&4+4&4＝Y
→A&4＝Y+1&
(A+5)&5＝Z&&
A&5+5&5＝Z&
&&&→A&5＝Z+1&
转换等式时，注意3&3＝1是商，要并入X中，成X+1，而不是转入余数。这样，问题就简单了。
A＝3&4&5+1＝61
一盒乒乓球，每次8个8个地数、10个10个地数、12个12个地数，最后总是剩下
3个。这盒乒乓球至少有多少个？
答：至少有123个。或有120N+3个
(N=1、2、3 …
解：设乒乓球至少有A个，有同余式：
相当于：A&
)&&&&&&&&&&&
)&&&&&&&&&&&&&&
先求最小公倍数〔8&
，A=120+3=123
46&& A表示一个两位数。A与3对于模4同余。问A最小是多少？最大是多少？
答：最小A=3、最大A=99
解：题意：A≡3
求A。同余、且余数是3
据同余理论，有A+4N≡3
(Mod 4)，N=0、1、2、3
&&A＝3，有
&&A＝7，有
&&A＝11，有11&4=2&
&A＝99，有99&4=24&
余3，即99≡3
有一个数A，除以5余4，除以6余3，除以8余1，即各除数与余数之和相同，求A。
答：A＝120 N ＋ 9
解：这是《数论》中的“和同加和”的问题。
… 3&&&&&&&&&&
&…1&&&&&&&&&&
，称为“和同”，则A=〔5，6，8〕+9＝120+9=129
通式为A＝120N+9
这几天我一直在想，为什么？今天，我忽然来了灵感，赶紧记下：
不是等价吗？
… 3&&&&&&
&&&&&&A&8=
也是等价。虽然商变了，但反正都是整数，这对于求A没有关系。这些就是标准的同余，所以可套用已知的计算方法。
有一个数A，除以3余1，除以4余2，除以10余8，即各除数与余数之差相同，求A。
答：A＝60 N －2
解：这是《数论》中的“差同减差”的问题。
… 2&&&&&&&&&&
… 8&&&&&&&&&
，称为“差同”，则A=〔3，4，10〕－2＝60－2=58
通式为A＝60N-2
这个公式在理论上怎样推导我还不知，但我可独立解算。反正是通过乘法，先使被除数相同。但余数还是不同，再通过减法，消去一个个方程，最后只解一个方程，求得待求的A。步骤是：
… (4)&&&&&
当X=0时A=58&
、X=1时A=118
、X=2时A=178&
通式为A＝60N+58
或A＝60N－2
补充；还可以迫使余数相同来解。
如果把商减少，使之转化为余数，则余数增加。三个方程中商不同，余数变化式为：
余数R1 =3N+1
=4M+2&&&&&
=10L+8&&&&&&
8& 18& 28&
得到同样结果：A
当X=0时A=58&
、X=1时A=118
、X=2时A=178&
通式为A＝60N+58
或A＝60N－2
数学，用数据说话，不含糊。
“和同加和”的解算道理懂了之后，再看“差同减差”，也就一通百通了。
&&&&&&&&A&4
&&&&&&&&A&10=Z+1&&&&
… 8－10=－2&
也是同余。仅是负同余，所以“最小公倍数+同余数”变成
“最小公倍数－同差数”了。真正懂了做习题，虽然“辛苦”了，但获得满足、愉悦，不枉费神做题。
某班学生排方阵每排六6人少2人，每排5人多4人。问有多少人？
答：最少34人。或64人、94人等。通式A=34+30N&
( N=1、2、3 …
解：设有A人
&互补为：A&6=(X－1)
→&&&&&&&&
两式同余，好办了。
A=5&<span STYLE="mso-bidi-font-size:10.5font-family: Amso-fareast-font-family:楷体_GB=34
具体排队：
每排六6人时：&&&&&&&&
每排5人时：
A=34人&&&&&&&
6排，少2人&&&&&&&&&
6排，多4人
A=64人&&&&&&
11排，少2人&&&&&&&&
12排，多4人
A=94人&&&&&&
16排，少2人&&&&&&&&
18排，多4人
有一筐鸡蛋,当两个两个取、三个三个取、四个四个取、五个五个取时，筐内最后都是剩一个鸡蛋；当七个七个取出时，筐里最后一个也不剩。那么筐内原来至少有多少个蛋。
答：筐内原来至少有301个鸡蛋。
如果先取走1个鸡蛋，那么有60个就够了，可供两、三、四、五个的取，正好取完。所以通解为60N。
但当七个七个取出时，就发现少一个。如果60N个鸡蛋再加一个，则七个七个取出时，又恰巧取完。所以鸡蛋应有60N＋1。有等式：(60N＋1)&7＝整数&#9734;
&余0 。 &#9734;是取的次数。
解得当N＝5时
，&#9734;＝43，即取43次，每次取7个，鸡蛋有43&7＝301
所以筐内原来至少有301个鸡蛋。
一个自然数A除以11所得商与余数相等为a。除以9所得商是余数b是3倍。求A。
解：A&11=a&&&
→& A－a=11a&&&
A=12a&&&&&
A是12的倍数
→&& A－b=27b&&&&
A是28的倍数
A是12与28的公倍数。〔12&
〕=3&4&7=84&&
另有解法：
由A=12 a =28
b& → 3 a =7 b Y&
A=11&7+7=84&
A=9&9+3=84
<span STYLE="font-size:12.0font-family:楷体_GB2312;color:#&&
三个连续数，依此为4、
5、 9的倍数，求这三个连续数。
答：最小一组为124、125、126。且首数以124+180N为通式。(N=0、1、2、3
据题意有：
A＝<span STYLE="color:#X&&&&&
&转化为 →&&&
(A+1)＝<span STYLE="color:#Y&
&&&&&&&&&&&&→&&&
A=5Y－<span STYLE="color:#&
(A+2)＝<span STYLE="color:#Z&&
