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系统奖励20（财富值+经验值）+难题奖励30（财富值+经验值）2007 年选择题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）. 1.在复平面内，复数 z= （A）第一象限 解析：Z=2?i 5 ? 2 5 ? 1 5x?3 ? 21 2?i对应的点位于 ZM （C）第在象限 （D）第
四象限（B）第二象限i ，选 D2.已知全信 U＝{1，2，3， 4，5}，集合 A＝ ?x ? Z （A） ?1, 2 , 3 , 4 ? （B） ?2 ,3 , 4 ?? ,则集合 C A 等于 u(C) ?1,5?(D) ?5 ? Z解析：A={2，3，4}，CuA={1，5}，选 C 2 3.抛物线 y=x 的准线方程是
（A）4y+1=0 (B)4x+1=0 解析：P=1 2(C)2y+1=0 ，即 4 y?1? 0(D)2x+，准线方程为 y= ?5 54P 2? ?41 4，选 A4.已知 sinα = （A）4，则 sin α -cos α 的值为
(B)421 53 52(C)21 5 3(D)3 5解析：sin α -cos α = sin ? ? cos ? = 2 sin ? ? 1 =- ，选 B55.各项均为正数的等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn，若 Sn=2,S30=14,则 S40 等于
（A）80 （B）30 (C)26 (D)16ZX 解析：选 B 6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该 正三棱锥的体积是
（A）3 3 4(B)3 3(C)3 4(D)3 121 3 4 3 4解析：正三棱锥的高为 1，由平面几何知识知底面边长为 3 ，体积为 ?3( 3) ?1 ?2，选 C7.已知双曲线 C：
A. aba c2 2?y b2 2? 1 (a＞0,b＞0),以 C 的右焦点为圆心且与 C 的浙近线相切的圆的半径是B. a ? b22C.ab a x 的距离，所以 R=| bc ? a ? 0 | b2解析：：圆的半径是（C，0）到渐近线 y ??bc c? a? b ，选 D28.若函数 f(x)的反函数为 f ( x ) ,则函数 f(x-1)与 f ( x ? 1) 的图象可能是 ?1?11
解析：函数 f(x-1)与 f ( x ? 1) 的图象是 f（x）与 f ( x ) 的图象向右平移一个单位得到。选 A 9.给出如下三个命题： ①四个非零实数 a、b、c、d 依次成等比数列的充要条件是 ad= ②设 a,b∈R，则 ab≠0 若a b?1?1＜1，则b a＞1；③若 f(x)=log 2 2x=x,则 f（|x|）是偶函数. 其中不正确命题的序号是
A.①②③ B.①② C.②③ D.①③ 解析：①ad=bc 不一定使 a、b、c、d 依次成等比数列，如取 a=d=-1，b=c=1；②a、b 异号时不正确，选 B 10.已知平面α ∥平面β ，直线 m ? α ，直线 n ? β ，点 A∈m,点 B∈n，记点 A、B 之间的距离为 a,点 A 到直线 n 的距离为 b,直线 m 和 n 的距离为 c,则
A.b≤a≤c B.a≤c≤b C. c≤a≤b D. c≤b≤ 解析：由图知 c 最小，a 最大，选 D ‘ 11.f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足 xf (x)-f(x)≤0,对任意正数 a、b,若 a＜b，则必有
A.af(b) ≤bf(a) C.af(a) ≤f(b) 解析：设 F（x）=f (a ) a ? f (b ) bB.bf(a) ≤af( D.bf(b) ≤f(f (x) x，则 F ( x ) ?'xf ( x ) ? f ( x )'x2? 0 ，故 F（x）=f (x) x为减函数，由 a ＜ b 有? af ( b ) ? bf ( a ) ，选 A12.设集合 S={A0， 1， 2， 3}， S 上定义运算为： i ? Aj=Ak,其中 k 为 I+j 被 4 除的余数， j=0,1,2,3. A A A 在 A i、 满足关系式=（x ? x） ? A2=A0 的 x(x∈S)的个数为
A.4 B.3 C.2 D.1 解析：由定义 A1 ? A1= A2，A2 ? A2= A0，x =A1 能满足关系式，同理 x=A3 满足关系式，选 C2008 年选择题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）． 1．复数 A． ii(2 ? i) 1 ? 2i等于（） C．1 D． ? 12B． ? i2 3 4 5} 集合 A ? { x | x ? 3 x ? 2 ? 0} ， ? { x | x ? 2 a， a ? A } ， B 2． 已知全集 U ? {1，，，， ， 则集合 ?U ( A ? B )中元素的个数为（ A．1 B．22） C．3 D．43．△ A B C 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c ，若 c ? A． 6 B．2 C． 3 D． 22，b ?6 ， ? 120 B?，则 a 等于（）4．已知 { a n } 是等差数列， a1 ? a 2 ? 4 ， a 7 ? a 8 ? 2 8 ，则该数列前 10 项和 S 1 0 等于（ A．64 B．100 C．1102 2）D．120 ）5．直线 3 x ? y ? m ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 2 ? 0 相切，则实数 m 等于（ A． 3 或 ? 3 6．“ a ?1 8B． ? 3 或 3 3a xC． ? 3 3 或 3≥ 1 ”的（D． ? 3 3 或 3 3”是“对任意的正数 x ， 2 x ?）A．充分不必要条件 C．充要条件 7．已知函数 f ( x ) ? 2 的值为（ A． ? 2 8．双曲线x a2 2x?3B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ，f?1( x ) 是 f ( x ) 的反函数，若 m n ? 1 6 （ m ， n ? R ），则 f+?1(m ) ? f?1(n)） B．1? y b2 2C．4D．10?? 1 （ a ? 0 ， b ? 0 ）的左、右焦点分别是 F1， F 2 ，过 F1 作倾斜角为 3 0 的直线交双曲线右支于 M 点，若 M F 2 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为（3 3）A． 6B． 3C． 2D．9．如图， ? ? ? ， ? ? ? ? l， A ? ? ， B ? ? ， A， B 到 l 的距离分别是 a 和 b ， A B 与 ? ， ? 所成的角 分别是 ? 和 ? ， A B 在 ? ， ? 内的射影分别是 m 和 n ，若 a ? b ，则（ A． ? ? ? ， m ? n C． ? ? ? ， m ? n B． ? ? ? ， m ? n D． ? ? ? ， m ? n A l a ）?bB?? y ≥ 1， ? 10．已知实数 x， y 满足 ? y ≤ 2 x ? 1， 如果目标函数 z ? x ? y 的最小值为 ? 1 ，则实数 m 等于（ ? x ? y ≤ m． ?）A．7B．5C．4D．31) 11．定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) ? 2 xy （ x， y ? R ）， f ( ?2 ，则 f ( ?3) 等于（ ） A．2 B．3 C．6 D．9 12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定3原信息为 a 0 a1 a 2， i ? {0， （ i ? 0， 2 ），传输信息为 h 0 a 0 a 1 a 2 h1 ，其中 h 0 ? a 0 ? a 1， h1 ? h 0 ? a 2 ， ? a 1， 1} 运算规则为：0 ? 0 ? 0 ，0 ? 1 ? 1 ，1 ? 0 ? 1 ，1 ? 1 ? 0 ，例如原信息为 111，则传输信息为 01111．传 输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ） A．11010 B．01100 C．10111 D．000112009 选择题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．设不等式 x ? x ? 0 的解集为 M，函数 f ( x ) ? ln (1 ? | x |) 的定义域为 N，则 M ? N 为2（A）[0，1） 答案：A（B）（0，1）（C）[0，1]（D）（-1，0]2 解析：不等式 x ? x ? 0 的解集是 ? 0 ? x ? 1? ，而函数 f ( x ) ? ln (1 ? | x |) 的定义域为 ? ? 1 ? x ? 1? ，所以M ? N 的交集是[0，1），故选择 A2.已知 z 是纯虚数, （A）2i 答案：Dz? 2 1- i是实数,那么 z 等于 (C)-i (D)-2i(B)i解析：代入法最简单3.函数 f ( x ) ? （A） f （C） f 答案：B解 析 1： f ( x) ? 解 析 2： f ( x) ??12 x ? 4 ( x ? 4 ) 的反函数为(x) ? (x) ?1 2 1 2x ? 2( x ? 0)2(B) f (D) f?1(x) ? (x) ?1 2 1 2x ? 2( x ? 2)2?1x ? 4( x ? 0)2?1x ? 4( x ? 2)22 x ? 4 ( x ? 4) ? y ? 2, f 2 x ? 4 ( x ? 4) ? y ? 2, f?1( x ) : y ? 4 , x ? 2 .逐 一 验 证 ， 知 B 正 确 。E L J?1(x) ?1 2x ? 2, x ? 22A N4.过原点且倾斜角为 6 0 ? 的直线被圆学 x ? y ? 4 y ? 0 所截得的弦长为2 2（A） 3 答案：D4（B）2（C） 6（D）2 3AOBKF解 析 ： x ? y ? 4 y ? 0 ? x ? y ? 2） ? 4， （2 2 2 2? A ( 0 , 2 ) , O A = 2 , A 到 直 线 O N 的 距 离 是 1 ,? O N =3 ? 弦长235.若 3 sin ? ? co s ? ? 0 ,则 （A）10 31 c o s ? ? s in 2 ?2的值为2 3（B）5 3（C）(D) ? 2答案：A解 析 ： sin ? ? co s ? ? 0 ? co s ? ? 0 ? tan ? ? ? 3 1 co s ? ? sin 2 ?21 3?co s ? ? sin ?2 2co s ? ? 2 sin ? co s ?2?1 ? tan ?21 ? 2 tan ??a1 210 3? a2 226.若 (1 ? 2 x ) （A）2 答案：C2009? a 0 ? a1 x ? ? ? a 2 0 0 9 x2009( x ? R ) ,则?? ?a 2009 22009的值为（B）0（C） ? 1(D) ? 2解 析 ： a r ? ( ? 1) C 2 0 0 9r2009 ? r?12009 ? r?2r则 a1 , a 2 K a r 都 能 表 示 出 来 ， 则a1 2?a2 22?? ?a 2009 22009等于( ? 1) C 2 0 0 9r2009 ? r，再利用倒序相加法求得。2 27.“ m ? n ? 0 ”是“方程 m x ? n y ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 （A）充分而不必要条件 （C）充要条件 答案：C 解析： m ? n ? 0 说明 b ? a ? 0 8.在 ? A B C 中,M 是 BC 的中点，AM=1,点 P 在 AM 上且满足学 A P ? 2 P M ,则科网 P A ? ( P B ? P C ) 等于 （A） ? 答案：A??? ? ???? ? 解 析 ： A ? 