已知数列{an}满足an=1/3*2^(n-1)+1，其前n项和为sn。求证：对任意的正整数n，sn&4/7
已知数列{an}满足an=1/3*2^(n-1)+1，其前n项和为sn。求证：对任意的正整数n，sn&4/7
补充：an=1/[3*2^(n-1)+1]
a1=1/(3*1 +1)=1/4，
a2=1/(3*2+1)=1/7，
a3=1/(3*4+1)=1/13，
S1=a1=1/4&4/7,
设bn=a(n+1)/an,
则bn=[1/(3*2^n+1)]/{1/[3*2^(n-1)+1] }
=[3*2^(n-1) +1]/(3*2^n+1)
=(1/2)(3*2?+2)/(3*2^n+1)
=(1/2)[1 +1/(3*2^n+1)]
=1/2+(1/2) /(3*2^n+1)
显然0&b(n+1) & bn,
又b1=a2/a1=(1/7)/(1/4)=4/7,
b2=a3/a2=(1/13)/(1/7)=7/13,
则0&b(n+1) & bn&b(n-1)&……&b3&7/13&4/7,
n≥2时, 0&bn≤b2=7/13
数列{an}之
Sn=a1+a2+a3+a4+……+an
= a1+[a2+a2*b2+a3*b3+……+an*bn]
≤a1+[a2+a2*b2+a2*b2^2+……+a2*b2^(n-2)]&& 【中括号内为(n-1)项】
=(1/4)+(1/7)*[1-(7/13)^(n-1)]/(1-7/13)
=1/4+(13/42)*[1-(7/13)^(n-1)]
&1/4+13/42
即n≥2时,Sn&4/7,
又前述S1&4/7，
则：对任意的正整数n，Sn&4/7
我没看懂…
我想说的是，你回答Sn=a1+a2+a3+a4+……+an = a1+[a2+a2*b2+a3*b3+……+an*bn]，而an*bn=a(n+1)，这怎么能相等呢 还有你有些不等号没写上去，怪不得我看不懂
用点心、沉下气，仔细看完别人给你的帮助文字！【这也是一种尊重吧？！】
“设bn=a(n+1)/an”，则an*bn=a(n+1)，……
“有些不等号没写上去”？-----跟你讲，一个也不少的！！
近两年多没有上问问了，没想到一上来还是就遇见此情况。。。唉！无语呀
你懂我说什么没？ Sn=a1+a2+...+an 有n项 没错 而an*bn=a(n+1) 你用它把Sn换成另外一种形式的时候弄错了 多了一项 你错在这
显然0b(n+1) bn, 这是什么意思？在我这里看我是没看到不等号的 我都把它复制粘贴在这了 它还是没出现
我有很认真的看，因为信息的遗漏我还增加了耐心，我说这些只是把它指出来而已
不知道你是使用什么操作系统，呵呵，楞没法显示不等号！?
好吧，上传网页截图给你，可能错怪你咯？
*******************************************************
更正后的答案：
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an是(1/3)*[2^(n-1)]+1吗？
an=1/[3*2^(n-1)+1]
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数学领域专家
& &SOGOU - 京ICP证050897号已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn+1/2an=1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log3（1-Sn+1）（n∈N*），求适合方程1/b1b2+1/b2b3+…+1/bnbn+1=25/51的正整数n的值．-乐乐题库
& 等差数列与等比数列的综合知识点 & “已知数列{an}的前...”习题详情
150位同学学习过此题，做题成功率90.0%
已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn+12an=1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log3（1-Sn+1）（n∈N*），求适合方程1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+1=2551的正整数n的值．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2014-惠州模拟
分析与解答
习题“已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn+1/2an=1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log3（1-Sn+1）（n∈N*），求适合方程1/b...”的分析与解答如下所示：
（1）由S&n+12an=1，得Sn-1+12an-1=1（n≥2），两式相减得an与an-1的递推式，由递推式易判断数列{an}为等比数列，从而可求an；（2）由（1）易求得1-Sn+1，进而可求bn，利用裂项相消法可求得1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+1，从而可把方程变为关于n的方程，解出即可；
解：（1）由S&n+12an=1，得Sn-1+12an-1=1（n≥2），两式相减得，an+12an-12an-1=0（n≥2），即an=13an-1（n≥2），由S&n+12an=1得S1+12a1=1，即32a1=1，解得a1=23，所以数列{an}各项均不为0，且是以23为首项、13为公比的等比数列，所以an=23×(13)n-1=23n；（2）由（1）知，Sn+1+12an+1=1，即1-Sn+1=12an+1=13n+1，所以b&n=log(1-Sn+1)3=log313n+1=-（n+1），则1bnbn+1=1-(n+1)[-(n+2)]=1n+1-1n+2，所以1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+1=12-13+13-14+…+1n+1-1n+2=12-1n+2，所以方程1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+1=2551&即12-1n+2=2551，解得n=100，故适合方程1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+1=2551&的正整数n的值为100．
本题考查由数列递推公式求通项公式，考查等比数列及用列项相消法进行数列求和，熟练掌握an与Sn间的关系是解决本题的关键．
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已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn+1/2an=1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log3（1-Sn+1）（n∈N*），求适合...
