初一学生如何解一元一次方程
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初一学生如何解一元一次方程
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初一学生如何解一元一次方程
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如何解一元一次方程&&&& 方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧． 　　用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．　　如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．　　只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．
任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．　　解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；
(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．
　　 一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：
　　(2)若a=0，且b=0，方程变为0?x=0，则方程有无数多个解；
　　(3)若a=0，且b≠0，方程变为0?x=b，则方程无解．
　　例1 解方程
&　　解法1 从里到外逐级去括号．去小括号得
&　　去中括号得
　　去大括号得
　　　　　解法2 按照分配律由外及里去括号．去大括号得
&　　化简为
&　　去中括号得
&　　去小括号得
　　　　　　　　 　　例2 已知下面两个方程
3(x+2)=5x，①
4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ②　　有相同的解，试求a的值．　　分析 本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．　　解 由方程①可求得3x-5x=-6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程②时，应有
4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，
7(a-3)-3(a-3)=18-12，
　　　　例3 已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2，求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解．　　解 由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5．由题设知a+2=5，所以a=3．于是有
2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，-2x=-21，
　　例4 解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．
　　分析 这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值
时，方程解的情况．
　　解 把原方程化为
m2x+mnx-mn-n2=0，
整理得 m(m+n)x=n(m+n)．
　　当m+n≠0，且m=0时，方程无解；
　　当m+n=0时，方程的解为一切实数．
　　说明 含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．
　　例5 解方程
(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2．
　　分析 本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也
就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．
　　解 将原方程整理化简得
(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2，
　　 即 (a2-b2)x=(a-b)2．
　　(1)当a2-b2≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解
　　(2)当a2-b2=0时，即a=b或a=-b时，若a-b≠0，即a≠b，即a=-b时，方程无解；
若a-b=0，即a=b，方程有无数多个解．
　　例6 已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-
2m)+m的值．
　　解 因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，所以
m2-1=0，即m=±1．
　　(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式的值为
199(1+4)(4-2×1)+1=1991；
　　(2)当m=-1时，原方程无解．
　　所以所求代数式的值为1991．
　　例7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．
　　解 将原方程变形为
2ax-a=3x-2，
　　即 (2a-3)x=a-2．
　　由已知该方程无解，所以
　　例8 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数？
　　来确定：
　　(1)若b=0时，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立．
　　(2)若ab＞0时，则方程的解是正数；反之，若方程ax=b的解是正数，则ab＞0成立．
　　(3)若ab＜0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数，则ab＜0成立．
　　解 按未知数x整理方程得
(k2-2k)x=k2-5k．
　　要使方程的解为正数，需要
(k2-2k)(k2-5k)＞0．
　　看不等式的左端
(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．
　　因为k2≥0，所以只要k＞5或k＜2时上式大于零，所以当k＜2或k＞5时，原方
程的解是正数，所以k＞5或0＜k＜2即为所求．
　　例9 若abc=1，解方程
　　解 因为abc=1，所以原方程可变形为
　　化简整理为
　　化简整理为
　　说明 像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．
　　例10 若a，b，c是正数，解方程
　　解法1 原方程两边乘以abc，得到方程
　　ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc．移项、合并同类项得
ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]
+ac[x-(a+b+c)]=0，
　　因此有
[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．
　　因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ab+bc+ac≠0，所以
x-(a+b+c)=0，
　　即x=a+b+c为原方程的解．
　　解法2 将原方程右边的3移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到
　　其余两项做类似处理．
　　设m=a+b+c，则原方程变形为
x-(a+b+c)=0．
所以x=a+b+c为原方程的解．
　　说明 注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一．
　　例11 设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：
　　分析 要解此方程，必须先去掉[ ]，由于n是自然数，所以n与(n+1)
　　 …，n[x]都是整数，所以x必是整数．
　　解 根据分析，x必为整数，即x=[x]，所以原方程化为
　　合并同类项得
所以x=n(n+1)为原方程的解．
　　例12 已知关于x的方程
　　且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．
　　解 由原方程可解得
a最小，所以x应取x=160．所以
　　所以满足题设的自然数a的最小值为2．
　　1．解下列方程：*
　　2．解下列关于x的方程：
　　(1)a2(x-2)-3a=x+1；
　　4．当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解
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怎样列方程？
甲乙两都变速度环形路跑步,同同发,相向行,每隔2钟相遇；同向行每隔6相遇已知甲比乙跑快甲乙每各跑少圈（用程解）
提问者采纳
设甲每钟跑x圈则乙每钟跑1/2-xx-(1/2-x)=1/62x=1/6+1/2x=1/31/2-x=1/2-1/3=1/6甲每钟跑1/3圈则乙每钟跑1/6圈
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解：设甲每各X圈乙每各Y圈
解：X=1/3（圈）
Y=1/6（圈）
答：甲每各1/3圈乙每各1/6圈.
