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解: 二次型f的矩阵A=
-λ+1 -λ+1
= (1-λ)[-λ(-λ-1)-2]
= (1-λ)(λ^2+λ-2)
= (1-λ)(λ+2)(λ-1)
所以A的特征值为λ1=λ2=1,λ3=-2.
(A-E)X=0 的基础解系为: a1=(1,1,0)',a2=(1,0,1)'.
正交化得 b1=(1,1,0)',b2=(1/2)(1,-1,2)'
单位化得 c1=(1/√2,1/√2,0)', c2=(1/√6,-1/√6,2/√6)'
(A+2E)X=0 的基础解系为: a3=(-1,1,1)'
单位化得 c3=(-1/√3,1/√3,1/√3)'
令P = (c1,c2,c3), 则 P 为正交矩阵
正交变换 Y=PX
解: 二次型f的矩阵A=
-λ+1 -λ+1
= (1-λ)[-λ(-λ-1)-2]
= (1-λ)(λ^2+λ-2)
= (1-λ)(λ+2)(λ-1)
所以A的特征值为λ1=λ2=1,λ3=-2.
(A-E)X=0 的基础解系为: a1=(1,1,0)',a2=(1,0,1)'.
正交化得 b1=(1,1,0)',b2=(1/2)(1,-1,2)'
单位化得 c1=(1/√2,1/√2,0)', c2=(1/√6,-1/√6,2/√6)'
(A+2E)X=0 的基础解系为: a3=(-1,1,1)'
单位化得 c3=(-1/√3,1/√3,1/√3)'
令P = (c1,c2,c3), 则 P 为正交矩阵
正交变换 Y=PX
f = y1^2+y2^2-2y3^2.
大家还关注线性代数~关于用配方法将二次型化为标准型的做题困惑.(1) f(x1,x2,x3)=4*x1*x2+2*x2*x3(2) f(x1,x2,x3)=(x1-x2)^2+(x2-x3)^2+(x1-x3)^2第一个问题,式子里面没有平方项,我另设x1=y1+y2,x2=y1-y2,x3=y3.得到f=1/4*(4*y1+y3)^2_百度作业帮
线性代数~关于用配方法将二次型化为标准型的做题困惑.(1) f(x1,x2,x3)=4*x1*x2+2*x2*x3(2) f(x1,x2,x3)=(x1-x2)^2+(x2-x3)^2+(x1-x3)^2第一个问题,式子里面没有平方项,我另设x1=y1+y2,x2=y1-y2,x3=y3.得到f=1/4*(4*y1+y3)^2
线性代数~关于用配方法将二次型化为标准型的做题困惑.(1) f(x1,x2,x3)=4*x1*x2+2*x2*x3(2) f(x1,x2,x3)=(x1-x2)^2+(x2-x3)^2+(x1-x3)^2第一个问题,式子里面没有平方项,我另设x1=y1+y2,x2=y1-y2,x3=y3.得到f=1/4*(4*y1+y3)^2-1/4*(4*y2+y3)^2 进行到这里我感觉没办法往下进行了,这里只有两个平方项了.同样的,第二个问题我也是化到f=2*(x1-1/2*x2-1/2*x3)^2+3/2(x2-x3)^2 就没办法往下进行了.是不是我哪里没有理解正确呢?