2 PM ? P是 AM 的 一 个 三 等 分 点 ， 延 长 PM到 H， 使 得 MH=MP, P ??? ??? ???? ? ? ??? ???? ? ? ? ? 2 ???? 2 ???? 4 ???? 2 4 P A ? ( P B ? P C ) ? P A ? P H ? ( ? A M ) ? A M ? ? ?A M ? ? 3 3 9 9??? ? ???? ?（B）必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件??? ???? ?????4 9（B） ?4 3（C）4 3(D)4 99．从 0，1，2，3，4，5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 (A)300 答案：C 解析：分类讨论思想：5(B)216(C) 180(D)162第一类：从 1，2，3，4，5 中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为C 3 A4 ? 7 22 4第二类：取 0，此时 2 和 4 只能取一个，0 还有可能排在首位，组成没有重复数字的四位数的个数为C 3 C 2 [ A 4 ? A3 ] ? 1 0 82 1 4 3共有，180 个数 10．若正方体的棱长为 2 ，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为2 6 2 3 3 32 3(A)(B)(C)(D)答案：B 解析：正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥，该棱锥的高时正方体高的一半， 底面面积是正方体一个面面积的一半， V ? 2 ?1 3 ?[ 1 2 ? 2? 2 ]? 1 2 ? 2 ? 2 3?x ? y ? 1 ? 11．若 x，y 满足约束条件 ? x ? y ? ? 1 ，目标函数 z ? a x ? 2 y 仅在点（1，0）处取得最小值，则 a 的取 ?2x ? y ? 2 ?值范围是 (A) （ ? 1 ，2 ） 答案：B 解析：根据图像判断，目标函数需要和 x ? y ? 1 ， 2 x ? y ? 2 平行， 由图像知函数 a 的取值范围是（ ? 4 ，2 ）B1 y I 4 I1 3 2 1(B) （ ? 4 ，2 ）(C) ( ? 4, 0 ](D) ( ? 2 , 4 )G1F112．定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足：对任意 的 x1 , x 2 ? ( ? ? , 0 ]( x1 ? x 2 ) ，有 ( x 2 ? x1 )( f ( x 2 ) ? f ( x1 )) ? 0 . 则当 n ? N 时,有*-2-101234GxR D1 S H1 C1(A) f ( ? n ) ? f ( n ? 1) ? f ( n ? 1) (C) (C) f ( n ? 1) ? f ( ? n ) ? f ( n ? 1) 答案：C(B) f ( n ? 1) ? f ( ? n ) ? f ( n ? 1) (D) f ( n ? 1) ? f ( n ? 1) ? f ( ? n )6解 析 ： x1 , x 2 ? ( ? ? , 0 ]( x1 ? x 2 ) ? ( x 2 ? x1 )( f ( x 2 ) ? f ( x1 )) ? 0 ? x 2 ? x1时 ， f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x ) 在 ( ? ? , 0 ]为 增 函 数 f ( x ) 为 偶 函 数 ? f ( x ) 在 (0， ? ]为 减 函 数 ? 而 n + 1 & n & n - 1 & 0 ,? f ( n ? 1) ? f ( n ) ? f ( n ? 1) ? f ( n ? 1) ? f ( ? n ) ? f ( n ? 1)2010 选择题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）。 1.集合 A= ? x | ? 1 ? x ? 2 ? ，B= ? x | x ? 1? ，则 A ? ( C R B ) =【D】 （A） ? x | x ? 1? （B） ? x | x ? 1? （C） ? x | 1 ? x ? 2 ? （D） ? x | 1 ? x ? 2 ?解析：本题考查集合的基本运算C R B ? ? X | x ? 1?, A ? C R B ? ?x | 1 ? x ? 2 ?z ?i 1 ? i 在复平面上对应的点位于 【A】2.复数A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：本题考查复数的运算及几何意义i 1? i ? i (1 ? i ) 2 ? 1 2 ? 1 2 i ，所以点（ 1 1 , ) 位于第一象限 2 23.对于函数 f(x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是 【B】? ?A.f(x)在（ 4 ， 2 ）上是递增的 B. f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)的最小正周期为 2 ? 最大值为 2 解析：本题考查三角函数的性质 f (x)=2sinxcosx=sin2x，周期为π 的奇函数a? ? 4. ? x ? ? x? ?5D. f(x)的? x ? R ? 展开式中 x 3 的系数为 10，则实数 a 等于【D】1 2A.-1B.C.1D.2解析：本题考查二项展开式的通项公式T r ?1 ? C 5 xr 5?r?a? ? ? ? x?r? a C5 xr rx5?2 r,由 5 ? 2 r ? 3 得 r ? 1, 有 aC1 5? 10 ,? a ? 25.已知函数 f(x)=1 4? 2 ? 1， x ? 1 ? ? 2 ? x ? a x， x ? 1 ?若 f（f（0））=4a，则实数 a 等于【C】A. 2B. 5C.2D.97解析：f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以 a=2 6.右图是求样本 x1 ， x 2 ，?， x1 0 平均数 x 的程序框图，图中空白框中 应填入的内容为【A】xn 1A.S=S+xnB.S=S+ nC.S=S+n D.S=S+ n7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【C】 A.1 3B.2 3C.1D.22解析：本题考查立体图形三视图及体积公式 如图，该立体图形为直三棱柱 所以其体积为1 2 ?1? 2? 2 ?1218.已知抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的准线与圆 x ? y ? 6 x ? 7 ? 0 相切，则 p 的2 2 2值为【C】 A.1 2B. 1C.2D.4解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置 关系 法一：抛物线 y ＝2px（p&0）的准线方程为 x ? ?2 2 2p 22，因为抛物线 y ＝2px（p&0）的准线与圆（x－3） ＋y ＝16 相切，所以 3 ?p 2 ? 4, p ? 22 2 2法二：作图可知，抛物线 y ＝2px（p&0）的准线与圆（x－3） ＋y ＝16 相切与点（-1,0） 所以 ?p 2 ? ? 1, p ? 2...) 9.对于数列 ? a n ? ，“ a n ? 1 ? a n ( n ? 1， 2 ， ”是“ ? a n ? 为递增数列”的【B】A.必要不充分条件B. 充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件...) 解析：由 a n ? 1 ? a n ( n ? 1， 2 ， 知 ? a n ? 所有项均为正项，且 a 1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ? a n ? 1? ??? ，即 ? a n ? 为递增数列...) 反之， ? a n ? 为递增数列，不一定有 a n ? 1 ? a n ( n ? 1， 2 ， ，如-2，-1,0,1,2，?.10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表 ，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时 再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=[x]( [x] 表示不大于 x 的最大整数)可以表示为 【B】 A. y ? ? ? ?10 ?? x ?B. y ? ? ? ? 10 ?? x ? 3?C. y ? ? ? ? 10 ??x? 4?D. y ? ? ? ? 10 ??x ? 5?解析：法一：特殊取值法，若 x=56，y=5,排除 C、D，若 x=57，y=6，排除 A，所以选 B8法二：设 x ? 10 m ? ? ( 0 ? ? ? 9 ) ， 0 ? ? ? 6时 , ?? ? 3? ? x ? 3? ? ? x ? m ? ? m ? ? ? ? ? 10 10 ? ? 10 ? ? ?? ， ? ?当 6 ? ? ? 9时 ,? ? 3? ? x ? 3? ? ? x ? ? m ? ? m ?1? ? 1 ，所以选 B ? 10 ? ? ? ? 10 ? 10 ? ? ? ? ? ?2011 年选择题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 1.设 a , b 是向量，命题“若 a ? ? b ，则 a ? b ”的逆命题是( （A）若 a ? ? b ，则 a ? b （C）若 a ? b ，则 a ? ? b )（B）若 a ? ? b ，则 a ? b （D）若 a ? b ，则 a ? ? b ) D． y ? 4 x22.设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x ? ? 2 ，则抛物线的方程是( A． y ? ? 8 x2B． y ? 8 x2C． y ? ? 4 x23.设函数 f ( x )( x ? R ) 满足 f ( ? x ) ? f ( x ), f ( x ? 2 ) ? f ( x ), ,则 y ? f ( x ) 的图像可能是()yy(A)-2 -1 0 12x(B)-2 -10 12xyyx(C)-4 -2 0 24(D)-4 -20 24x4. ( 4 ? 2x?x) （x∈R）展开式中的常数项是(6)A．-20 B．－15 C．15 D．20 5.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( A． 8 ? B． 8 ?2? 32)2主视图 左视图?3C． 8 ? 2 ? D．2? 32俯视图96.函数 f ? x ? ?x ? co s x 在[0，+∞）内()A．没有零点 B．有且仅有一个零点 C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点 7.设集合 M ?开始2?yy ? co s x ? sin x , x ? R ，2?输入x1,x2 x1-x2 ≤2)是? 1 N ? ?x x? ? i ?2 , i 为虚数单位， x ? R ? ，则 M∩N 为(否 输入x3 x3-x1 &x3-x2 否 x1=x3 p= x1+x2 2A．（0,1） C．[0,1）B．（0,1] D．[0,1]是8.右图中， x 1 , x 2 , x 3 为某次考试三个评阅人对同一道题的独 立评分，P 为该题的最终得分.当 x1 ? 6, x 2 ? 9 ，p=8.5 时，x 3 等于(x2=x3) B．10 D．7A．11 C．8输出p结束y l O xy 的n 个9.设（ x1 ， y 1 ），（ x 2 ， y 2 ），…，（ x n ， y n ）是变量 x 和 样本点，直线 l 是由这些样本点 通过最小二乘法得到的线性回 （如图），以下结论中正确的是( ) A． x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 B． x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 C．