设甲为X 乙为y6X-6y=12x+2y=1解得X=2/3 y=1/3
分析：要把每一个量（例如甲和乙的速度、环形路的长度）都求出来是不可能的，因此要设一些
未知数，直接用参数得到结果。注意相向和同向的速度。相向而行,每隔2分钟相遇一次，
相遇时两人共跑了1圈；同向而行，因为甲比乙跑的快，所以一开始甲就在乙前面，直到
甲领先乙1圈后，两人才相遇。或者相向而行，两人一起跑（速度和），2分钟跑一圈；同
向而行，因为甲比乙跑的快（速度差），6分钟后甲领先乙一圈。
相等关系：①甲跑2分钟的路程+乙跑2分钟的路程=1圈的长度；
②甲跑6分钟的路程-乙跑6分钟的路程=1圈的长度
解：设甲的速度为V甲，乙的速度为V乙，设1圈的长度为S.
2V甲+2V乙=S①
6V甲- 6V乙=S②
①×3，得，6V甲+6V乙=3S③
由②得，6V甲=6V乙+S④
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用方程解应用题时，怎样找等量关系？
用方程解应用题时，怎样找等量关系？
　　在解应用题时，常常先找出应用题中数量间的相等关系，也就是通常所说的“等量关系”，然后列方程求解。下面举例说明。
　　（1）只含有三个数量的简单应用题的等量关系和方程。
　　只含有三个数量的简单应用题，已知两个数量，求第三个数量。这类应用题的等量关系比较明显，容易找出。根据三个量间的等量关系，往往可以列出三个等式。在这三个等式里，可选择一个等式作为解答该题的方程，习惯上把未知的数量放在等号的左边，用字母x表示。
　　例1：黄豆和绿豆共重90千克，其中黄豆65千克，绿豆的重量是多个千克？
　　分析：根据这道题里的三个量，可以列出下面三个等式：
　　①共重90千克-黄豆65千克=绿豆重量；
　　②绿豆重量+黄豆65千克=共重90千克；
　　③共重90千克-绿豆重量=黄豆65千克。
　　如果把未知量用x表示，并且把它放在等号的左边，可列出方程：
　　x+65=90或者90-x=65
　　由于题目中说的是“黄豆和绿豆共重90千克”，所以列出的方程以“x+65=90”为好。
　　例2：小侠身高158厘米，比小勇高13厘米。小勇的身高是多少厘米？
　　分析：根据这道题里的三个量，可以列出下面三个等式：
　　①小侠身高158厘米-13厘米=小勇身高；
　　②小侠身高158 厘米-小勇身高=13厘米；
　　③小勇身高+13厘米=小侠身高158厘米。
　　如果把未知量用x表示，按照题目里所说的“小侠的身高是158厘米，比小勇高13厘米”，可列出方程：
　　158-x=13或者x+13=158
　　例3：一辆卡车每小时行驶45千米，几小时可以行驶270千米？
　　分析：根据速度、时间与路程三个量之间常用的数量关系，可以写出下面三个等式：
　　①每小时45千米×小时数=路程270千米；
　　②路程270千米÷每小时45千米=小时数；
　　③路程270千米÷小时数=每小时45千米。
　　如果设x小时走完全程，根据题意可以列出方程：
　　45x=270或者270÷x=45
　　例4：一个长方形的面积是2800平方厘米，它的长是70厘米，宽是多少厘米？
　　分析：有关计算面积、体积的题目的等量关系，就是面积、体积的计算公式。这道题是长方形面积，根据长方形的面积计算公式，可以写出下面三个等式：
　　①长×宽=长方形面积；
　　②长方形面积÷长=宽；
　　③长方形面积÷宽=长。
　　如果设长方形的宽为x厘米，根据题意可列出方程：
　　70x=2800