(1)此时令z1 = 4*y1+y3z2 = 4*y2+y3z3 = y3(2)此时 令y1=x1-1/2*x2-1/2*x3y2=x2-x3y3=x3没有核对你计算的对错, 只是说一下处理方法哈
直接另z3=y3的依据是什么？可以写成别的比如z3=y2 或者z3=y1这种形式吗？
这样可比较容易地得出y3 = z3y2 = (1/4)(z2-z2)y1 = (1/4)(z1-z3)也就是说 变换是可逆的你说的两个也可以, 但必须保证变换矩阵可逆【线性代数（linear algebra）*分块矩阵~~~~仙侠精灵进！】SINCERE THANKS_百度知道
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逆矩阵的定义
AA^(-1) = A^(-1)A = E
想通了，对！E*E=E
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出门在外也不愁如何直观理解矩阵和线性代数？
想从直觉上理解矩阵的定义，运算规则和属性，比如特征向量什么的。网上有流传甚广的《理解矩阵》老三篇 。非常欣赏这样的教程的思路、文笔，也很赞同作者关于学习的方法论，可惜这三篇只是开了个头，大约只讲到了矩阵的定义的直观理解，没有讲到秩、特征值、奇异值之类的。
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矩阵不是线性代数最重要的课题，是次重要的。线性代数研究的东西，可以统一地说成是线性空间。研究向量——向量的全体是一个线性空间。研究线性映射——线性映射的全体是一个线性空间。我们用8A(八个公理)定义了什么是线性空间：要素：数域K，集合V不是空集，两个映射+: VxV-&V和*: KxV-&V公理：（我把量词集中到前面了）\exists 0 in V\forall a, b, c in V, p, q in K(1) a + b = b + a(2) (a + b) + c = a + (b + c)(3) a + 0 = a(4) \exists d in V, a + d = 0(5) p(a + b) = pa + pb(6) (p + q)a = pa + qa(7) p(qa) = (pq)a(8) 1a = a好了现在V是一个线性空间了。依此我们可以定义线性空间的基、维数等等等。线性空间的几何化例子：坐标系里面的原点、过原点的直线、过原点的平面、全空间等等等。但是代数不是几何，代数需要研究的是结构。线性代数呢，就是研究线性空间这种结构的。线性空间是一个很好的结构，我们可以研究线性空间到线性空间的映射，而且对这种映射加一点限制——线性。这是正比例函数的自然延拓。如果U, V都是K上的线性空间，f: U-&V，符合下面的条件：\forall x, y in U, k in Kf(x + y) = f(x) + f(y)f(kx) = kf(x)那么f就是一个从U到V的线性映射。（这里特别强调一件事情：两个性质里面，左右虽然都是加法或数乘，但是由于U、V可以是不同的线性空间，所以等式左右的加法和数乘其实不同，不要混淆）现在来点具体的例子舒服舒服：R-&R、C-&C之类的正比例函数是线性映射。又例如，投影映射，绕原点的旋转映射等等。说了这么多，好像没有什么具象化的东西嘛，好像和矩阵没什么关系嘛。不然。矩阵该登场了。对于f: U-&V是K上有限维线性空间U到有限维线性空间V的线性映射，选定U、V各自的一组基u1...um, v1...vn，我们可以用m*n个K里面的数决定这个线性映射。具体地说，就是令f(ui) = \sum(a(i, j)v(j), j=1...n), i=1...m知道了a(i, j)，用线性映射的线性性和基的性质，可以得到任意U中元素在f作用下的像，所以说这m*n个数决定了这个线性映射。把这m*n个数如此排列：a(1, 1) ... a(1, n)...a(m, 1) ... a(m, n)这就是一个矩阵。说白了，选定基，就可以用矩阵描述线性映射。矩阵的乘法的意义极其显然——就是映射的乘法（复合）。（说到这个，最近某次考试我还因为这件事出了点洋相，不过因为保密协定，暂时不能说）相似矩阵是什么呢？是同一个线性变换在不同基下的矩阵。所以说，对角化、化为Jordan标准形就是要寻找一组基，让这组基下这个线性变换简单一点。方阵的特征值是什么呢？就是这种“简单”的一种表现，也很自然，因为一旦有了特征值和特征向量，这个线性变换看起来就像是正比例函数了！矩阵的合同，则是出于二次型的研究，二次型则可以用双线性形式表示。二次型看似和线性代数无关，其实骨子里还是线性的。那矩阵的相抵（等价）呢？如果是相似，我们已经知道了。注意谈到相似的时候，矩阵是方阵，而且所描述的线性映射必须是线性变换（同一个线性空间），而且所用的基必须是同一组。去掉这两个性质，U到V的线性映射，选定U不同的基、V不同的基，都会导致这个线性映射的矩阵不同。这些矩阵是相抵的。还有很多，在此不赘述。