当 n 为偶数时，分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 D．直线 l 过点 ( x , y )归直线10.甲乙两人一起去游“2011 西安世园会”，他们约定，各自独立地 从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览，每个景点参观 1 小时，则最后 一小时他们同在一个景点的概率是( ) A．1 36B．1 9C．5 36D．1 62007 年填空题二、 填空题： 把答案填在答题卡相应题号后的横线上 （本大题共 4 小题， 每小题 4 分， 16 分） 共 . 13. limx?11 ? ? 2x ? 1 ? ? 2 ?? x ?1? ? x ? x ? 2.? ? ? x ?1? 1 2x ? 1? x ? 2 ( x ? 1)( x ? 2 ) 1 x? 2 1 3解析： lim ?x?1?2x ? 12? x ? x?2?lim?x?1lim?x?11014.已知实数 x、y? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 满足条件 ? 2 x ? y ? 2 ? 0 , ?3 x ? y ? 3 ? 0, ?，则 z=x+2y 的最大值为.解析：画出可行域知 Z 在直线 x-2y+4=0 与 3x-y-3=0 的交点（2，3）处取得最大值 8OB OC OA 15.如图， 平面内有三个向量 OA 、 、 ,其中与 OA 与 OB 的夹角为 120°， 与 OC的夹角为 30°,且| OA |＝| OB |＝1，| OC |＝ 2 则λ +μ 的值为 .3，若 OC ＝λOA+μOB（λ ，μ ∈R）,解析：过 C 作 OA 与 OC 的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角 BOC=90°角 AOC=30°，OC = 2 3 得平行四边形的边长为 2 和 4， ? ? ? ? 2+4=616.安排 3 名支教老师去 6 所学校任教，每校至多 2 人，则不同的分配方案共有 3 2 2种.（用数字作答）解析：分两类，（1）每校 1 人： A 6 ? 120 ；（2）1 校 1 人，1 校 2 人： C 3 A 6 ? 90 ，不同的分配方案 共有 120+90=2102008 年填空题二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）． 13． lim(1 ? a ) n ? 1 n?an→ ?? 2 ，则 a ?．2 ． A， B 两14．长方体 A B C D ? A1 B1 C 1 D1 的各顶点都在球 O 的球面上，其中 A B : A D : A A1 ? 1 : 1 : 点的球面距离记为 m ， A， D 1 两点的球面距离记为 n ，则 15．关于平面向量 a， b， c ．有下列三个命题：6 ①若 a ?b = a ?c ，则 b ? c ．②若 a ? (1， k )， b ? ( ? 2，) ， a ∥ b ，则 k ? ? 3 ．m n的值为．③非零向量 a 和 b 满足 | a |? | b |? | a ? b | ，则 a 与 a ? b 的夹角为 6 0 ． 其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）?16．某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段，传递活动分别由 6 名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从 甲、 丙三人中产生， 乙、 最后一棒火炬手只能从甲、 乙两人中产生， 则不同的传递方案共有 种． （用 数字作答）．2009 年填空题二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分). 13．设等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 a 6 ? S 3 ? 1 2 ,则 lim 答案：1Sn n2n? ??.11? a6 ? 12 ? a1 ? 5 d ? 1 2 ? a1 ? 2 S S n ?1 n ?1 解析： ? ? ? ? ? S n ? n ( n ? 1) ? n ? ? lim n ? lim ?1 ? 2 2 n? ? n n? ? n n n ?d ? 2 ? a1 ? d ? 1 2 ? s3 ? 1 214．某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数 学、物理、化学小组的人数分别为 26，15，13，同时参加数学和物理小组的有 6 人，同时参加物理和化 学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有 答案：8 15．如图球 O 的半径为 2，圆 O 1 是一小圆， O 1 O ? 是圆 O 1 上两点，若 A，B 两点间的球面距离为 答案：?22? 3人。2 ，A、BO1 A B O .，则 ? A O 1 B =16．设曲线 y ? xn ?1( n ? N ) 在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ,令 a n ? lg x n ，则*a 1 ? a 2 ? ? ? a 9 9 的值为.答案：-2解 析 ： 点 （ 1， 1） 在 函 数 y ? x y ? xn ?1 n n ?1( n ? N )的 图 像 上 ，（ 1 ， 1 ） 为 切 点 ， ?*的 导 函 数 为 y ' ? ( n ? 1) x ? y ' | x ? 1 ? n ? 1 ? 切 线 是 ： y ? 1 ? ( n ? 1)( x ? 1) n n ?1 1 2 98 99 1 ? ?...? ? ? lg ? ?2 2 3 99 100 100令 y=0得 切 点 的 横 坐 标 ： xn ?a 1 ? a 2 ? ... ? a 9 9 ? lg x1 x 2 ... x 9 9 ? lg2010 年填空题二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）. 11.已知向量 a=（2，-1），b=（-1，m），c=（-1,2），若（a+b）∥c，则 m=-1 解析： a ? b ? (1, m ? 1), 由 ( a ? b ) // c 得 1 ? 2 ? ( m ? 1) ? ( ? 1) ? 0 ，所以 m=-1 12.观察下列等式： 1 ? 2 ? 3 ， 1 ? 2 ? 3 ? 6 ， 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 1 0 ，?，根据上述规律，第五3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2个等式为 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 2 1 。3 3 3 3 3 3 2解析：第 i 个等式左边为 1 到 i+1 的立方和，右边为 1+2+...+（i+1）的平方 所以第五个等式为 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 2 1 。3 3 3 3 3 3 213.从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x，y)，则点 M 取自阴影部分部 分的概率为1 3解析：长方形区域的面积为 3，阴影部分部分的面积为 ? 3 x dx ? 1 ，所以点2 0112M 取自阴影部分部分的概率为1 314.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a ，冶炼每万吨铁矿石的的 C O 2 排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如下表： a A B 50％ 70％ B(万吨) 1 0.5 C（百万元） 3 6某冶炼厂至少要生产 1.9（万吨）铁，若要求 C O 2 的排放量不超过 2（万吨）则购买铁矿石的最少费用 为 15（万元） 解析：设购买铁矿石 A 和 B 各 x，y 万吨，则购买铁矿石的费用 z ? 3 x ? 6 y x,y 满足约束条件0 .5 x ? 0 .7 y ? 1 .9 x ? 0 .5 y ? 2表示平面区域为x ? 0, y ? 0则当直线 z ? 3 x ? 6 y 过点 B（1,2）时，购买铁矿石的最少费用 z=15 15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A．（不等式选做题）不等式 x ? 3 ? x ? 2 ? 3 的解集为 ? x x ? 1? 解析：法一：分段讨论x ? ? 3时，原不等式等价于? 3 ? x ? 2时，原不等式等价于 x ? 2时，原不等式等价于? 5 ? 3， x ? ? ?2 x ? 1 ? 3， x ? 1 ? 1 ? x ? 25 ? 3， x ? 2 ?综上，原不等式解集为 ? x x ? 1? 法二：利用绝对值的几何意义放在数轴上研究 法三：借助函数 y ? x ? 3 ? x ? 2 的图像研究 B. (几何证明选做题)如图，已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC,BC 的长分别为 3cm,4cm，以 AC 为直径的圆 与 AB 交于点 D，则BD DA ?16 9 16 5 AD ? 9 5解析：? CD ? AB ,由直角三角形射影定理可得BC2? BD ? BA , 又 BC ? 4, BA ? 5, 所以 BD ?BD DA?16 9C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆 C 的参数方程为 ?? x ? cos ? ? y ? 1 ? s in ?（a 为参数）以原点为极点，x 轴正13半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? 1 ，则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标系为 __(-1,1).(1,1)_____ 解析：直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? 1 化为普通方程为 y=1， 所以直线 l 与圆 x ? ( y ? 1) ? 1 的交点坐标为(-1,1).(1,1)2 22011 年填空题二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 5 小 题，每小题 5 分，共 25 分）. 11．设若 f ( x ) ? ?? lg x , x ? 0 , ? ?x ? ?a 02?3t d t , x ? 0 ,2f? f ? 1 ? ? ? 1 ，则 a =.n=12．设 n ? N ? ,一元二次方程 x ? 4 x ? n ? 0 有整数根的充要条件是 ．． 13．观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ??.照此规律，第 n 个等式为 . 14．植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米.开始时需将 树苗集中放置在某一树坑旁边，使 每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小， ．． 这 个最小值为 （米）。 15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所 做的第一题评分） A．（不等式选做题）若关于 x 的不等式a ? x ? 1 ? x ? 2 存在实数解，则实数 a 的取值范围是B A。E D CB．