（2011o江西）某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形．结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在____个、____个、____个大小不同的内接正方形．乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大．丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小．任务：（1）填充甲同学结论中的数据；（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明．-乐乐课堂
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（2011o江西）某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形．结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在1&个、2&个、3&个大小不同的内接正方形．乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大．丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小．任务：（1）填充甲同学结论中的数据；（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明．
本题难度：较难
题型：填空题&|&来源：2011-江西
分析与解答
习题“（2011o江西）某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形．结论：在探讨过程中，有三位...”的分析与解答如下所示：
（1）分别画一下即可得出答案；（2）先判断，再举一个例子；例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，则AC=√2．（3）先判断，再举一个例子：设△ABC的三条边分别为a，b，c，不妨设a＞b＞c，三条边上的对应高分别为ha，hb，hc，内接正方形的边长分别为xa，xb，xc．
解：（1）1，2，3．（3分）（2）乙同学的结果不正确．（4分）例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，则AC=√2．如图①，四边形DEFB是只有一个顶点在斜边上的内接正方形．设它的边长为a，则依题意可得：a1=1-a1，∴a=12，如图②，四边形DEFH两个顶点都在斜边上的内接正方形．设它的边长为b，则依题意可得：b√2=√22-b√22，∴b=√23．∴a＞b．（7分）（3）丙同学的结论正确．设△ABC的三条边分别为a，b，c，不妨设a＞b＞c，三条边上的对应高分别为ha，hb，hc，内接正方形的边长分别为xa，xb，xc．依题意可得：xaa=ha-xaha，∴xa=ahaa+ha．同理xb=bhbb+hb．∵xa-xb=ahaa+ha-bhbb+hb=2Sa+ha-2Sb+hb=2S（1a+ha-1b+&hb）=2S(a+ha)(b+hb)&（b+hb-a-ha）．=2S(a+ha)(b+hb)&（b+2Sb-a-2Sa）．=2S(a+ha)(b+hb)&o（b-a）（1-2Sab）．=2S(a+ha)(b+hb)&o（b-a）（1-hab）．又∵b＜a，ha＜b，∴（b-a）（1-hab）＜0，∴xa＜xb，即xa2＜xb2．∴在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小．（10分）
本题是一道难度较大的题目，考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，举出例子是解此题的关键．
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等考点的理解。
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正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
与“（2011o江西）某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形．结论：在探讨过程中，有三位...”相似的题目：
[2014o福州o中考]如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（　　）45°55°60°75°
[2014o株洲o中考]已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　　） 选①②
[2014o苏州o中考]已知正方形ABCD的对角线AC=√2，则正方形ABCD的周长为&&&&．
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该知识点好题
1正方形ABCD中，P、Q分别为BC，CD的中点，若∠PAQ=40°，则∠CPQ大小为（　　）
2如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，四边形ABEF，ACGH均为正方形，则S正方形ABEF：S正方形ACGH=（　　）
3如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连接MF，则MF的长为（　　）
该知识点易错题
1一个围棋盘由18×18个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个，则n的最大值是（　　）
2如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（　　）
3如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，在BD上截取BE=BC，连接CE，点P是CE上任意一点，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，若正方形ABCD的边长为1，则PM+PN=（　　）
