各届CMO(中国数学奥林匹克)答案_百度知道
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一、给定 a ，√2 & a & 2， 内接于单位圆的凸四边形ABCD适合以下条件：
（1） 圆心在这凸四边形内部；
（2） 最大边长是a , 最小边长是√(4-a2)过点A、B、C、D依次作圆Γ的四条切线LA、LB、LC、LD。已知LA与LB、LB与LC、LC与LD、LD与LA分别相交于A' 、B' 、C' 、D' 四点。求面积之比 SA'B'C'D'/SABCD 的最大值与最小值。
二、 设 X={1,2,3, … 2001}, 求最小的正整数m，适合要求：对X的任何一个m元子集W, 都存在 u、v ( u和v允许相同 )，使得u+v是2的方幂。
三、 在正n边形的每个顶点上各停有一只喜鹊。偶受惊吓，众喜鹊都飞去。一段时间后，它们又都回到这些顶点上，仍是每个顶点上一只，但未必都回到原来的顶点。求所有正整数n，使得一定存在3只喜鹊，以它们前后所在的顶点分别形成的三角形或同为锐角三角形，或同为直角三角形，或同为钝角三角形。
四、 设a, b, c, a+b-c, a+c-b, b+c-a, a+b+c是7个两两不同的质数, 且a, b, c中有两数之和是800。设d 是这7个质数中最大数与最小数之差。求d的最大可能值。
五、 将周长为24的圆周等分成24段。从24个分点中选取8个点，使得其中任何两点间所夹的弧长都不等于3和8。问满足要求的8点组的不同取法共有多少种？说明理由。
六、 a=2001。设A是适合下列条件的正整数对(m，n)所组成的集合：
（1） m & 2a； （2） 2n | (2am-m2+n2)；（3）n2-m2+2mn ≤2a(n-m)。令 f = (2am-m2-mn)/n ，求 min(m,n) ∈ Af 和 max(m,n) ∈ Af 。
2003中国数学奥林匹克全国中学生数学冬令营
一、设点I、H分别为锐角三角形的内心和垂心，点B1、C1分别为边AC,AD的中点。已知射线B1I交边AB于点B2（B2≠B），射线C1I交AC的延长线于C2，B2C2与BC相交于K,A1为△BHC的外心。试证：A,I,A1三点共线的充分必要条件是△BKB2和△CKC2的面积相等。
二、求出同时满足如下条件的集合S的元素个数的最大值：
（1）S中的每个元素都是不超过100的正整数；
（2）对于S中任意两个不同的元素a,b，都存在S中的元素c，使得a与c的最大公约数等于1，并且b与c的最大公约数也等于1；
（3）对于S中任意两个不同的元素a,b，都存在S中异于a,b的元素d，使得a与d的最大公约数大于1，并且b与d 的最大公约数也大于1。
三、给定正整数n，求最小的正数λ，使得对于任何 θi∈(0,π/2),(i=1,2,3, ...n)
只要 tanθ1·tanθ2·...·tanθn= 2n/2 就有 cosθ1+ cosθ2+...+ cosθn 不大于λ。
四、求所有满足a≥2，m≥2的三元正整数组（a,m,n），使得an+2003是 am+1 的倍数。
五、 某公司需要录用一名秘书，共有10人报名，公司经理决定按照求职报名的顺序逐个面试，前三个人面试后一定不录用。自第4个人开始将他与前面面试过的人比较，如果他的能力超过了前面所有已面试过的人，就录用他；否则就不录用，继续面试下一个。如果前9个人都不录用，那么就录用最后一个面试的人。
假定这10个人的能力各不相同，可以按能力由强到弱排为第1，第2，…，第10.显然该公司到底录用到哪一个人，与这10个人报名的顺序有关。大家知道，这样的排列共有 10！种。我们以 Ak 表示能力第 k 的人能够被录用的不同报名顺序的数目， 以 Ak/10！ 表示他被录用的可能性。
证明：在该公司经理的方针下，有
（1） A1 & A2 & … & A8 = A9 = A10 ；
（2） 该公司有超过 70% 的可能性录用到能力最强的3个人之一，而只有不超过10%的可能性录用到能力最弱的3个人之一 。
六、 设a,b,c,d为正实数，满足ab+cd=1；点Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4)是以原点为圆心的单位圆上的四个点。求证：
(ay1+by2+cy3+dy4)2 + (ax4+bx3+cx2+dx1)2 ≤ 2( (a2 + b2)/ab + (c2 + d 2)/cd )
2004中国数学奥林匹克全国中学生数学冬令营
一、凸四边形EFGH的顶点E,F,G,H分别在凸四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，满足 (AE/EB)(BF/FC)(CG/GD)(DH/HA) 而点A,B,C,D分别在凸四边形E1F1G1H1的边E1F1, F1G1, G1H1, H1E1上，满足E1F1‖EF，F1G1‖FG，G1H1‖GH，H1E1‖HE．已知 E1A/AH1=λ 求F1C/CG1的值.