（几何证明选做题）如图， ? B ? ? D , A E ? B C , ? A C D ? 9 0 ， 且 A B ? 6, A C ? 4, A D ? 1 2 ，则 B E ? .?C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系 x o y 中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系，设点 A，B 分别在曲线 C 1 : ? 为 。? x ? 3 ? cos ? ? y ? 4 ? s in ?（ ? 为参数）和曲线 C 2 : ? ? 1 上，则 A B 的最小值2007 三角函数17.（本小题满分 12 分）设函数 f(x)=a-b,其中向量 a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数 y=f(x)的图象经 过点 ??? ? ,2 ? ? 4 ?，（Ⅰ）求实数 m 的值；（Ⅱ）求函数 f(x)的最小值及此时 x 的值的集合.ZXXK14解：（Ⅰ） f ( x ) ? a ?b ? m (1 ? sin 2 x ) ? co s 2 x ，π? π ?π? ? ? ? m ? 1 ? s in ? ? c o s ? 2 ，得 m ? 1 ． 2? 2 ? 4? ? π? ? 2 sin ? 2 x ? ? ， 4? ?由已知 f ?（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f ( x ) ? 1 ? sin 2 x ? c o s 2 x ? 1 ?π? ? ? 当 s in ? 2 x ? ? ? ? 1 时， f ( x ) 的最小值为 1 ? 4? ?2 ，由 s in ? 2 x ???? 3π ? π? ，k ? Z?． ? ? ? 1 ，得 x 值的集合为 ? x x ? k π ? 8 4? ? ?2008 三角函数17．（本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x ) ? 2 sinx 4 cos x 4 ? 2 3 sin2x 4?3 ．（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值；? ? π? ? ，判断函数 g ( x ) 的奇偶性，并说明理由． 3?x 2? f ( x ) 的最小正周期 T ?（Ⅱ）令 g ( x ) ? f ? x ?17．解：（Ⅰ）? f ( x ) ? s in2π 1 2?3 (1 ? 2 s in2x 4) ? s inx 2?3 cosπ? ? x ? 2 s in ? ? ? ． 2 3? ?2x? 4π ．当 sin ?? x ?2?π? ? x π? ? ? ? 1 时， f ( x ) 取得最小值 ? 2 ；当 s in ? ? ? ? 1 时， f ( x ) 取得最大值 2． 3? 3? ?2 ? x ?2 π? π? ? ? ．又 g ( x ) ? f ? x ? ? ． 3? 3? ?（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f ( x ) ? 2 s in ???1 ? π? π? x ? x π? ? g ( x ) ? 2 s in ? ? x ? ? ? ? ? 2 s in ? ? ? ? 2 c o s ． 3? 3? 2 2? ?2 ?2 ?x ? x? ? g (? x ) ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? g ( x) ． 2 ? 2?? 函数 g ( x ) 是偶函数．2009 三角函数1517．（本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x ) ? A sin (? x ? ? ), x ? R （其中 A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ? 两个交点之间的距离为?2?2）的图象与 x 轴的交点中，相邻，且图象上一个最低点为 M (?12 ,2? 3, ?2) .(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式；（Ⅱ）当 x ? [ 17、解（1）由最低点为 M (2? 3?2] ，求 f ( x ) 的值域., ? 2 ) 得 A=2.由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 由点 M ( 故4? 3 2? 3 ? ? ? 2k? ? , ? 2 ) 在图像上的 2 sin ( 2 ??2得T 2=?2，即 T ? ? ， ? ?4? 32? T?2??? 22? 3? ? ) ? ?2,即 sin( 1 1? 6? ? ) ? ?1?2,k ? Z? ? ? 2k? ?又 ? ? (0 ,?2),? ? ??6, 故 f ( x ) ? 2 s in ( 2 x ??6) 7? 6 ]（2）? x ? [ 当2x ??6?12,?2], 　 　 　 　 2 x ? ??6?[?3,=?2，即 x ??6时， f ( x ) 取得最大值 2；当 2 x ??6?7? 6即x ??2时， f ( x ) 取得最小值-1，故 f ( x ) 的值域为[-1,2]2010 年三角函数17. （本小题满分 12 分 如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5 ? 3 ?3 海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东 45°，B?点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号， 位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 2 0 3 海里的 C 点的 救援船立即即前往营救，其航行速度为 30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？ 解：由题意知 A B = 5 ( 3 + 3 ) 海里，? D B A ? 9 0 ? ? 6 0 ? ? 3 0 ?, ? D A B ? 4 5 ?,? ? AD B ? 105?在 ? D A B 中，由正弦定理得A B ? sin ? D A B sin ? A D BDB s in ? D A B?AB s in ? A D B? DB ??5 (3 ?3 ) ? sin 4 5 ? sin 1 0 5 ??5 (3 ?3 ) ? sin 4 5 ?sin 4 5 ? ? c o s 6 0 ? ? sin 6 0 ? ? c o s 4 5 ?=5 3 (1 ? (1 ? 2 3)3)? 1 0 3 （海里），16又 ? D B C ? ? D B A ? ? A B C ? 3 0 ? ? (9 0 ? ? 6 0 ? ) ? 6 0 ? , B C ? 2 0 3 海里， 在 ? D B C 中，由余弦定理得CD2? B D ? B C ? 2 B D ? B C ? co s ? D B C2 2= 300 ? 1200 ? 2 ?10 3 ? 20 3 ?? C D ? 30（海里），则需要的时间 t ?1 2 30 30? 900 ? 1 （小时）。答：救援船到达 D 点需要 1 小时。 注：如果认定 ? D B C 为直角三角形，根据勾股定理正确求得 CD，同样给分。2011 年三角函数18．（本小题满分 12 分） 叙述并证明余弦定理.2007 概率18.（本小题满分 12 分）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考 试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为4 5、3 5、2 5，且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手被淘汰的概率； （Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ ，求随机变量ξ 的分布列与数数期望.（注：本小题结果可 用分数表示）ZXX2 3) 则 解法一： （Ⅰ） “该选手能正确回答第 i 轮的问题” 记 的事件为 Ai ( i ? 1，， ， P ( A1 ) ?P ( A3 ) ? 2 5 4 5，P ( A 2 ) ?3 5，，? 该选手被淘汰的概率P ? P ( A1 ? A1 A 2 ? A 2 A 2 A3 ) ? P ( A1 ) ? P ( A1 ) P ( A 2 ) ? P ( A1 ) P ( A 2 ) P ( A3 )? 1 5 ? 4 5 ? 2 5 ? 4 5 ? 3 5 ? 3 5 ? 101 125 1 5． ， ， ．2 3 （Ⅱ） ? 的可能值为 1，， ， P ( ? ? 1) ? P ( A1 ) ?P ( ? ? 2 ) ? P ( A1 A 2 ) ? P ( A1 ) P ( A 2 ) ? P ( ? ? 3) ? P ( A1 A 2 ) ? P ( A1 ) P ( A 2 ) ?4 5 4 5? ?2 5 3 5? ?8 25 12 25? ? 的分布列为?1128 25312 25P517? E? ? 1?1 5? 2?8 25? 3?12 25?57 25．4 52 3) 则 解法二： （Ⅰ） “该选手能正确回答第 i 轮的问题” 记 的事件为 Ai ( i ? 1，， ， P ( A1 ) ?P ( A3 ) ? 2 5，P ( A 2 ) ?3 5，．? 该选手被淘汰的概率 P ? 1 ? P ( A1 A 2 A3 ) ? 1 ? P ( A1 ) P ( A 2 ) P ( A 3 )?1? 4 5 ? 3 5 ? 2 5 ? 101 125．（Ⅱ）同解法一．2008 概率18．（本小题满分 12 分）2 3) 某射击测试规则为：每人最多射击 3 次，击中目标即终止射击，第 i 次击中目标得 1 ~ i ( i ? 1，， 分，3次均未击中目标得 0 分．已知某射手每次击中目标的概率为 0.8，其各次射击结果互不影响． （Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率； （Ⅱ）该射手的得分记为 ? ，求随机变量 ? 的分布列及数学期望．2 3) 18．（Ⅰ）设该射手第 i 次击中目标的事件为 Ai ( i ? 1，， ，则 P ( Ai ) ? 0 .8， P ( Ai ) ? 0 .2 ，P ( Ai Ai ) ? P ( Ai ) P ( Ai ) ? 0 .2 ? 0 .8 ? 0 .1 6 ．（Ⅱ） ? 可能取的值为 0，1，2，3．?P? 的分布列为0 0.0081 0.0322 0.163 0.8E ? ? 0 ? 0 .0 0 8 ? 1 ? 0 .0 3 2 ? 2 ? 0 .1 6 ? 3 ? 0 .8 ? 2 .7 5 2 .2009 概率19．(本小题满分 12 分) 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 ? 表示，椐统计，随机变量 ? 的概率分布如下：?0 0.11 0.32 2a3 ap(Ⅰ)求 a 的值和 ? 的数学期望； （Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉 218次的概率。 19 题，解（1）由概率分布的性质有 0.1+0.3+2a+a=1，解答 a=0.2? ? 的概率分布为?0 0.11 0.32 0.43 0.2P? E ? ? 0 * 0 .1 ? 1 * 0 .3 ? 2 * 0 .4 ? 3 * 0 .2 ? 1 .7（2）设事件 A 表示“两个月内共被投诉 2 次”事件 A1 表示“两个月内有一个月被投诉 2 次，另外一个 月被投诉 0 次”；事件 A 2 表示“两个月内每月均被投诉 12 次” 则由事件的独立性得P ( A1 ) ? C 2 P ( ? ? 0 ) ? 2 * 0 .4 * 0 .1 ? 0 .0 81P ( A 2 ) ? [ P ( ? ? 1)] ? 0 .3 ? 0 .0 92 2? P ( A ) ? P ( A1 ) ? P ( A 2 ) ? 