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第五讲平面几何、立体几何与解析几何
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洞口一中2011届高三自主招生数学讲义
平面几何、立体几何与解析几何
洞口一中数学组
　　平面几何是数学的基本内容，它以严密的逻辑结构，灵活的证题方法，在发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力方面起着特殊的作用，因此，平面几何在各校自主招生考试中占有一定的地位。
　　立体几何是高中数学的重要内容，在自主招生中，客观题和大题都有体现主要考查空间想象能力、逻辑推理能力。体现空间问题平面化的化归思想。
　　解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分。在具体解题时，要注意结合图形，观察图形的几何特征并灵活运用待定系数法，设而不求等常用方法。
I．知识梳理与补充
一、平面几何中的几个重要定理
1．梅涅劳斯（）定理
如图1，设P，Q，R 分别是的边BC，CA，AB所在直线上的三点，则P，Q，R三点共线的充要条件是。
　　　　　　　图1
2．塞瓦（）定理
　　如图2，设P，Q，R 分别是的边BC，CA，AB边上的三点，则AP，BQ，CR相交于一点M的充要条件是。
　　说明：定理中的三个比值分别是P，Q，R 分BC，CA，AB所成的比，因此三个比值中最多有两个为负，即P，Q，R中如有外分点，则必有两点是外分点。
3．托勒密（）定理
　　如图3，圆内接四边形ABCD两组对边之积的和等于两条对角线之积，即：。
　　说明：对于任意凸四边形ABCD，必有，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号。
4．西姆松（）定理
　　如图4，从的外接圆上任意一点P向BC，CA，AB或它们的延长线引垂线，垂足分别是D，E，F共线，则D，E，F三点共线。
　　说明：（1）直线DEF叫做的关于点P的西姆松线。
　　（2）西姆松定理的逆定理也成立，即从一点P向的三边或它们的延长线引垂线，若垂足D，E，F共线，则点P在的外接圆上。
二、有关三面角的问题
1．三面角的概念
由空间一点出发的不共面的三条射线中，相邻两条射线所在平面构成的几何图形，叫做三面角。
2．三面角的余弦定理
　　三面角中，三个面角分别为、、，它们所对的二面角的平面角依次为、、，则：
　　，，。
3．三面角的正弦定理：
三、有关四面体的问题
1．直角四面体
（1）概念：若某四面体有一个三面角均为直角，则称该四体为直角四面体。
（2）定理及性质
　　①直四面体中，不含直角的面是锐角三角形，若为互相垂直的三条棱长，则其面积为。
　　②直角四面体的外接球半径。
　　③若为从直角顶点引出的四面体的高，则。
2．等腰四面体
（1）概念：若对棱均相等的四面体称为等腰四面体。
（2）定理及性质
　　①等腰四面体的各面为全等的锐角三角形。
　　②若等腰四面体的三组对棱长分别为，则其体积为。
　　③对棱中点连线为对棱的公垂线，互相垂直平分且共点。
　　④若等腰四面体的三个侧面间的二面角的面角分别为，三组对棱长分别为，面积、体积分别为，则有，。
　　⑤等腰四面体的外接球半径。
　　⑥等腰四面体的四条高相等，且等于内切球半径的四倍，即。
3．一般四面体的有关公式
（1）斯坦纳定理：在四面体中，体积为，记与所成的角为，距离为，则有：，
（2）若四面体体积为，表面积为，内切球半径为，则。
（3）设是四面体的两个面的面积，是它们之间的二面角的大小，是它们的公共棱的长，则四面体的体积为。
四、有关球的问题
1．注意圆中有关定理的使用，如切线长定理、切割线定理、相交弦定理等。
2．对多球问题，注意抓住球心和半径，归结到适当的截面上，或连球心，化归为多面体问题。
3．球与多面体问题：找出多面体与球的过球心的截面，使之转化为平面几何问题。
五、圆锥曲线统一的极坐标方程（极点分别是椭圆的左焦点、双曲线的右焦点和抛物线的焦点）。其中是圆锥曲线的离心率，是圆锥曲线的焦参数，其几何意义是焦点到准线的距离，对于椭圆和双曲线都有：。
II．真题解析
例1．（09北大）圆内接四边形，求圆的半径。
例2．（09中科大）如图所示，已知、、分别为、、的三等分点，并且，，，若，试求。
例3．（10清华）（1）一个正三棱锥的体积为，求它的表面积的最小值。
（2）一个正棱锥，体积为，求一个与无关的充分必要条件使得正棱锥的表面积取最小值。
例4．（09清华）已知四面体的三对对棱分别相等。
（1）证明：四个面都是锐角三角形，
（2）设，，所在平面与所在平面形成的角分别为，求证：。
例5．（10清华）如图所示，过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，分别是该抛物线在两点处的切线，设相交于点。
（1）试证明：；（2）试求的轨迹方程。
例6．（09清华）过椭圆的端点作直线交椭圆于，交轴于，过原点作直线的平行线交椭圆于，证明：成等比数列。
例7．（10五校联考）在上，关于抛物线对称轴对称，过点作切线，切线，点到距离分别为。
（1）是锐角，钝角还是直角三角形；
（2）若的面积为240，求的坐标和的方程。
例8．（07清华）已知，是正三角形，且在双曲线一支上。
（1）求证关于直线对称；
（2）求的周长。
1．（10五校示范）为抛物线的焦点，过点的直线与该抛物线交于两点，分别是该抛物线在两点处的切线，设相交于点，设，则
2．（10北大）已知为边长为1的正五边形边上的点，证明：最长为。
3．（09华南理工）如图6，在正三棱锥中，侧棱长为3，底面边长为，为的中点，于。
（1）求证：为异面直线与的公垂线；
（2）求异面直线与的距离；
（3）求点到面的距离。
4．（10北大）设为抛物线上在轴两侧的点，求过的切线与轴围成三角形面积的最大值。
5．（09浙大）是双曲线上不同的两点。
（1）若线段的中垂线过点，求中点的横坐标；
（2）问是否可能垂直于？并证明之。
6．（09清华）能不能用有限多个抛物线及其内部覆盖整个平面。
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