&&&&&&&&&&&→&&&
A=9Z－<span STYLE="color:#&
小学生可用枚举法：
A=4X&&&&&&
16& 20& 24&
28 ……&&&
124& &128 …
A=5Y－<span STYLE="color:#&&&
－<span STYLE="color:#&&
124& &129 …
A=9Z－<span STYLE="color:#&&&
－<span STYLE="color:#&&
43&&&&&&&&
A=124， 验算：
A&<span STYLE="color:#=X&&
124&<span STYLE="color:#=31
(A+1)&<span STYLE="color:#=Y&&
125&<span STYLE="color:#＝<span STYLE="color:#
(A+2)&<span STYLE="color:#=Z&&
126&<span STYLE="color:#＝<span STYLE="color:#& 。 都是整除，对了。
但作为余数问题，可以另有解法。先化为带余除式：
&&&&A&<span STYLE="color:#=X&&
&A&<span STYLE="color:#=X& 余& 0&
&→& A&<span STYLE="color:#=X& 余 <span STYLE="color:#& … (1)
A=5Y－<span STYLE="color:#& →& (A+1)&<span STYLE="color:#=Y&&
A&<span STYLE="color:#=Y& 余 －<span STYLE="color:#&
&→& A&<span STYLE="color:#=Y& 余 <span STYLE="color:#& … (2)
A=9Z－<span STYLE="color:#& →& (A+2)&<span STYLE="color:#=Z&&
&A&<span STYLE="color:#=Z& 余 －<span STYLE="color:#&&
→& A&<span STYLE="color:#=Z& 余<span STYLE="color:#& … (3)
用最小公倍数，先使(1)
、(2) 除数相同，再通过两式相减消去一个方程：
(1)&<span STYLE="color:#&&&
5A&<span STYLE="color:#=X－<span STYLE="color:#& 余 <span STYLE="color:# …(4)
(2)&<span STYLE="color:# &&&4A&<span STYLE="color:#=Y&&&&
<span STYLE="color:# …(5)
(4)－(5)&&&
A&<span STYLE="color:# = (X－<span STYLE="color:#－Y) &余 <span STYLE="color:# ，令(X－<span STYLE="color:#－Y) = K (整数) ：
A&<span STYLE="color:#=K& 余 <span STYLE="color:#&&
&&&&&&&&&&
A&<span STYLE="color:#=Z& 余 <span STYLE="color:#&&
(6)& <span STYLE="color:#&&&
9A&<span STYLE="color:#0=K&&&&
<span STYLE="color:# …(7)
(3)&<span STYLE="color:#&&
20A&<span STYLE="color:#0=Y&&&&
<span STYLE="color:#0 …(5)
(5)－(7)&&
11A&<span STYLE="color:#0= (Y－K)& 余<span STYLE="color:#4 ，有：
<span STYLE="color:#A＝<span STYLE="color:#0 (Y－K) ＋<span STYLE="color:#4，→
A＝(180 (Y－K) ＋<span STYLE="color:#4)&<span STYLE="color:#，令商(Y－K) = N，它与A都是整数。要解这个不定方程。
A＝(180N ＋<span STYLE="color:#4)&<span STYLE="color:#，
844& …<span STYLE="color:#24&&
至此，才完满得到一系列答案。其中A＝124是最小值。三数连续为124、125、126。且首数A以124+180N为通式。(N=0、1、2、3
不过要解这个不定方程，虽不难，但烦琐。我是靠电子表格才计算得到的。其实，这个分组后再联合的解法与最终不定方程的解法，归根到底，还是一个枚举法。用枚举法解题，虽然不清础原理，但直观、容易理解、且有助于拓宽思路。我爱用电子表格枚举、戆算，可以算出个名堂，获得知识。做这道题我化了足足4个小时。显然还不熟练，但我清理了思路，有收获，可以说：懂了。
后来我又想了一下，这个题目中的4、5、9为三个特殊数，有特殊的整除原则可以凑整。
设三位数&#9633;&#9633;&#9633;＝A，能整除4、5、9，A=？
先判&4，尾数末两位，必须是表一所示，为：
<span STYLE="mso-bidi-font-size:10.5 font-family:宋体;color:#&
8& 12& 16&
20& 24& 28&
32& 36& 40 44&
48& 52& 56&
60& 64& 68&
72& 76& 80&
84& 88& 92&