0 .0 8 ? 0 .0 9 ? 0 .1 7故该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率为 0.172010 年概率19. （本小题满分 12 分） 为了解学生升高情况，某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的 统计图如下：（Ⅰ）估计该校男生的人数； （Ⅱ）估计该校学生身高在 170~185cm 之间的概率； （Ⅲ）从样本中身高在 165~180cm 之间的女生中任选 2 人，求至少有 1 人身高在 170~18cm 之间的概率。 解： （Ⅰ）样本中男生人数为 40，由分层抽样比例为 10%估计全校男生人数为 400 人。 （Ⅱ）由统计图知，样本中身高在 170~185cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35 人，样本容量为 70，所以 样本中学生身高在 170~180cm 之间的概率 p=0.5 （Ⅲ）样本中女生身高在 165~180cm 之间的人数为 10，身高在 170~180cm 之间的人数为 4， 设 A 表示事件 “从样本中身高在 165~180cm 之间的女生中任取 2 人， 至少有 1 人身高在 170~180cm 之间” ，19则 P ( A) ? 1 ?C62C 102?2 3（或 P ( A ) ?C6 ? C4 ? C41 12C102?2 3）2011 年概率20．（本小题满分 13 分） 如图，A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2，据统计，通过两条路径所用的时 间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表： 时间（分钟） 10~20 L1 的频率 L2 的频率 0.1 0 20~30 0.2 0.1 30~40 0.3 0.4 40~50 0.2 0.4 50~60 0.2 0.1现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站。 （Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各 自的路径？ （Ⅱ） X 表示甲、 用 乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数， （Ⅰ） 针对 的选择方案，求 X 的分布列和数学期望。L1 A 火车站 L22007 年立体几何19.(本小题满分 12 分)Z 如图,在底面为直角梯形的四棱锥P ? ABCD 中 , AD // BC , ? ABC ? 90 ? , PA ? 平面 PA ? 4 , AD ? 2 , AB ? 2 3 ,BC=(Ⅰ)求证:BD BD ? 平面 PAC ;
(Ⅱ)求二面角 P ? BD ? D 的大小.ZXX 解 法 一 ： （ Ⅰ ） ? P A ⊥ 平 面 A B C D， B D ? 平 面 A B C D ? BD ⊥ PA ． ．20又 ta n A B D ?AD AB??3 3， ta n B A C ?BC AB?3．? ∠ A B D ? 3 0 ， ∠ B A C ? 6 0 ，? ∠ A E B ? 9 0 ，即 B D ⊥ A C ．??又 P A ? A C ? A ．? B D ⊥ 平面 P A C ． （Ⅱ）过 E 作 E F ⊥ P C ，垂足为 F ，连接 D F ． ? D E ⊥ 平面 P A C ， E F 是 D F 在平面 P A C 上的射影，由三垂线定理知 P C ⊥ D F ， ? ∠ E F D 为二面角 A ? P C ? D 的平面角． P ? ? 又∠ D A C ? 9 0 ? ∠ B A C ? 3 0 ， F? D E ? A D sin D A C ? 1 ，AA E ? A B sin A B E ? 3，D E C又 A C ? 4 3 ，? E C ? 3 3 ， P C ? 8 ．P A ?E C PC DE EF 2 3 9 2 3 9B由 R t△ E F C ∽ R t△ P A C 得 E F ??3 3 2．在 R t △ E F D 中， ta n E F D ??，? ∠ E F D ? a rc ta n2 3 9．? 二面角 A ? P C ? D 的大小为 a rc ta n．解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，6 0 0 0 2 0 0 4 0 0 则 A (0，，) ， B ( 2 3，，) ， C ( 2 3，，) ， D (0，，) ， P (0，， ) ， ??? ? ???? ???? ? A P ? (0，， ) ， A C ? ( 2 3，，) ， B D ? ( ? 2 3，，) ， 0 4 6 0 2 0z P???? ??? ? ???? ???? ? B D ?A P ? 0 ， B D ?A C ? 0 ．? B D ⊥ A P ， B D ⊥ A C ，又 P A ? A C ? A ，? B D ⊥ 平面 P A C ．1) （Ⅱ）设平面 P C D 的法向量为 n ? ( x， y， ，A E B xDy C则 C D ?n ? 0 ， P D ?n ? 0 ，? 0 2 ? 又 C D ? ( ? 2 3， 4，) ， P D ? (0，， 4 ) ， ????????????????? 4 3 ? ? 2 3 x ? 4 y ? 0， ， ?x ? ? ? ?? 解得 ? 3 ? 2 y ? 4 ? 0， ? ? y ? 2， ?? 4 3 ? ?n ? ?? ，，? 21 ? ? 3 ? ?212 0 平面 P A C 的法向量取为 m ? B D ? ? ? 2 3，， ? ，????co s & m ， n ? ?m ?n m n?3 93 31．? 二面角 A ? P C ? D 的大小为 a rc c o s3 93 31．2008 年立体几何19．解法一：（Ⅰ）? A1 A ? 平面 A B C ， B C ? 平面 A B C ，? A1 A ? B C ．在 R t △ A B C 中， A B ?2， A C ? 2， B C ? ?6，? B D : D C ? 1 : 2 ，? B D ?6 3，又BD AB?3 3??AB BC，?△ D B A ∽ △ A B C ，? ? A D B ? ? B A C ? 9 0 ，即 A D ? B C ．又 A1 A ? A D ? A ，? B C ? 平面 A1 A D ，? B C ? 平面 B C C 1 B 1 ，? 平面 A1 A D ? 平面 B C C 1 B 1 ．（Ⅱ）如图，作 A E ? C 1C 交 C 1 C 于 E 点，连接 B E ， 由已知得 A B ? 平面 A C C 1 A1 ．? A E 是 B E 在面 A C C 1 A1 内的射影．A1 B1C1 EA FC由三垂线定理知 B E ? C C 1 ，? ? A E B 为二面角 A ? C C 1 ? B 的平面角．D B （第 19 题， 解法一）过 C 1 作 C 1 F ? A C 交 A C 于 F 点， 则 C F ? A C ? A F ? 1 ， C 1 F ? A1 A ?? ? C 1C F ? 6 0 ．?3 ，z A1 C1 B1? 3．在 R t △ A E C 中， A E ? A C s in 6 0 ? 2 ??3 2A 在 R t △ B A E 中， ta n A E B ?AB AE ? 2 3 ? 6 3． xBC Dy（第 19 题，解法二）22? ? A E B ? a rc ta n6 3，即二面角 A ? C C 1 ? B 为 a rc ta n6 3．解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，0 0 0 0 2 0 0 1， 则 A (0，，)， B ( 2，，)， C (0，，)， A1 (0，， 3 )， C 1 (0， 3 ) ，???? 1 ???? ? B D : D C ? 1 : 2 ，? B D ? B C ． 3?2 2 2 ? ， ，? ． 0 ? D 点坐标为 ? ? 3 3 ? ? ????? ???? ? 2 2 2 ? ， ， ? ， BC ? (? 0 ? AD ? ? ? 3 3 ? ? ????? 2，，)， A1 ? (0，， 3 ) ． 2 0 A 0???? ???? ??? ???? ? ? B C ?A A1 ? 0 ， B C ?A D ? 0 ，? B C ? A A1 ， B C ? A D ，又 A1 A ? A D ? A ，? B C ? 平面 A1 A D ，又 B C ? 平面 B C C 1 B 1 ，? 平面 A1 A D ? 平面 B C C 1 B 1 ．0 0 （Ⅱ）? B A ? 平面 A C C 1 A1 ，取 m ? A B ? ( 2，，) 为平面 A C C 1 A1 的法向量， ??? ?C 设平面 B C C 1 B1 的法向量为 n ? ( l， m， n ) ，则 B C ?n ? 0， C 1 ?n ? 0 ．? ? 2 l ? 2 m ? 0， ? ?? ?l ? ? ? m ? 3 n ? 0， ?3 3? ? 3 ? ?， 3 ? ????????? ?2 m， n ?m，如图，可取 m ? 1 ，则 n ? ? ?2? co s ? m ， n ? ?2， 1，2 ? 0 ?1 ? 0 ?3 3 ?215 5，? 3 ? 2 2 2 2 2 ( 2) ? 0 ? 0 ? ( 2) ?1 ? ? ? ? 3 ?即二面角 A ? C C 1 ? B 为 a rc c o s15 5．2009 年立体几何18.（本小题满分 12 分） 解答一（1）证： ? 三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 为直三棱柱，23? A B ? A A1在 ? A B C 中， A B ? 1, A C ?? ? BAC ? 90 即 AB ? AC03 , ? A B C ? 6 0 ,由正弦定理 ? A C B ? 3 000A B ? 平 面 A C C 1 A1 ,又 A1 C ? 平 面 A C C 1 A1 即 A B ? A1 C（2）解如图，作 A D ? A1C 交 A1 C 于点 D 点，连结 BD， 由三垂线定理知 B D ? A1C? ? A D B 为二面角 A ? A C 1 ? B 的平面角A A1 ? A C A1 C 3? 6 3 6 2在 R t ? A A1 C 中 ， A D ???R t ? B A D中 , t a n A D B = ? ? ADB=arctan 6 3AB AD?6 3 6 3, 即 二 面 角 A ? A C 1 ? B的 大 小 为 a r c t a n解答二（1）证? 三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 为直三棱柱，? A B ? A A1， A C ? A A1R t ? A B C ， A B ? 1, A C ?3 , ? ABC ? 60 ，0由正弦定理 ? A C B ? 3 000? ? BAC ? 90 即 AB ? AC如图，建立空间直角坐标系， 则A (0, 0, 0 ), B (1, 0, 0 ) C (0, 3 , 0 ), A1 (0, 0, 3)??? ? ???? ? A B ? (1, 0 , 0 ), A1 C ? ( 0 , 3 , 3 ) ??? ???? ? ? A B ? A1 C ? 1 * 0 ? 0 * 3 ? 0 * ( ? 3 ) ? 0 ? A B ? A1 C(2) 解，如图可取 m ? A B ? (1, 0, 0 ) 为平面 A A1C 的法向量 设平面 A1 B C 的法向量为 n ? ( l , m , n ) ，（ 0 则 B C ? n ? 0 , A1 C ? n ? 0 , 又 B C ? ? 1， 3，） ???? ???? ??????? ?24? ?l ? 3m ? 0 ? ?? ?l ? ? 3m ? 3n ? 0 ?3m , n ? m不妨取 m ? 