来试着回答一下这个问题吧。首先讲线性代数。既然是代数，无非都是研究量与量之间的关系。在高中代数里面：基本量是实数集里的标量，量与量的关系可以是线性的（y=ax），也可以是非线性的（指数、幂、多项式等等）。而线性代数呢：基本量是 线性空间里的向量（一个数组），基本关系是严格的线性关系。会在最后一章“二次型”里面简单讲述二次关系。然后就是矩阵。矩阵就是描述这种线性关系的参数。我们来比较：初等代数中，表示的是的一种映射关系，是描述这个关系的参数。线性代数中呢， （）表示什么呢？首先与初等代数一样，这个等式表示的是的一种映射（关系），同理此处矩阵就是描述这种关系的参数。换句话说和的本质是一样的。那一定会有人问，为什么定义这么复杂呢？（远没有实数相乘这么简单）那我想说的是，其实这是在无损信息下最简单的关系了！且看：我们得考虑到input是个n维向量，那么就得把这n个值都考虑一遍吧。。。。而且考虑到output是个m维向量，那总得把上面这个n维向量考虑m次吧……这就决定了的信息量一定至少得……当然一定有人问，那为什么要用加权求和（而不用加权求积，先求和再求积等）的方式定义矩阵乘法？首先这是个线性算法（去翻线性的定义）。其次，我认为最重要的是，在非线性问题线性化后，求一阶近似的时候，一元函数：即其中是多元函数：即其中是的Jacobian。换句话说，加权求和可以表达一种边际增加的概念，这是非常有用的。最后讲特征值和奇异值。首先说明的是，特征值奇异值是为了简化矩阵运算的一种方式，一种技巧，也是描述矩阵特征的一些参数。特征值是矩阵特有的值。说其为特征值，根据定义也好理解：，则说是一个特征值，是一个特征向量。换句话说，在这个方向上，做的事情无非是把沿其的方向拉长/缩短了一点（而不是毫无规律的多维变换）。就是描述沿着这个方向上拉伸的比例。那么这样，给定任意的一个向量，我们如何求呢？ 很简单，把沿着分解，然后分别按照各自的比例伸缩 最后再求和即可。有人一定问，这不是折腾么！那么当你运算的时候就发现好处了！沿着各个的伸缩正好是！所以，特征值在动态系统分析中是描述系统性质的非常重要的量，它决定了系统在空间内某个方向上的变化趋势（是无限扩张？还是收缩？还是保持不变？），这是判断离散线性系统的重要特征。特征值分解也就很好定义。 一个可对角化的方阵分解为：，的列向量为特征向量（）。理解为：以为基的坐标分解变换+伸缩变换+以为基坐标还原变换。奇异值是当不是方形矩阵时候提取的一种伪特征值，也具有某些计算上的优势。 （这句话回头看看不准确）奇异值变换也是为了简化矩阵运算的一种方式。它和特征值变换的基本理念不同，看似繁琐一点，却能道出线性变换的本质。定义：任何的矩阵都可以如下分解：其中和是正交矩阵（复数域里面是酉矩阵），是由对角阵和零矩阵合成的矩阵。它的含义是 任何的变换可以理解为 一个正交变换+伸缩变换+另一个正交变换。（正交变换可以暂时理解为 不改变大小以及正交性的旋转/反射 等变换）这是对线性变换的本质的阐释！特征值变换的条件很苛刻，必须是1方阵2可对角化。而奇异值变换却对没有任何要求！它阐明的是一般线性变化的本质！-----------------------------分割线----------------------------------才疏学浅，疏漏众多，还望达人提供意见。 Ver1 Ver2 扩展SVD（奇异值分解）部分。
这么说吧，如果有人能给你写一个很好的答案，那他一定是花很大功夫学习了线性代数，写出来让你觉得很有道理。但你看完这些貌似很直观的理解之后，其实对你的认识和理解没有任何帮助。先认认真真学吧，没有捷径，只有学懂了才会觉得有一些直观的理解。没有深入学习的直观都是错觉。。
I trust that the answer is hidden in this book.
