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在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：CD⊥AE；（2）证明：PD⊥平面ABE；（3）求二面角B-PC-D的余弦值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
证明：（1）PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA．又CD⊥AC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，AE?面PAC，∴CD⊥AE．（2）PA=AB=BC，∠ABC=60°，∴PA=AC，E是PC的中点，∴AE⊥PC，由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，∴AE⊥PD．易知BA⊥PD，∴PD⊥面ABE．（3）由题可知PA，AB，AD两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设AB=2，则B（2，0，0），C（1，3，0），P（0，0，2），D（0，43，0）设平面PBC的一个法向量为m=（x，y，z），PB=（2，0，-2），BC=（-1，3，0）PBom=0BCom=0，即2x-2z=0-x+3y=0，取y=3，则x=z=3即m=（3，3，3）设面PDC的一个法向量为n=(x，y，z)，PC=(1，3，-2)，PD=(0，43，-2)PCon=0PDon=0，即x+3y-2z=043y-2z=0取y=3，则x=1，z=2，即n=(1，3，2)∴cos＜m，n＞=mon|m||n|=3+3+6218=427由图可知钝二面角B-PC-D的余弦值为-427．（12分）
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据魔方格专家权威分析，试题“在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB..”主要考查你对&&用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
异面直线所成角：&
， （其中为异面直线a，b所成角，分别表示异面直线a，b的方向向量）。
直线AB与平面所成角：
（为平面α的法向量）；
二面角的平面角：
或（，为平面α，β的法向量）。 用向量求异面直线所成角注意：
①求异面直线所成的角常用平移法或向量法，特别是向量法，由于降低了空间想象的要求，所以需引起我们的重视，用向量法时，需注意两异面直线夹角的范围是②两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．
求直线与平面所成的角既可选择传统立体几何的综合推理法，也可选择空间向量的向量法：
①求直线和平面所成角的步骤：作出斜线与其射影所成的角；证明所作的角就是要求的角；常在直角三角形（垂线、斜线、射影所组成的直角三角形）中解出所求角的大小：②在用向量法求直线OP与α所成的角时一般有两种途径：一是直接求其中OP′，为斜线OP在平面α内的射影；二是通过求进而转化求解，其中n为平面α的法向量。
用向量求二面角注意：
①当法向量的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角θ的大小等于法向量的夹角的大小；②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角θ的大小等于法向量的夹角的补角的大小．
求二面角，大致有两种基本方法：
(1)传统立体几何的综合推理法：①定义法；②垂面法；③三垂线定理法；④射影面积法．(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小．
发现相似题
与“在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB..”考查相似的试题有：
276090405720280228276973252487628783如图,AC平分∠BAD,AC^2=AB*AD.求证BC^2/CD^2=AB/AD_百度作业帮
如图,AC平分∠BAD,AC^2=AB*AD.求证BC^2/CD^2=AB/AD
如图,AC平分∠BAD,AC^2=AB*AD.求证BC^2/CD^2=AB/AD
证明：∵AC²=AB×AD∴AB/AC=AC/AD又∵∠BAC=∠CAD【AC平分∠BAD】∴⊿ABC∽⊿ACD∴BC/CD=AB/AC BC²/CD²=AB²/AC²=AB²/(AB×AD)=AB/AD
已知AC^2=AB*AD，所以AC/AD=AB/AC因为∠BAC=∠CAD，所以三角形BAC与三角形CAD对应角相等，且夹此角的两条对应边对应成比例，所以三角形BAC与三角形CAD是相似三角形。根据相似三角形对应边成比例可得：BC/CD=AB/AC，又前已证AC/AD=AB/AC所以BC^2/CD^2=（AB/AC）（AC/AD）=AB/AD得证。...【答案】分析：（1）∠C=2∠D．由于AD∥BC，利用平行线性质可得∠D=∠DBC，又AB=AD，可得∠D=∠ABD，易求∠ABC=2∠D，又AB=AC，可知∠ABC=∠C，等量代换可得∠C=2∠D；（2）AD∥BC．由于AB=AC，可得∠ABC=∠C=2∠D，而AB=AD，那么有∠ABD=∠D，从而有∠DBC=∠D，那么易证AD∥BC．解答：解：（1）∠C=2∠D，证明：∵AD∥BC，∴∠D=∠DBC，又∵AB=AD，∴∠D=∠ABD，∴∠ABC=2∠D，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=2∠D；（2）AD∥BC，（6分）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2∠D，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠D，∴∠DBC=∠D，∴AD∥BC．点评：本题考查了平行线的性质、判定、等腰三角形的性质．
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科目：初中数学
24、如图，AB=AC=AD．（1）如果AD∥BC，那么∠C和∠D有怎样的数量关系？证明你的结论；（2）如果∠C=2∠D，那么你能得到什么结论？证明你的结论．
科目：初中数学
（2012?虹口区一模）已知：如图，AB=AC，∠DAE=∠B．求证：△ABE∽△DCA．
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科目：初中数学
如图，AB=AC，∠C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．
科目：初中数学
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如图，已知在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B＝2∠C，求证： AC²=AB²+AB*BC
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