1, 则 n ? ( 3 ,1,1)cos ? m , n ? ? m ?n m ? n ?23 ?1 ? 1? 0 ? 1? 0 ( 3) ?1 ?1 ? 1 ? 0 ? 02 2 2 2 2?15 515 5? 二 面 角 A ? A1 C ? B D 的 大 小 为 a r c c o s00002010 年立体几何222 2010 年立体几何 218. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA ⊥平面 ABCD，AP=AB=2,BC= 2 2 ,E,F 分别是 AD,PC 的中点。 （Ⅰ）证明：PC⊥平面 BEF； （Ⅱ）求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小。 解法一： （Ⅰ）如图，以 A 为坐标原点，AB,AD,AP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空 间直角坐标系。 ∵ A P ? A B ? 2, B C ? A D ? 2 2 ，四边形 ABCD 是矩形 ∴ A,B,C,D,P 的 坐 标 为A (0, 0, 0 ), B ( 2, 0, 0 ), C ( 2, 2 2 , 0 ), D (0, 2 2 , 0 ), P (0, 0, 2 )又 E,F 分别是 AD,PC 的中点， ∴ E (0, 2 , 0 ), F (1, 2 ,1) ∴ P C ? ( 2, 2 2 , ? 2 ), B F ? ( ? 1, 2 ,1), E F ? (1, 0,1) , ∴ P C ?B F ? ? 2 ? 4 ? 2 ? 0, P C ?E F ? 2 ? 0 ? 2 ? 0, ∴ PC ? BF , PC ? EF , ∴ PC ? BF , PC ? EF , BF ? EF ? F , ∴ P C ? 平面 B E F （Ⅱ） 由（Ⅰ）知平面 BEF 的法向量 n1 ? P C ? ( 2, 2 2 , ? 2 ) , 平面 BAP 的法向量 n 2 ? A D ? (0, 2 2 , 0 ) ，???? ??????? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ?25∴ n1 ?n 2 =8 设平面 BEF 与平面 BAP 的家教为θ ， 则 c o s ? ? | c o s ( n1 , n 2 ) | ?| n1 ?n 2 | | n1 || n 2 | ? 8 4?2 2 ? 2 2?，∴ ? ? 4 5 ，∴ 平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 4 5?解法二： （Ⅰ）连接 PE,EC，在 R t ? P A E 和 R t ? C D E 中， PA=AB=CD,AE=DE, ∴ PE=CE,即 ? P E C 是等腰三角形， 又 F 是 PC 的中点，∴EF⊥PC， 又 BF ?AP ? AB2 2? 2 2 ? B C , F 是 PC 的中点，∴ BF ? PC 又 B F ? E F ? F ,? P C ? 平 面 B E F （Ⅱ）∵ PA⊥平面 ABCD, ∴ PA⊥BC, 又 ABCD 是矩形，∴ AB⊥BC, ∴ BC⊥平面 BAP，BC⊥PB, 又由（Ⅰ）知 PC⊥平面 BEF, ∴ 直线 PC 与 BC 的夹角即为平面 BEF 与平面 BAP 的夹角， 在 ? P B C 中，PB=BC, ? P B C ? 9 0 , ? P C B ? 4 5 所以平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 4 5? ? ?年立体几何216．（本小题满分 12 分） 如图， ? A B C 中， 在 ∠ABC=60°,∠BAC=90°， 是 B C 上的高， A D 把△ABD 折起， AD 沿 使∠BDC＝90°. （Ⅰ）证明：平面 ADB⊥平面 BDC； （Ⅱ）设Ｅ为ＢＣ的中点，求 A E 与 D B 夹角的余弦值.??? ? ????AABD D C B EC2012221 年三 222 角函数 20072007 年函数2620.(本小题满分 12 分)Z 设函数 f(x)=c22x ? ax ? a, 其中 a 为实数.(Ⅰ)若 f(x)的定义域为 R,求 a 的取值范围; (Ⅱ)当 f(x)的定义域为 R 时，求 f(x)的单减区间.ZX 解：（Ⅰ） f ( x ) 的定义域为 R ，? x ? a x ? a ? 0 恒成立，? ? ? a ? 4 a ? 0 ，2 2? 0 ? a ? 4 ，即当 0 ? a ? 4 时 f ( x ) 的定义域为 R ．（Ⅱ） f ? ( x ) ?x ( x ? a ? 2 )e ( x ? ax ? a)2x 2，令 f ? ( x ) ≤ 0 ，得 x ( x ? a ? 2 ) ≤ 0 ．由 f ? ( x ) ? 0 ，得 x ? 0 或 x ? 2 ? a ，又? 0 ? a ? 4 ，? 0 ? a ? 2 时，由 f ? ( x ) ? 0 得 0 ? x ? 2 ? a ；当 a ? 2 时， f ? ( x ) ≥ 0 ；当 2 ? a ? 4 时，由 f ? ( x ) ? 0 得 2 ? a ? x ? 0 ，2 即当 0 ? a ? 2 时， f ( x ) 的单调减区间为 (0， ? a ) ；0 当 2 ? a ? 4 时， f ( x ) 的单调减区间为 ( 2 ? a，) ．2008 年函数21．解：（Ⅰ） f ? ( x ) ?k ( x ? c ) ? 2 x ( k x ? 1)2(x ? c)22?? kx ? 2 x ? ck2(x ? c)22，由题意知 f ? ( ? c ) ? 0 ，即得 c k ? 2 c ? ck ? 0 ，（*）? c ? 0 ，? k ? 0 ．2 2 由 f ? ( x ) ? 0 得 ? kx ? 2 x ? ck ? 0 ，由韦达定理知另一个极值点为 x ? 1 （或 x ? c ? （Ⅱ）由（*）式得 k ?2 c ?12 k）．，即 c ? 1 ?2 k．当 c ? 1 时， k ? 0 ；当 0 ? c ? 1 时， k ? ? 2 ．? ? 1) （i）当 k ? 0 时， f ( x ) 在 ( ? ? ， c ) 和 (1， ? ) 内是减函数，在 ( ? c， 内是增函数．? M ? f (1) ?k ?1 c ?1?k 2? 0，m ? f (? c) ?? kc ? 1 c ?c2??k22(k ? 2)? 0，由M ? m ?k 2?k22(k ? 2)≥ 1 及 k ? 0 ，解得 k ≥2 ．27（ii）当 k ? ? 2 时， f ( x ) 在 ( ? ? ， c ) 和 (1， ? ) 内是增函数，在 ( ? c， 内是减函数． ? ? 1)?k2? M ? f (? c) ?2(k ? 2)k 2? 0 ， m ? f (1) ?k 2? 0M ?m ??k22(k ? 2)?? 1?( k ? 1) ? 12k ?2≥ 1 恒成立．? ? 综上可知，所求 k 的取值范围为 ( ? ? ， 2 ) ? [ 2， ? ) ．2009 年函数20．（本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x ) ? ln ( a x ? 1) ?1? x 1? x , x ? 0 ，其中 a ? 0??? 若 ? ?? ? 求f ( x ) 在 x=1 处取得极值，求 a 的值； f ( x ) 的单调区间；（Ⅲ）若 f ( x ) 的最小值为 1，求 a 的取值范围。a ax ? 1 2 (1 ? x )220. 解（Ⅰ） f '( x ) ???ax ? a ? 22( a x ? 1)(1 ? x )22,1 ∵ f ( x ) 在 x=1 处取得极值，∴ f '(1) ? 0, 即 a ? ? a ? 2 ? 0, 解得 a ? 1 .（Ⅱ） f '( x ) ?ax ? a ? 22( a x ? 1)(1 ? x )2,∵ x ? 0, a ? 0,∴ ax ? 1 ? 0.①当 a ? 2 时，在区间 (0, ? ? ) 上 ， f '( x ) ? 0, ∴ f ( x ) 的单调增区间为 (0 , ? ? ). ②当 0 ? a ? 2 时， 由 f '( x ) ? 0 解 得 x ?2?a a 2-a a ,由 f '( x ) ? 0 解 得 x ? 2?a a 2-a a,∴ f ( x )的 单 调 减 区 间 为 （ 0 ，), 单 调 增 区 间 为 （， ?） . ?（Ⅲ）当 a ? 2 时，由（Ⅱ）①知， f ( x )的 最 小 值 为 f (0 ) ? 1;2?a a28当 0 ? a ? 2 时，由（Ⅱ）②知， f ( x ) 在 x ?处取得最小值 f (2?a a) ? f (0 ) ? 1,综上可知，若 f ( x ) 得最小值为 1，则 a 的取值范围是 [ 2 , ? ? ).2010 年函数21. （本小题满分 14 分） 已知函数 f ( x ) ?x , g ( x ) ? a ln x , a ? R（Ⅰ）若曲线 y ? f ( x ) 与曲线 y ? g ( x ) 相交，且在交点处有共同的切线，求 a 的值和该切线方程； （Ⅱ）设函数 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ，当 h ( x ) 存在最小值时，求其最小值 ? ( a ) 的解析式； （Ⅲ）对（Ⅱ）中的 ? ( a ) 和任意的 a ? 0, b ? 0 ，证明：? ?(a?b 2 )?? ?( a ) ? ? ?( b )2? ? ?(2ab a?b)解： （Ⅰ） f ? ( x ) ?2 1 x , g ?( x ) ? a x ( x ? 0) ，? x ? a ln x , ? 由已知得 ? 1 a ? , ? x ?2 x解得 a ?e 2,x ? e ，22 2 ∴ 两条直线交点的坐标为 ( e , e ) ，切线的斜率为 k ? f ? ( e ) ?1 2e，∴ 切线的方程为 y ? e ? （Ⅱ）由条件知 h ( x ) ? ∴ h ?( x ) ?2 1 x a x1 2e(x ? e )2x ? a ln x ( x ? 0 ),??x ? 2a 2x2（）当 a&0 时，令 h ? ( x ) ? 0 ，解得 x ? 4 a ， ∴ 当 0 ? x ? 4 a 时， h ? ( x ) ? 0, h ( x ) 在 (0 , 4 a ) 上递减；22当 x ? 4 a 时， h ? ( x ) ? 0, h ( x ) 在 ( 4 a , ? ? ) 上递增22∴ x ? 4 a 是 h ( x ) 在 (0, ? ? ) 上的唯一极值点，从而也是 h ( x ) 的最小值点2∴最小值 ? ( a ) ? h ( 4 a ) ? 2 a ? a ln 4 a ? 2 a (1 ? ln 2 a )2 2（）当 a ? 0 时， h ? ( x ) ?a ? 2a 2x? 0 , h ( x ) 在 (0, ? ? ) 上递增，无最小值，29故 h ( x ) 的最小值 ? ( a ) 的解析式为 ? ( a ) ? 2 a (1 ? ln 2 a )( a ? 0 ) （Ⅲ）由（Ⅱ）知 ? ? ( a ) ? ? 2 ln 2 a 对任意的 a ? 0, b ? 0? ?( a ) ? ? ?( b )2 a?b 2 ? ? 2 ln 2 a ? 2 ln 2 b 2 ) ? ? 2 ln ( 2 ? a?b 2 ) ? ? ln ( a ? b ) ? ? ln 4 a b2? ? ln 4 a b① ②? ?(? ?(2ab a?b) ? ? 2 ln ( 2 ?2ab a?b)?) ? ? ? 2 ln4ab 2 ab? ? ln 4 a b③故由①②③得 ? ? (a?b 2? ?( a ) ? ? ?( b )2? ? ?(2ab a?b)2011 年函数21．（本小题满分 14 分） 设函数 f ( x ) 定义在 (0, ? ? ) 上， f (1) ? 0 ，导函数 f ? ( x ) ? （Ⅰ）求 g ( x ) 的单调区间和最小值；? 1 ? ? 的大小关系； ? x ?1 x 1 x , g ( x ) ? f ( x ) ? f ? ( x ).（Ⅱ）讨论 g ( x ) 与 g ?（Ⅲ）是否存在 x 0 ? 