三、设 M 是平面上 n 个点组成的集合，满足：
（1）M中存在7个点，是一个凸七边形的7个顶点；
（2）M中任意5个点，若这5个点是一个凸五边形的5个顶点，则此凸五边形内部至少含有M中的一个点．
求 n 的最小值.
六、 证明：除了有限个正整数外，其他的正整数n均可表示为2004个正整数之和 n = a1+ a2+ ... + a2004
且满足 1≤a1≤a2≤ ... ≤an ,ai|ai+1 (i=1,2, ... ,2003)
2005中国数学奥林匹克全国中学生数学冬令营
2、 一个圆和△ABC的三条边分别相交于D1,D2;E1,E2;F1,F2。另外, 线段D1E1和线段D2F2相交于点L，线段E1F1和E2D2相交于点M, 线段F1D1和F2E2相交于N。证明三直线AL，BM，CN共点。
3、如图所示（图是由两个同心圆,n条一端点在圆心,一端点在大圆上的线段组成。注:看不懂就可通过下文来推敲）圆形的水池被分割为2n(n≥5)个&格子&。我们把有公共隔墙(公共边或公共弧)的&格子&称为相邻的，从而每个格子有三个邻格。水池中一共跳入4n+1只青蛙,青蛙难于安静共处,只要某个&格子&中有不少于3只青蛙，那么迟早一定会有3只分别跳往三个不同邻格。证明：只要经过一段时间之后,青蛙便会在水池中大致分布均匀。所谓大致分布均匀，就是任取其中一个&格子&，或者它里面有青蛙，或者它的3个邻格均有青蛙。
4、已知数列 {an} 满足条件 a1=21/16,及2an-3an-1=3/2n+1（其中n&1）。
设m为正整数，m&1，m≥n，证明：1/m*[m-(2/3)n(m-1)/m]&(m2-1)/(m-n+1)。5、在面积为1的矩形ABCD中(包括边界)有5个点，其中任意三点不共线。求以这5个点为顶点的所有三角形中，面积不大于1/4的三角形的个数的最小值。
6、求方程 2^x*3^y-5^z*7^w=1的所有非负整数解。
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其他2条回答
对不起我不知道
给图!!!!!没图的!~!~!~~!
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设点H，I分别为锐角ΔABC的内心和垂心，点B1，C1分别为边AC，CB的中点。已知射线B1I交边
设点H，I分别为锐角ΔABC的内心和垂心，点B1，C1分别为边AC，CB的中点。已知射线B1I交边AB于点B（，射线C1I交AC的延长线于点C2，B2C2与BC相交于K，2B2≠B）A1为ΔBHC的外心。试证：A，I，A1三点共线的充要条件是ΔBKB2和ΔCKC2的面积相等。
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希望对你有所帮助 & &还望采纳~~·
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太给力了，你的回答完美地解决了我的问题，非常感谢！
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画个图吧，题目描述好像有点问题
本身就没图，是数学奥林匹克竞赛里的
很明显，你的题目描述有问题&，有图就好办，这种题应该能查到答案的。需要吗？&
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你这讲的有问题
你把原题发过来看看
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出门在外也不愁当前位置：
＞＞＞已知：在等边△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直..