再判A＋<span STYLE="color:#后&<span STYLE="color:#，其尾只能是<span STYLE="color:#或<span STYLE="color:#。那末，未＋<span STYLE="color:#前，尾必须是<span STYLE="color:#或<span STYLE="color:#，对照上面表一，
A的尾数末两位必须是表二中的尾为4的部分：
<span STYLE="mso-bidi-font-size:10.5font-family:宋体;color:#&&&&&
最后判A＋<span STYLE="color:#后&<span STYLE="color:# ，实际上是对
&#9633;06&&&
&#9633;26&&&
&#9633;46&&&
&#9633;66&&&
&#9633;86&&&
填&#9633;，凑整除9，很容易，得：
486& ，那末A就是：
与前述结果相同，真是殊途同归了。但要方便很多。如考奥数，这可能是一个理想的方法。
如果设三位数&#9633;&#9633;&#9633;＝A，能整除4、5、7，A=？那末要对
&#9633;06&&&
&&&&#9633;26&&
&&&#9633;46&&
&&&#9633;66&&&
&&&&#9633;86&&&
填&#9633;，凑整除7：
126 与<span STYLE="color:#6&&&
266与<span STYLE="color:#6&
，那末A就是：
124 与<span STYLE="color:#4&&&
264与<span STYLE="color:#4&&&
684& ，如此而已。
验算一下：三个连续数&
404& 405&&
406 ， 分别&<span STYLE="color:#、&<span STYLE="color:#、&<span STYLE="color:#，得<span STYLE="color:#1、<span STYLE="color:# 、<span STYLE="color:# ，都整除！&
<span STYLE="font-size:12.0font-family:楷体_GB2312;color:#&&
又有三个连续数，依此为5、
7、 9的倍数，求这三个连续数。
答：最小一组为160、161、162。且首数以160+315N为通式。(N=0、1、2、3
解：这个题目与上题相同，但其中的<span STYLE="font-size:12.0font-family:Amso-fareast-font-family: 楷体_GB2312;color:#、
9，就不能分开凑了。只能硬算；
A＝<span STYLE="color:#X&&&&&&
(A+1)＝<span STYLE="color:#Y&&&&&&&
(A+2)＝<span STYLE="color:#Z&&&&&&&
先化为带余除式：
A&<span STYLE="color:#=X&&
A&<span STYLE="color:#=X& 余&
0&& →& A&<span STYLE="color:#=X& 余 <span STYLE="color:#& … (1)
A=7Y－<span STYLE="color:#& →& (A+1)&<span STYLE="color:#=Y&&
A&<span STYLE="color:#=Y& 余 －<span STYLE="color:#&&
→& A&<span STYLE="color:#=Y& 余 <span STYLE="color:#& … (2)
A=9Z－<span STYLE="color:#& →& (A+2)&<span STYLE="color:#=Z&&
A&<span STYLE="color:#=Z& 余 －<span STYLE="color:#&&
→& A&<span STYLE="color:#=Z& 余<span STYLE="color:#& … (3)
用最小公倍数，先使各式除数相同，再通过加减，消成一个方程：
&&(1)&<span STYLE="color:# &&&&&63A&<span STYLE="color:#5
&&&(2)&<span STYLE="color:#
&&&&&45A&<span STYLE="color:#5
&&&(3)&<span STYLE="color:#
&&&&&35A&<span STYLE="color:#5
(6) ＋(5) －(4) ：
<span STYLE="color:#A&<span STYLE="color:#5 =N余 <span STYLE="color:#5&&
→& 17A＝<span STYLE="color:#5N+515
A= (315N+515)&<span STYLE="color:# =160
通式A=160＋<span STYLE="color:#5N (N = 0、<span STYLE="color:#、<span STYLE="color:#、<span STYLE="color:# … )
我的笔记中，前几年做过这个习题，其中余有一个电子表格结果，如下：　　　
（A+1）&7&&
（A+2）&9&&&
三个结果都应该是整数
& &0.2857&
& &0.4286&
& & &A=160
23.1428&&&&&&
时间久了就生疏了。
某数A除以3余2、除以8余4。求A
用同余式表示为&
…（2）&&&&&&&&&&&&&&&&&&
除数不同余数又不同，很难下手。先设法使除数相同。两个除数的公倍数3&8=24，所以
（1）&8&&&&
3 A&24＝y&
除数相同，好办了。
（3）－（4）
5A&24＝(8x－3y)&