0 ，使得 g ( x ) ? g ( x 0 ) ? 存在，请说明理由．对任意 x ? 0 成立？若存在，求出 x 0 的取值范围；若不2007 年椭圆21. (本小题满分 14 分)Z 已知椭圆 C:x a2 2?y b2 2? 1 （a＞b＞0）的离心率为6 3, 短轴一个端点到右焦点的距离为 3 .3 2(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;ZX(Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为 △AOB 面积的最大值.ZXX?c ? ? 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 c ，依题意 ? a ? ?a ?? b ? 1 ，? 所求椭圆方程为，求6 3，3，x2? y ? 1．2330（Ⅱ）设 A ( x1， y 1 ) ， B ( x 2， y 2 ) ． （1）当 A B ⊥ x 轴时， A B ?3．（2）当 A B 与 x 轴不垂直时，设直线 A B 的方程为 y ? kx ? m ．m 1? k2由已知?3 2，得 m ?23 4( k ? 1) ．2把 y ? kx ? m 代入椭圆方程，整理得 (3 k ? 1) x ? 6 km x ? 3 m ? 3 ? 0 ，2 2 2? x1 ? x 2 ??6 km 3k ? 12， x1 x 2 ?3( m ? 1)23k ? 12．? AB21 2 ( m ? 1) ? 2 ? 36k m 2 2 ? ? (1 ? k )( x 2 ? x1 ) ? (1 ? k ) ? ? 2 2 2 3k ? 1 ? ? (3 k ? 1)2 2 2?1 2 ( k ? 1)(3 k ? 1 ? m )2 2 2(3 k ? 1)22?3( k ? 1)(9 k ? 1)2 2(3 k ? 1)22? 3?12k42 29k ? 6k ? 1? 3?212 9k ? 1 k2(k ? 0) ≤ 3 ? ?612 2?3? 6? 4．当且仅当 9 k ?21 k2，即 k ? ?3 3时等号成立．当 k ? 0 时， A B ?3，综上所述 A Bm ax? 2．? 当 A B 最大时， △ A O B 面积取最大值 S ?1 2? ABm ax?3 2?3 2．2008 年抛物线20．（本小题满分 12 分） 已知抛物线 C ： y ? 2 x ，直线 y ? k x ? 2 交 C 于 A， B 两点， M 是线段 A B 的中点，过 M 作 x 轴的2垂线交 C 于点 N ． （Ⅰ）证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 A B 平行； （Ⅱ）是否存在实数 k 使 N A ?N B ? 0 ，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由．2 2 2 20．解法一：（Ⅰ）如图，设 A ( x1， x1 ) ， B ( x 2， x 2 ) ，把 y ? kx ? 2 代入 y ? 2 x 得 2 x ? kx ? 2 ? 0 ，2 22??? ??? ? ?由韦达定理得 x1 ? x 2 ?k 2， x1 x 2 ? ? 1 ，y M 2 B 1 O N 1 x31A? xN ? xM ?x1 ? x 2 2?k 4，? N 点的坐标为 ?2?kk ? ， ?． ? 4 8 ?2设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 y ?kk ? ? ? m?x? ?， 8 4? ?22 将 y ? 2 x 代入上式得 2 x ? m x ?2mk 4?k? 0，8? 直线 l 与抛物线 C 相切，? mk k ? 2 2 2 2 ? ? ? m ? 8? ? ? ? m ? 2 m k ? k ? ( m ? k ) ? 0 ，? m ? k ． 8 ? ? 42即l ∥ AB ． （Ⅱ）假设存在实数 k ，使 N A ?N B ? 0 ，则 N A ? N B ，又? M 是 A B 的中点，?| M N | ? 1 2 | AB | ． 1 2 ( y1 ? y 2 ) ?2??? ??? ? ?由（Ⅰ）知 y M ??1 2( k x1 ? 2 ? k x 2 ? 2 ) ?21 2[ k ( x1 ? x 2 ) ? 4 ]? k 1?k ? 4? ? ?2． ? 2? 2 4 ?k2? M N ? x 轴，?| M N | ? | y M ? y N | ??2?k2?k ? 162．4828又 | A B |?1 ? k ?| x1 ? x 2 | ?221 ? k ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 22?1 ?k ? 1 ? k ? ? ? ? 4 ? ( ? 1) ? 2 ?2?2k ? 1? k ? 16 ．2 2?k ? 162?1 4k ? 1 ? k ? 1 6 ，解得 k ? ? 2 ．2 28即存在 k ? ? 2 ，使 N A ?N B ? 0 ．2 2 2 解法二：（Ⅰ）如图，设 A ( x1， x1 )， B ( x 2， x 2 ) ，把 y ? kx ? 2 代入 y ? 2 x 得2 2??? ??? ? ?2 x ? kx ? 2 ? 0 ．由韦达定理得 x1 ? x 2 ?2k 2， x1 x 2 ? ? 1 ．? xN ? xM ?x1 ? x 2 2?k 4，? N 点的坐标为 ?k 4?kk ? 2 ， ? ．? y ? 2 x ，? y ? ? 4 x ， ? 4 8 ?2? 抛物线在点 N 处的切线 l 的斜率为 4 ?? k ，? l ∥ A B ．32（Ⅱ）假设存在实数 k ，使 N A ?N B ? 0 ． 由（Ⅰ）知 N A ? ? x1 ?? ??? ? ? k 4 ， x1 ? 22 2 2 ? ? k ? ??? k k ? 2 ， B ? ? x2 ? ，x2 ? N 2 ? ? ，则 8 ? 4 8 ? ???? ??? ? ?2 2 ??? ??? ? ? ? k ?? k ? ? k ?? k ? 2 2 N A ?N B ? ? x1 ? ? ? x 2 ? ? ? ? 2 x1 ? ? ? 2 x2 ? ? 4 ?? 4? ? 8 ?? 8 ? ?? 2 k ?? 2 k ? k ?? k ? ? ? ? x1 ? ? ? x 2 ? ? ? 4 ? x1 ? ? ? x2 ? ? 4 ?? 4? 16 ? ? 16 ? ? ?2 2k ?? k ? ? k ?? k ?? ? ? ? ? x1 ? ? ? x 2 ? ? ??1 ? 4 ? x1 ? ? ? x 2 ? ? ? 4 ?? 4? ? 4 ?? 4 ?? ? ?? k k ? ? k ? ? ? x1 x 2 ? ? x1 ? x 2 ? ? ? ??1 ? 4 x1 x 2 ? k ( x 1 ? x 2 ) ? ? 4 16 ? ? 4 ? ?2 2? k k k ? ? k k ? ? ? ?1 ? ? ? ? ??1 ? 4 ? ( ? 1) ? k ? ? ? 4 2 16 ? ? 2 4 ? ?2 2? k ?? 3 2? ? ? ?1 ? ? ? ?3 ? k ? 16 ? ? 4 ? ?2? 0，? ?1 ?k2? 0 ，? ? 3 ?3 4k2? 0 ，解得 k ? ? 2 ．16即存在 k ? ? 2 ，使 N A ?N B ? 0 ．??? ??? ? ?2009 年双曲线21．（本小题满分 14 分） 已知双曲线 C 的方程为y a5 22 2?x b2 2? 1( a ? 0 , b ? 0 ),离心率 e ?, 顶点到渐近线的距离为2 5 5.（Ⅰ）求双曲线 C 的方程； （Ⅱ）如图，P 是双曲线 C 上一点，A,B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限. 若 A P ? ? P B , ? ? [ , 2 ], 求△AOB 面积的取值范围.3 ??? ? ??? ? 1解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线 C 的顶点 ( O , a ) 到渐近线 a x ? b y ? 0的 距 离 为2 5 5，33∴ab a ?b2 2?2 5 5,即ab c?2 5 5,? ab 2 5 ? , ? c 5 ? ? 5 ?c 由? ? , a 2 ? ?c2 ? a 2 ? b2 ? ? ?? a ? 2, ? ? b ? 1, 得 ? ?c ? 5 ,∴双曲线 C 的方程为y2? x ? 1.24（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线 C 的两条渐近线方程为 y ? ? 2 x . 设 A ( m , 2 m ), B ( ? n , 2 n ), m ? 0, n ? 0 . 由 A P ? ? P B 得 P 点的坐标为 (y2??? ???? ?m ? ? n 2(m ? ? n) , ), 1? ? 1? ?将 P 点坐标代入? x ? 1, 化简得 m n ?2(1 ? ? n ) 4?1 22.1 2 4 54设∠AOB ? 2? ,? ta n ( 又 | O A |?? S ? AOB ???2? ? ) ? 2 ,? ta n ? ?, sin ? ?, sin 2 ? ?.5 m 4 | O B |?1 2 1 2 (? ?5n?1 2 (? ? 1 ) ? 1.| O A |?| O B |?sin 2 ? ? 2 m n ? 1 ) ? 1, ? ? [ , 2 ], ? 3 1 3 1?记 S (? ) ?由 S '( ? ) ? 0 得 ? ? 1, 又 S ( 1 ) = 2 , S ( ) ?8 3, S (2) ? 1 39 4,当 ? ? 1 时，△AOB 的面积取得最小值 2，当 ? ? ∴△AOB 面积的取值范围是 [ 2 , ].3 8时，△AOB 的面积取得最大值8 3.解答二（Ⅰ）同解答一 （Ⅱ）设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m , 由题意知 | k |? 2, m ? 0 .y ? kx ? m y ? 2x y ? kx ? m y ? ?2 xm 2?k ?m 2?k ( 2m 2?k 2m 2?k 1 2?k ?由{得 A 点的坐标为 (,),由{得 B 点的坐标为 (,).由 A P ? ? P B 得 P 点的坐标为 (??? ???? ?m 1? ??2?k),2m 1? ?(1 2?k??2?k)),34将 P 点坐标代入y2? x ? 1得24m2 244?k?(1 ? ? )2?.设 Q 为直线 AB 与 y 轴的交点，则 Q 点的坐标为（0，m）.S ? AOB ? S ? AOQ ? S ? BOQ ? 1 2 | O Q |?| X A | ?2 21 2| O Q |?| x 8 | ?1 2m ?( x A ? x B )=1 2m(m 2?k?m 2?k)?12 4?k?4m?1 2(? ?1?) ? 1.以下同解答一.2010 年椭圆20. （本小题满分 13 分） 如图，椭圆 C :x a2 2?y b2 2? 1 的 顶 点 为 A1 , A 2 , B 1 , B 2 焦 点 为 F1 , F 2 , ，| A1 B 1 | ?7 ， S? A B11 A2 B 2? 2S? B F B1 12 F2（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 n 是过原点的直线， l 是与 n 垂直相交于 F 点、与椭圆相交于 A,B 亮点的直线，| O P |=1，是 否存在上述直线 l 使 A P ?P B ? 1 成立？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由。 解： （Ⅰ） 由 | A1 B 1 | ? 由 S? A B A1 1 2 B2??? ???? ??? ? ?7 知a ? b ? 7 ，2 2① ② ③? 2S? B F B1 12 F2知 a=2c，又b ? a ?c ，2 2 2由①②③解得 a ? 4, b ? 