已知：在等边△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点G在CB延长线上时，有结论“在直线EF上存在一点H，使得△DGH是等边三角形”成立（如图①），且当点G与点B、E、C重合时，该结论也一定成立。问题：当点G在直线BC的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论。
题型：解答题难度：偏难来源：河北省模拟题
证明：连接DE、EF、DF；（1）当点G在线段BE上时，如图①，在EF上截取EH使EH=BG，∵D、E、F是等边△ABC三边中点，∴△DEF、△DBE也是等边三角形且DE=AB=BD在△DBG和△DEH中，，∴△DBG≌△DEH，∴DG=DH，∴∠BDG=∠EDH，∵∠BDE=∠GDE+∠BDG=60°，∴∠GDH=∠GDE+∠EDH=60°，∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形；（2）当点G在射线EC上时，如图②，在EF上截取EH使EH=BG，由（1）可证△DBG≌△DEH，∴DG=DH，∠BDG=∠EDH，∵∠BDE=∠BDG-∠EDG=60°，∴∠GDH=∠EDH-∠EDG=60°，∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形；（3）当点G在BC延长线上时，如图③，与（2）同理可证，结论成立；综上所述，点G在直线BC上的任意位置时，该结论成立。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知：在等边△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直..”主要考查你对&&等边三角形，全等三角形的性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等边三角形全等三角形的性质
等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。 如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：1.三边长度相等；2.三个内角度数均为60度；3.一个内角为60度的等腰三角形。性质：①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)判定方法：①三边相等的三角形是等边三角形（定义）②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形④&两个内角为60度的三角形是等边三角形说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。等边三角形的性质与判定理解：首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
等比三角形的尺规做法：可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。全等三角形：两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。全等三角形的对应边相等，对应角相等。①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;③有公共边的，公共边一定是对应边;④有公共角的，角一定是对应角;⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。全等三角形的性质：1.全等三角形的对应角相等。2.全等三角形的对应边相等。3.全等三角形的对应边上的高对应相等。4.全等三角形的对应角的角平分线相等。5.全等三角形的对应边上的中线相等。6.全等三角形面积相等。7.全等三角形周长相等。8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。&
发现相似题
与“已知：在等边△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直..”考查相似的试题有：
344357354263929120357804929858348373高中数学竞赛讲义16：平面几何-五星文库
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高中数学竞赛讲义16：平面几何
导读：高中数学竞赛讲义（十六），──平面几何，3．几何变换，例4平面上每一点都以红、蓝两色之一染色，[证明]在平面上作两个同心圆，例6设P是ΔABC所在平面上的一点，高中数学竞赛讲义（十六）──平面几何一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）梅涅劳斯定理设点共线，则梅涅劳斯定理的逆定理条件同上，若塞瓦定理设线平行或共点，则塞瓦定理的逆定理设则角元形式的塞瓦定理则三点共线。三CA，AB或其延长线上的高中数学竞赛讲义（十六）──平面几何一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）梅涅劳斯定理
设点共线，则 梅涅劳斯定理的逆定理
条件同上，若塞瓦定理
设线平行或共点，则塞瓦定理的逆定理设则角元形式的塞瓦定理则三点共线。 三CA，AB或其延长线上的点，分别是ΔABC的三边BC，若三CA，AB或其延长线上的点，分别是ΔABC的三边BC，若 分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三线共点或互相平行。 分别是ΔABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，则 平行或共点的充要条件是广义托勒密定理
设ABCD为任意凸四边形，则AB?CD+BC?AD≥AC?BD，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号。斯特瓦特定理
设P为ΔABC的边BC上任意一点，P不同于B，C，则有AP2=AB2?+AC2?-BP?PC.西姆松定理
过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。西姆松定理的逆定理
若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。九点圆定理
三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。蒙日定理
三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）欧拉定理
ΔABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且二、方法与例题1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。000例1
在ΔABC中，∠ABC=70，∠ACB=30，P，Q为ΔABC内部两点，∠QBC=∠QCB=10，0∠PBQ=∠PCB=20，求证：A，P，Q三点共线。0[证明]
设直线CP交AQ于P1，直线BP交AQ于P2，因为∠ACP=∠PCQ=10，所以，①在ΔABP，ΔBPQ，ΔABC中由正弦定理有，②，③④ 由②，③，④得。又因为P1，P2同在线段AQ上，所以P1，P2重合，又BP与CP仅有一个交点，所以P1，P2即为P，所以A，P，Q共线。2．面积法。例2
见图16-1，◇ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，且BE=DF，BE交DF于P，求证：AP为∠BPD的平分线。[证明]
设A点到BE，DF距离分别为h1,h2，则 又因为S◇ABCD=SΔADF，又BE=DF。所以h1=h2，所以PA为∠BPD的平分线。3．几何变换。例3
（蝴蝶定理）见图16-2，AB是⊙O的一条弦，M为AB中点，CD，EF为过M的任意弦，CF，DE分别交AB于P，Q。求证：PM=MQ。[证明]
由题设OMAB。不妨设。作D关于直线OM的对称点。连结，则，又∠MDQ=∠PFM，所以只需证F，P，M，要证PM=MQ，只需证共圆。 =-∠=1800-∠OM。AB//因为∠。（因为）所以F，P，M，四点共圆。所以Δ≌ΔMDQ。所以MP=MQ。例4
平面上每一点都以红、蓝两色之一染色，证明：存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为1995，而且每个三角形三个顶点同色。[证明]
在平面上作两个同心圆，半径分别为1和1995，因为小圆上每一点都染以红、蓝两色之一，所以小圆上必有五个点同色，设此五点为A，B，C，D，E，过这两点作半径并将半径延长分别交大圆于A1，B1，C1，D1，E1，由抽屉原理知这五点中必有三点同色，不妨设为A1，B1，C1，则ΔABC与ΔA1B1C1都是顶点同色的三角形，且相似比为1995。4．三角法。0例5
设AD，BE与CF为ΔABC的内角平分线，D，E，F在ΔABC的边上，如果∠EDF=90，求∠BAC的所有可能的值。[解]
见图16-3，记∠ADE=α，∠EDC=β，由题设∠FDA=-α，∠BDF=-β， 由正弦定理：， 得，又由角平分线定理有，又，所以， 化简得所以，同理，即 ，所以sinβcosα-cosβsinα=sin(β-α)=0.，所以A=π。 又-π&β-α&π,所以β=α。所以5．向量法。例6
设P是ΔABC所在平面上的一点，G是ΔABC的重心，求证：PA+PB+PC&3PG.[证明]
因为 ，又G为ΔABC重心，所以，所以）
（事实上设AG交BC于E，则所以又因为，所以不全共线，上式“=”不能成立，所以PA+PB+PC&3PG。6．解析法。例7
H是ΔABC的垂心，P是任意一点，HLPA，交PA于L，交BC于X，HMPB，交PB于M，交CA于Y，HNPC交PC于N，交AB于Z，求证：X，Y，Z三点共线。[解]
以H为原点，取不与条件中任何直线垂直的两条直线为x轴和y轴，建立直角坐标系，用(xk,yk)表示点k对应的坐标，则直线PA的斜率为x(xP-xA)+y(yP-yA)=0.又直线HA的斜率为，所以直线BC的斜率为，直线BC的方程为xxA+yyA=xAxB+yAyB,，直线HL斜率为，直线HL的方程为②又点C在直线BC上，所以xCxA+yCyA=xAxB+yAyB.同理可得xBxC+yByC=xAxB+yAyB=xAxC+yAyC.又因为X是BC与HL的交点，所以点X坐标满足①式和②式，所以点X坐标满足xxP+yyP=xAxB+yAyB.④同理点Y坐标满足xxP+yyP=xBxC+yByC.⑤点Z坐标满足xxP+yyP=xCxA+yCyA.由③知④，⑤，⑥表示同一直线方程，故X，Y，Z三点共线。7．四点共圆。例8
见图16-5，直线l与⊙O相离，P为l上任意一点，PA，PB为圆的两条切线，A，B为切点，求证：直线AB过定点。[证明]
过O作OCl于C，连结OA，OB，BC，OP，设OP交AB于M，则OPAB，又因为OAPA，OBPB，OCPC。所以A，B，C都在以OP为直径的圆上，即O，A，P，C，B五点共圆。AB与OC是此圆两条相交弦，设交点为Q，又因为OPAB，OCCP，所以P，M，Q，C四点共圆，所以OM?OP=OQ?OC。22由射影定理OA=OM?OP，所以OA=OQ?OC，所以OQ=（定值）。所以Q为定点，即直线AB过定点。三、习题精选1．⊙O1和⊙O2分别是ΔABC的边AB，AC上的旁切圆，⊙O1与CB，CA的延长线切于E，G，⊙O2与BC，BA的延长线切于F，H，直线EG与FH交于点P，求证：PABC。2．设⊙O的外切四边形ABCD的对角线AC，BD的中点分别为E，F，求证：E，O，F三点共线。 3．AB是⊙O1与⊙O2的一条外公切线，A，已知两小圆⊙O1与⊙O2相外切且都与大圆⊙O相内切，B在⊙O上，CD是⊙O1与⊙O2的内公切线，⊙O1与⊙O2相切于点P，且P，C在直线AB的同一侧，求证：P是ΔABC的内心。4．ΔABC内有两点M，N，使得∠MAB=∠NAC且∠MBA=∠NBC，求证： 5．ΔABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF相交于点H，直线ED和AB相交于点M，直线FD和AC相交于点N，求证：（1）OBDF，OCDE；（2）OHMN。6．设点I，H分别是锐角ΔABC的内心和垂心，点B1，C1分别是边AC，AB的中点，已知射线B1I交边AB于点B2(B2≠B)，射线C1I交AC的延长线于点C2，B2C2与BC相交于点K，A1为ΔBHC的外心。试证：A，I，A1三点共线的充要条件是ΔBKB2和ΔCKC2的面积相等。7．已知点A1，B1，C1，点A2，B2，C2，分别在直线l1,l2上 ，B2C1交B1C2于点M，C1A2交A1C2于点N，B1A2交B2A1于L。求证：M，N，L三点共线。8．ΔABC中，∠C=900，∠A=300，BC=1，求ΔABC的内接三角形（三个顶点分别在三条边上的三角形）的最长边的最小值。9．ΔABC的垂心为H，外心为O，外接圆半径为R，顶点A，B，C关于对边BC，CA，AB的对称点分别为 ，求证：三点共线的充要条件是OH=2R。包含总结汇报、人文社科、专业文献、考试资料、文档下载、旅游景点以及高中数学竞赛讲义16：平面几何等内容。
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