(8x－3y)＝整数，即，
＝整数(8x－3y)，当整数(8x－3y)=4时，可得A＝20。验算：
被除数A除以7、8、9，余数分别为1、2、3，且三个商X、Y、Z之和是570。求A。
答：A＝1506
&(A－1)&7=X&&
&&(A－2)&8=Y&&
&&(A－3)&9=Z&&
三式相加：
(A－1)／7+(A－2)／8＋(A－3)／9＝X+Y+Z＝570
8&9(A－1)+7&9(A－2)+7&8(A－3)
72(A－1)+63(A－2)+56(A－3)=504&570
72A+63A+56A－72－126－168=504&570
191A＝504&570+366＝287646
&一个三位数A，被17除余5，被18除余12，那么它可能是多少？
答：A＝192&&
　　　　解：
+12& …(2)
由(1)＝(2)
得：17a+5＝18b+12&
→17a+5＝17b+b+12&
→17(a－b)＝b+12－5=b+7
(b+7) 中有17这个约数，所以
(b+7) 一定能被17整除。即17&#8739;(b+7)。用枚举法可知
17&#8739;(b+7)
a ＝18b＋12
&&&&&192&&
804&& 1110 ( 已出界，不取
<span STYLE="font-size:12.0font-family:楷体_GB2312;color:#&
一个八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633，那么这个八位数是什么？
解：设这个数是<span STYLE="color:#7633AB，
(一) 被<span STYLE="color:#恰好整除，即奇数位和与偶数位和之间的差是<span STYLE="color:#的倍数，即奇数位B+3+6+5=14+B，与偶数位A+3+7+2=A+12的差为<span STYLE="color:#的倍数：<span STYLE="color:#、<span STYLE="color:#、<span STYLE="color:#…
第一种情况：<span STYLE="color:#+B－A－<span STYLE="color:#=11，则 B－A=9 ， B=A＋<span STYLE="color:# 。这时A只能为<span STYLE="color:# ，B只能为<span STYLE="color:#，于是<span STYLE="color:#7633AB＝<span STYLE="color:#763309。但<span STYLE="color:#763309被<span STYLE="color:#除余<span STYLE="color:#，被<span STYLE="color:#除余<span STYLE="color:#，不合题意。
第二种情况：<span STYLE="color:#+B－A－<span STYLE="color:#=
0 ，则A－B=2 ， B=A－<span STYLE="color:#。
<span STYLE="color:#7633AB被<span STYLE="color:#除余<span STYLE="color:#，即各位数和被<span STYLE="color:#除余<span STYLE="color:#，作以下“弃<span STYLE="color:#”判别：<span STYLE="color:#+5+7+6+3+3+A+B=26+A+B→<span STYLE="color:#+A+B ＝<span STYLE="color:#+A+A－<span STYLE="color:#＝A+A 。A+A应等于<span STYLE="color:# 、<span STYLE="color:#、<span STYLE="color:#、<span STYLE="color:#、<span STYLE="color:#、<span STYLE="color:#，才能被<span STYLE="color:#除余<span STYLE="color:#，而A为
整数，所以A+A只能取
<span STYLE="color:#&&
10&& 16 ，有 ：
分别代入A、B：
<span STYLE="color:#7633AB＝<span STYLE="color:#7633<span STYLE="font-size:12.0 color:#& 被<span STYLE="color:#除余<span STYLE="color:#，但被<span STYLE="color:#整除，不合题意。
<span STYLE="color:#7633AB＝<span STYLE="color:#763353
&被<span STYLE="color:#除余<span STYLE="color:#，但被<span STYLE="color:#除余<span STYLE="color:#，不合题意。
<span STYLE="color:#7633AB＝<span STYLE="color:#763386&
被<span STYLE="color:#除余<span STYLE="color:#，但被<span STYLE="color:#除余<span STYLE="color:#，合题意。
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。几除以六等于几余几余数最大的是
在整数中,被6除所得的余数最大是5,所以(6k+5)除以6,得k,余5,其中k是整数.
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