好好看一遍这本书。真正做到每一个重要概念都有对应的来由，每一章都有相关领域的应用范例。学过线性代数、甚至用过好多年了再回头来翻也可，直接拿来入门也可。
线性代数主要研究的是（有限维）和，矩阵不是线性代数主要研究的。-------向量空间-------什么是向量空间呢？数域上向量空间就是一个集合，里面的元素叫作向量，并且上面定义了两个运算，向量加法和数量乘法，加法和数乘要满足向量空间的八个公理。详细请见：。定义了向量空间后，就可以定义生成(span)空间、线性相关和基。向量空间的子集的生成空间就是包含作为子集的最小向量空间：的子集说是线性相关的，如果存在各不相同的元素以及不全零的数使得。说是线性无关的，如果它不是线性相关的。向量空间的一个基就是的一个生成集合（即），并且是线性无关的。前面说过线性代数主要研究的是有限维向量空间，那么什么是维数呢？在定义维数之前，有一点细节要处理，花一点力气论证一下，就可以得到向量空间的每个基包含的元素个数是相同的。因此我们说向量空间有维数如果它有一个基含有个元素，我们说是有限维的如果它的维数是有限的，否则我们说是无限维的。-------线性变换-------线性变换就是从向量空间到向量空间的函数，并且保持向量空间的运算。设是向量空间，一个从到的线性变换是一个函数，并且满足下面性质：（保持向量加法）对任意，。（保持数量乘法）对于任何和数，。线性变换可以用矩阵来表示，为此，我们需要有序基的概念，设是有线性维向量空间，一个有序基是中的有限向量序列使得集合是的一个基。设是的一个有序基，是中的向量，我们知道有唯一的表示形式，我们把叫做相对于的坐标，记作。-------线性变换的矩阵表示-------设是有限维向量空间，是线性变换，中的向量相对于基有坐标表示，因为在中，它相对于基也有坐标表示。我们很自然地要问和有怎样的关系？这依赖于相对于和的矩阵表示。我们先求向量在基下坐标表示：定义线性变换相对于基和的矩阵表示为矩阵稍微计算一下就可以得到和的关系：。线性变换的和、数乘和复合也可以用矩阵来表示，因为我们有下面的命题：命题. 设是有限维向量空间有有序基，设和是线性变换，设是数，那么。命题.
设是维向量空间有有序基，是维向量空间有有序基，是维向量空间有有序基，那么。可以看到，矩形的加法表示线性变换的和，矩阵的乘法表示线性变换的复合。我们可以表这一点说的更明白。设是的实矩阵，我们定义线性变换为，这里我们认为和中的向量是列向量。根据上面的定义，计算一下就可以得到设是的实矩阵，是的实矩阵，那么。设是的实矩阵，是的实矩阵，那么。
读完Linear Algebra Done Right就行
个人的经验是，把大部分重要的定理自己独立证出来，基本上你就懂了。
目前的理解，向量就是数组，矩阵就是二维数组，里面装的数据究竟是什么意义不用管，只需要知道这些是数据好了，根据需要对这些数据进行操作变换。
第一次回答问题。努力尝试讲得明白点。若有不妥请指正。我对矩阵这么理解的。首先还原矩阵的物理意义。我把矩阵看作方程组的系数。那么，一个n个变量的方程，最多有n个独立的行，再多就是冗余了。所以我把秩看作方程组有意义的方程的个数，也就是一种信息的度量。
去听网易公开课里的麻省理工线性代数去。。。其实我觉得矩阵只是一种表示方法是次要的了，你要先理解为什么他会被称为线性。
哎，做到直观？如果中学生进入大学，怎么让别人给线性代数你讲得直观，也没有办法直观起来，都是莫名其妙，一头雾水。如果学了群论，学了矩阵论，或者看了现代控制理论，或者量子力学……怎么看线性代数都会觉得真直观，真简单，恨不得用再少些在抽象点的话来描述，这样才够本质。这个过渡过程，除非天赋异常，只有一个绝杀办法，学什么都能直观起来，而这早已是学数学人的共识：大量做题，大量思考。《理解矩阵》以前也看过，啰嗦半天，还不如好好做一题体会深刻。当你学会了更加抽象的数学，或者学回了大量的线性代数的理论（量子力学，哪怕第一章）上或者工程上的应用（机器视觉、现代控制理论等等），你再回头看看线性代数。
要谈理解，必须讲范畴，也就是你要应用在哪里。比如“红色”在电工的世界里是火线，在工业设计者的王国里是危险，在物理学世界里是波长630到750纳米的可见光，在画家眼中是激情……弄混了范畴谈直观是危险的，比如这篇文章看上去很好，但是如果你以后学习现代控制论的时候拿矩阵当成空间里的变换，那无异于让画家去用波长来理解红色。用普通课本上的线性方程组去理解就会非常恰当……