　　总之，在找等量关系和列方程时，主要是以应用题的数量关系为基础，根据四则运算的意义列成等式。但是，方程解法与算术解法在解题思路上是不同的。算术解法，为了求出未知数，需要把已知数集中起来加以分析，找出未知数与已知数之间的关系，利用已知数与运算符号组成算式，通过计算求出未知数。而列方程解应用题呢，可以用字母表示未知数，例如x、y等，让未知数x和已知数处于同样地位，按照题目中三个数量的等量关系直接参加列式运算。有些在算术中需要“逆解”的题目，用方程解法往往比较容易。
　　（2）含有三个以上数量的应用题的等量关系和方程。
　　遇到含有三个以上数量的应用题，要认真审查题意，弄清题目所说的是怎么一回事，才能分析出已知数量同未知数量间的关系，列出方程。
　　例1：地球绕太阳一周要用365天，比水星绕太阳一周用的时间的4倍多13天。水星绕太阳一周要用多少天？
　　分析：由于列方程解应用题可以让未知数（x）和已知数处于同样地位，直接参加列式运算，我们可以把题目中叙述的条件适当变换一下说法。这道题可以说成：水星绕太阳一周所需时间（x）的4倍再加13天就等于365天。这样，可列出下面的方程：
　　4x＋13=365
　　这道题也可以说成：365天减去水星绕太阳一周所需时间（x）的4倍等于13天。这样，可列出下面的方程：
　　365-4x=13
　　这道题还可以说成：365天减去3天与水星绕太阳一周所需时间（x）的4倍相等。我们把未知数（x）写在等号左边，可列得方程：
　　4x=365-13
　　以上举出的三个不同形式的方程，都是解答这道应用题的方程，在解答这道题时，用哪一个都可以。
　　例2：学校买来5个篮球和7个排球共用去355元，已知每个篮球的价钱是36元，求每个排球的价钱是多少元？
　　分析：这道题，如果按照算术方法去解，是“逆解”的题目； 如果利用方程方法去解，根据题目里的已知条件，就比较容易找出等量关系。
　　已知每个篮球的价钱是36元，如果设每个排球的价钱为x元，那么可列出方程：
　　7x+36×5=355
　　例3：柳长堤小学五、六年级同学今年共植树150棵，六年级植的棵数是五年级的2倍。两个年级各植了多少棵？
　　分析：这道题是常见的一种典型应用题，通常叫“和倍问题”。如果用算术方法解，是有规律的。即：
　　两个数的和÷（倍数+1）=作为1倍的数
　　但是，用方程方法解，可以按照题目里叙述已知条件的顺序直接写出等量关系。
　　为了计算方便，我们常常把“可以作为1份（1倍）”的数设为x，在这道题里，设五年级植树棵数为x棵，那么六年级植树棵数为2x棵。列出方程为：
　　x+2x=150
　　例4：A、B两镇之间的公路长216千米，甲、乙两汽车同时从两镇相对开出，3小时后相遇。甲汽车每小时行38千米，乙汽车每小时行多少千米？
　　分析：甲、乙两辆汽车同时从两镇相对开出，3小时后相遇，这就说明了：甲汽车3小时行的路程+乙汽车3小时行的路程=两镇之间的公路长。设乙汽车每小时行x千米，可列出方程：
　　38×3+3x=216
　　这道题还可以按照下面的等量关系列出方程，即：两镇之间的公路长-乙汽车3小时行的路程=甲汽车3小时行的路程。可列出方程：
　　216-3x=38×3
　　甲、乙两汽车同时开出，相向而行，那么，每小时两辆汽车共走的路程是甲、乙两汽车速度之和。这样，又可以写出一种等量关系，即：甲、乙两汽车速度之和×时间=两镇之间的公路长。可列出方程：
　　（38＋x）×3=216
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设需要知道的数为一个字母,根据题意列出等式关系.接等式求出字母代表的数字.
注意题的逻辑关系。确保等式两边是想等的条件。
注意单位一致
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