如何证明有两个子数列收敛于同一极限，则该数列收敛于同一极限_百度知道
如何证明有两个子数列收敛于同一极限，则该数列收敛于同一极限
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但是该数列显然不收敛,当n为奇数这个数列的子列A2k和A2k+2都是常数列,当n为偶数,很明显都收敛于1;0证明不了:反例:An=1
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证明柯西收敛原理的另一种思路:使用数列上下极限证明。 老师上课说可以利用上下极限夹逼出极限(也就是证明柯西收敛原理的另一种思路:使用数列上下极限证明。老师上课说可以利用上下极限夹逼出极限(也就是说可以用柯西条件证明出极限存在)，但我怎么也不能严格说明。求助。
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用确界存在定理证明柯西收敛原理如题~
天机一号遶薘
数学分析上有证明.两者等价,都是实数系基本定理.不用柯西原理和其他定理,直接证法如下.定理 非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界.证明：任意实数x可以表示为x=[x]+(x),整数部分+非负小数部分.我们将(x)表示成无限小数形式：(x)=0.a1 a2 a3 ...an ...,其中a1,a2,...,an,...中的每一个数字都是0,1,...,9中的一个,若(x)是有限小数,则在后面接上无限个0.这称为实数的十进制无效小数表示.注意0.123000...=0.122999...为了保持表示的唯一性,约定类似情况统一表示成前者.这样,任意实数集合S就可以由一个确定的无限小数的集合来表示:{a0+0.a1 a2 ...an ...| a0=[x],0.a1 a2 ...an ...= (x),x属于S}.设数集S有上界,则可令S中元素的整数部分的最大者为b0,b0一定存在,否则S就无上界,并记S0={x|x属于S 且 [x]=b0}.显然由b0的定义,S0不是空集,并对任意x属于S\S0,有xS1>...>Sn>...,和一列数b0,b1,...,bn,...,满足b0是整数,bk是0,1,...,9中的一个.令c=b0+0.b1 b2 ...bn ...,下面证明c就是S的上确界.首先,若x属于S,则或存在非负整数m,使得x不属于Sm,或对任何非负整数n有,x属于Sn.若x不属于Sm,有x < b0+0.b1 b2 ...bm 0,当m充分大,便有 1/10^m < e.取y属于Sm,则c与y的整数部分及前m位小数是相同的,所以c-y c-e,这就说明了任何小于c的数都不是S的上界.故c就是S的上确界.同理可证下确界存在性.用柯西原理的话,先证明闭区间套定理,再证明确界存在定理.
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