看再多不如自己体会，自己掌握。其实我的线代学的也不太好，这个东西本来就很抽象。
看这个其实矩阵想要的就是一个简单的R^m到R^n的映射秩就是保证是在R^n上而不是R^n上的一个sub space(其实我不知道这东西的英文或者中文怎么说所以我随意扯了一个名词)特征值和SVD放在一起比较好，就是把线性映射分解成一个旋转镜像和一个拉伸收工了，现在你可以去学学统计学看看线性代数有什么应用了（之所以不说量子或者电动是因为这两科我不敢推荐textbooks，因为学得时候没有好好看textbooks
首先希望你提问前先搜索，其次希望你学会自己思考。理解了矩阵，你提到的其他概念应该自己领悟出来，不能什么都指望别人手把手教。
我只知道世界万物皆是矩阵
我是一名大四狗，学习线性代数也不过是一本同济五版的教材，有自己的一些理解，但是不敢说完全正确。Action
我开始以为矩阵是为了把线性方程组的系数抽取出来，方便方程组化简和求解，后来发现矩阵的用处不止如此，不然就不会写一本书了。
矩阵可以方便的用来表示线性空间，一个简单的二维数阵，就可以表示成n维线性空间。
一个毫无意义的有序数阵，我们赋予它意义，他就可以表示成一个空间。那为什么要这么做呢？这是因为矩阵的运算可以表示线性空间的变换。以向量举例，我们求两个向量相加，可以让(x1，y1)和(x2，y2)相加，而不必真的在图上画出来这个相加后的向量。到三维空间我们就画不出来了，因为二维空间中的向量不能表示三维空间中的向量。同样，n大于3以上维度的空间中的向量我们不但不方便表示，甚至根本实现不了，但是矩阵可以帮助我们表示出来。一个3x3的矩阵，我们把他分成三列，就得到三个三维的列向量，同样4阶方阵中包含了4个4维向量。--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------为了直观理解，下面全部用二维向量举例。平面内引入直角坐标系之后，二维空间内所有的向量都可以用两个基向量i=(1,0)和j=(0,1)的线性组合来表示，例如a=(4,6)，可以表示为a=4i+6j。但是也可以由i=(2,0)和j=(0,2)两个向量来表示，例如a=2i+3j。还可以由i=(1,1)和j=(1,-1)来表示，例如a=5i-1j。或者由i=(1,0)和j=(1,-1)表示，例如a=10i-6j。在1的基础上，我们还可以将a表示为i=(1,0),j=(0,1),k=(1,1)三个向量的线性组合，也就是a=4i+6j+0k或者a=0i+2j+4k或者a=2i+4j+2k等等等等我举不完了。这其中k=i+j。通过上面的举例我们可以总结出几条。由5点到4点，将多余的基向量k去掉，得到最大线性无关向量组。由4点到3点，将两个基向量的夹角变成直角，实现正交化。由3点到2点，将构成正交的两个基向量旋转，使其与坐标轴重合，实现对角化。由2点到1点，通过伸缩将两个基向量的长度变成单位长度，实现规范化。通过上面的几个步骤，我们可以看出，任何一组向量构成的坐标系，都可以通过化简，正交，对角，规范的过程，将任何乱七八糟莫名其妙的坐标系变换成笛卡尔坐标系。那这么做有什么用呢？到这里我开了一下脑洞：假如说，平面内有两个椭圆，将直角坐标系的原点放在一个椭圆的长轴和短轴交点处，这样就可以得到这个椭圆的标准方程，就是高中课本上那个。由于这两个椭圆的位置相对，这样一来另一个椭圆的位置也就定下来了，可惜很难看，长得很歪，很难用方程表示。这时就可以以这个椭圆为原点再建立一个坐标系，并且在这个坐标系下用标准方程表示出来，这样两个椭圆都有了方程来表示，问题就化简为了两个坐标系之间的关系，这时再用矩阵来运算就好了。可惜这里不能画矩阵，关于矩阵的好多问题都不能解释。BTW，上面列举的例子都是同维度内的问题，关于升维和降维的问题其实关系到求矩阵的秩，以及线性方程组有解无解多解的问题。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------关于特征向量和特征值我还没想到，想到我再告诉你
理论与实际结合，比如线性代数与OpenGL结合，矩阵的各种公式都能在图形学里找到对应关系，理解起来也更简单【线性代数（определитель）之二*不满秩的含义~仙侠精灵进！】благодарю_百度知道
定义I=[1,1,1,1]那么显然有J*I=(3b+1)*I
能否详细阐述之？
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