3 ，2 2故椭圆 C 的方程为 （Ⅱ）x2?y2?143设 A，B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ) ， 假设使 A P ?P B ? 1 成立的直线 l 存在， （）当 l 不垂直于 x 轴时，设 l 的方程为 y ? kx ? m ， 由 l 与 n 垂直相交于 P 点且| O P |=1 得35??? ??? ? ???? ?|m | 1? k2? 1 ，即 m ? k ? 12 2∵ A P ?P B ? 1 ，| O P |=1， ∴ O A ?O B ? ( O P ? P A ) ?( O P ? P B ) = O P ? O P ?P B ? P A ?O P ? P A ?P B = 1+0+0-1=0, 即 x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 将 y ? kx ? m 代入椭圆方程，得(3 ? 4 k ) x ? 8 km x ? ( 4 m ? 1 2 ) ? 02 2 2??? ??? ? ???? ???? ??? ? ???? ???? ???? ???? ???? 2 ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ?由求根公式可得 x1 ? x 2 ?x1 x 2 ? 4m ? 122? 8km 3 ? 4k2，④3 ? 4k2⑤0 ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? x1 x 2 ? ( kx1 ? m )( kx 2 ? m )= x1 x 2 ? k x1 x 2 ? km ( x1 ? x 2 ) ? m22= (1 ? k ) x1 x 2 ? km ( x1 ? x 2 ) ? m22将④，⑤代入上式并化简得(1 ? k )( 4 m ? 1 2 ) ? 8 k m ? m (3 ? 4 k ) ? 02 2 2 2 2 2⑥将 m ? 1 ? k 代入⑥并化简得 ? 5 ( k ? 1) ? 0 ，矛盾2 22即此时直线 l 不存在 （）当 l 垂直于 x 轴时，满足 | O P |? 1 的直线 l 的方程为 x=1 或 x=-1， 当 X=1 时，A,B,P 的坐标分别为 (1, ), (1, ?2 3 3 2 ), (1, 0 ) ，??? ?∴ A P ? (0 , ? ∴ A P ?P B ???? ??? ? ???? ???? ? 3 ), P B ? (0 , ? ) ， 2 2 3 9 4 ?1当 x=-1 时，同理可得 A P ?P B ? 1 ，矛盾 即此时直线 l 也不存在 综上可知，使 A P ?P B ? 1 成立的直线 l 不存在36??? ??? ? ???? ??? ? ?2011 年圆17．（本小题满分 12 分） 如图，设 P 是圆 x ? y ? 2 5 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的投影，2 2yP M O DM 为 PD 上一点，且 M D ?4 5PD（Ⅰ）当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程； （Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为4 5x的直线被 C 所截线段的长度.2007 年数列22. (本小题满分 12 分)Z 已知各项全不为零的数列{ak}的前 k 项和为 Sk,且 Sk＝ a1= (Ⅰ)求数列{ak}的通项公式; (Ⅱ)对任意给定的正整数 n(n≥2),数列{bk}满足 求 b1+b2+?+ Z 解：（Ⅰ）当 k ? 1 ，由 a 1 ? S 1 ? 当 k ≥ 2 时，由 a k ? S k ? S k ? 1 ?1 2 1 2 a 1 a 2 及 a 1 ? 1 ，得 a 2 ? 2 ． 1 2 a k ? 1 a k ，得 a k ( a k ? 1 ? a k ? 1 ) ? 2 a k ． 1 2 a k a k ? 1 ( k ? N ),其中*bk ?1 bk?k ? n a b ?1（k=1,2,?，n-1）,b1=1.ZXa k a k ?1 ?因为 a k ? 0 ，所以 a k ? 1 ? a k ? 1 ? 2 ．从而 a 2 m ? 1 ? 1 ? ( m ? 1) ?2 ? 2 m ? 1 ．a 2 m ? 2 ? ( m ? 1) ?2 ? 2 m ， m ? N ．故 a k ? k ( k ? N ) ．**（Ⅱ）因为 a k ? k ，所以bk ?1 bk? ?n?k a k ?1? ?n?k k ?1．所以 b k ?k ?1b b k ? 1 ( n ? k ? 1)( n ? k ? 2 ) ? ( n ? 1) ? k ? 1 ?? ? 2 ?b1 ? ( ? 1) ? ? 1 b k ?1 b k ? 2 b1 k ?( k ? 1) ?? ?2 ? 1 bk1 k ? C n ( k ? 1，， ， n ) ． 2 ? n 1 ? C n ? C n ? C n ? ? ? ( ? 1) n ?1 2 3 n ?1? ( ? 1)故 b1 ? b 2 ? b3 ? ? ? b n ?? 1Cn ? ?n?1 ? ? C ? n0 n1 1 2 n n ? C n ? C n ? ? ? ( ? 1) ?C n ? ? ． ? n?2008 年数列22．解法一：（Ⅰ）? a n ? 1 ?3an 2an ? 1，?1 a n ?1?2 3?1 3an，?1 a n ?1?1 ?? 1? 1 ? 1? ， ? 3 ? an ?37又1 an 1 an?1 ?2 3 2，? ?? 1? 2 1 ? 1 ? 是以 为首项， 为公比的等比数列． 3 3 ? an ?n??1 ?3 1 2 ? n ? 1 ? n ，? a n ? n ． 3 ?2 3 3 3 3n n（Ⅱ）由（Ⅰ）知 a n ?3 ?2? 0，1 1? x 1?? 2 ? ? n ? x? (1 ? x ) ? 3 ? 12?1? x?? 2 ? ? n ?1?1? x? (1 ? x ) ? 3 ? 12?1 1? x1?? 1 ? ? (1 ? x ) ? ? (1 ? x ) ? a n ? 12? ?1 2 ? ? 2 a n (1 ? x ) 1? x? ?1 ? 1 ? ? a n ? ? a n ≤ a n ，? 原不等式成立． ? an ? 1 ? x ?2（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的 x ? 0 ，有a1 ? a 2 ? ? ? a n ≥ 1 1? x ? 1 1 1 1 ?2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? x ? ?? ? ? ? x? ? ? x?? 2 ? 2 2 ? n (1 ? x ) ? 3 1 ? x (1 ? x ) ? 3 ? 1 ? x (1 ? x ) ? 3 ? ? 12?n 1? x?2 2 ?2 ? ? ? 2 ? ? ? n ? nx ? ． (1 ? x ) ? 3 3 3 ? 122? 1 ? ?1 ? n ? 1?2 2 2 ? 1? 1 ? 3? 3 ? ?取x ? ? ? 2 ?? ? n ? ? ? ?1 ? n ? ， 1? n?3 3 3 ? n? 3 ? ? n ?1 ? ? 3? ?n 1? 1 ? 1 ? ?1 ? n ? n? 3 ? n2则 a1 ? a 2 ? ? ? a n ≥?n ?1?1 3n?n2n ?1．? 原不等式成立．解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）设 f ( x ) ?1 1? x ? ? 2 ? ? n ? x?， (1 ? x ) ? 3 ? 1238则 f ?( x ) ? ?? x ? 0，?当x ?1 (1 ? x )2?? 2 ? 2 ? (1 ? x ) ? ? n ? x ? ?2 (1 ? x ) 3 ? ? (1 ? x )2?? 2 ? 2? n ? x? 3 ? ? (1 ? x )22 3n时， f ? ( x ) ? 0 ；当 x ?2 3n时， f ? ( x ) ? 0 ，?当x ?2 3n时， f ( x ) 取得最大值 f ?1 ? 2 ? ? ? an ． n ? ? 3 ? 1? 2 n 3? 原不等式成立．（Ⅲ）同解法一．2009 年数列22．（本小题满分 12 分） 已知数列 ? x n } 满足， x1＝1 2’ x n＋ 1＝ 1 1 ? xn ,n ? N .*? ? ? 猜想数列 { x n } 的单调性，并证明你的结论；(Ⅱ)证明： | x n ? 1 - x n| ≤ 22 题证（1）由 x1 ?1 21 2 n ?1 ( ) 。 6 5及 x n+1 ?1 1 ? xn得 x2 ?2 3? x4 ?5 8， x4 ?13 21由 x 2 ? x 4 ? x 6 猜想：数列 ? x 2 n ? 是递减数列 下面用数学归纳法证明： （1）当 n=1 时，已证命题成立 （2）假设当 n=k 时命题成立，即 x 2 k ? x 2 k ? 21 1 ? x 2 k ?1 ? 1 1 ? x2k ?3 ? x 2 k ? 3 ? x 2 k ?1 (1 ? x 2 k ? 1 )(1 ? x 2 k ? 3 )易知 x 2 k ? 0 ，那么 x 2 k ? 2 ? x 2 k ? 4 ?=x2k ? x2k ? 2 (1 ? x 2 k )(1 ? x 2 k ? 1 )(1 ? x 2 k ? 2 )(1 ? x 2 k ? 3 )? 0即 x 2 ( k ? 1) ? x 2 ( k ? 1) ? 2 也就是说，当 n=k+1 时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立 （2）当 n=1 时， x n ? 1 ? x n ? x 2 ? x1 ?1 6，结论成立39当 n ? 2 时，易知 0 ? x n ? 1 ? 1,? 1 ? x n ? 1 ? 2 , x n ?1 1 ? x n ?1 5 2?1 2? (1 ? x n )(1 ? x n ? 1 ) ? (1 ?1 1 ? x n ?1)(1 ? x n ? 1 ) ? 2 ? x n ? 1 ?? x n ?1 ? x n ?1 1 ? xn?1 1 ? x n ?1?x n ? x n ?1 (1 ? x n )(1 ? x n ? 1 )?2 5x n ? x n ?1 ? （2 5） x n ?1 ? x n ? 2 ? ? ? （22 5）n -1x 2 ? x11 2 n -1 ? （ ） 6 52010 年数列16.（本小题满分 12 分） 已知 ? a n ? 是公差不为零的等差数列， a 1 ? 1 且 a 1 , a 3 , a 9 成等比数列 （1） 求数列 ? a n ? 的通项公式 （2） 求数列的前 n 项和 S n 解：（1）由题设知公差 d≠0 由 a 1 ? 1 且 a 1 , a 3 , a 9 成等比数列得 解得 d=1,d=0（舍去） 故 ? a n ? 的通项 a n ? 1 ? ( n ? 1) ? 1 ? n （2）由（1）知 2an1 ? 2d 1?1 ? 8d 1 ? 2d? 2 ，由等比数列前 n 项和公式得nS n ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ?2 3 n2 (1 ? 2 )n1? 2? 2n ?1?22011 年数列19．（本小题满分 12 分）如图，从点 P1（0,0）作 x 轴 的垂线交曲线 y=ex 于点 Q1（0,1），曲线在 Q1 点处的切 线与 x 轴交于点 P2。再从 P2 作 x 轴的垂线交曲线于点 Q2， 依次重复上述过程得到一系列点： 1， I； 2， 2； P Q P Q ?； Pn，Qn，记 Pk 点的坐标为（ x k ，0）（k=1,2，…，n）.yQ1 Q2 Q4 Q3 P3 P2 P1 O P4y = ex（Ⅰ）试求 x k 与 x k ? 1 的关系（2≤k≤n）； （Ⅱ）求 P1 Q 1 ? P2 Q 2 ? P3 Q 3 ? ... ? Pn Q n .40x
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