错误类型：
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经过分析，习题“已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn+1/2an=1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log3（1-Sn+1）（n∈N*），求适合方程1/b...”主要考察你对“等差数列与等比数列的综合”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等差数列与等比数列的综合
等差数列与等比数列的综合．
与“已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn+1/2an=1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log3（1-Sn+1）（n∈N*），求适合方程1/b...”相似的题目：
在等差数列{an}中，若a10=0，则有等式：a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n＜19）成立，类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式&&&&成立．
已知数列{an}的前n项和Sn=n2（n∈N*），数列{bn}为等比数列，且满足b1=a1，2b3=b4（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{anbn}的前n项和．&&&&
对于任意的n∈N*，若数列{an}同时满足下列两个条件，则称数列{an}具有“性质m”：①an+an+22＜an+1；&&&②存在实数M，使得an≤M成立．（1）数列{an}、{bn}中，an=n、bn=2sinnπ6（n=1，2，3，4，5），判断{an}、{bn}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{cn}的前n项和为Sn，且c3=14，S3=74，证明：数列{Sn}具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列{dn}的通项公式dn=t&(3o2n-n)+12n（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*）．
“已知数列{an}的前...”的最新评论
该知识点好题
1设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7 成公比为q的等比数列，a2，a4，a6 成公差为1的等差数列，则q的最小值是&&&&．
2在等差数列{an}中，若a10=0，则有等式：a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n＜19）成立，类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式&&&&成立．
3在等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项，公差及前n项和．
该知识点易错题
1已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．（1）若an=3n+1，是否存在m、k∈N*，有am+am+1=ak？说明理由；（2）找出所有数列{an}和{bn}，使对一切n∈N*，an+1an=bn，并说明理由；（3）若a1=5，d=4，b1=q=3，试确定所有的p，使数列{an}中存在某个连续p项的和是数列{bn}中的一项，请证明．
2等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．
3在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列．（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：1a1+b1+1a2+b2+…+1an+bn＜512．
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一道数学数列体,1.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,对任意n属于正整数,都有a1^3+a2^3+……=Sn^2 (1)求通项公式(2)若bn=2^n+(-1)^n*m*an是增数列,求实数m的范围
一道数学数列体,1.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,对任意n属于正整数,都有a1^3+a2^3+……=Sn^2 (1)求通项公式(2)若bn=2^n+(-1)^n*m*an是增数列,求实数m的范围
这个应该多加点分.(1) 试过很多方法,只能用数学归纳法：先把n=1,2,3,4,分别代入 a1^3+a2^3+……=Sn^2得 a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,（要注意{an}正项数列,）所以 猜测 an=n用数学归纳法证明 an=n：当n=1时,a1^3=S1^2,即 1^3=1^2 成立当n=k时,假设a1^3+a2^3+……ak^3=Sk^2 成立则n=k+1时,要求证 a1^3+a2^3+……ak^3+(ak+1)^3=(Sk+1)^2 成立 ,即可将 a1^3+a2^3+……ak^3=Sk^2 代入 求式左边 a1^3+a2^3+……ak^3+(ak+1)^3= Sk^2+(ak+1)^3而 求式右边= (Sk+1)^2=[Sk+(ak+1)]^2= Sk^2+(ak+1)^2+2*Sk*(ak+1)求式左边 - 求式右边= (ak+1)^3-(ak+1)^2-2*Sk*(ak+1)= (ak+1)*[(ak+1)^2-(ak+1)-2*Sk] 将ak=k,Sk=(1+k)*k/2 代入= (k+1)*[(k+1)^2-(k+1)-(1+k)*k]= 0得证(2) bn = 2^n+(-1)^n*m*an = 2^n+(-1)^n*m*n若bn是增数列,则(bn+1)-bn>0得 (bn+1)-bn= 2^(n+1)+(-1)^(n+1)*m*(n+1)-2^n-(-1)^n*m*n= 2^n+(-1)^n*m-m*(n+1)当 n 为奇数时,(bn+1)-bn= 2^n-2m-mn >0令 n=1 时,(bn+1)-bn= (b2)-b1= 2-2m-m >0,推出 m0,推出 m0,推出 m0,推出 m当前位置：
＞＞＞已知首项为a（a≠0）的数列{an}的前n项和为Sn，，若对任意的正整数m..
已知首项为a（a≠0）的数列{an}的前n项和为Sn，，若对任意的正整数m、n，都有SnSm=(nm)2．（Ⅰ）证明：数列{an}是等差数列；（Ⅱ）若a=1，数列{bn}的首项为b（b≠1），第n（n∈N*，n≥2）项bn是数列{an}的第bn-1项，求证：数列|bn-1|为等比数列；（Ⅲ）若对（Ⅱ）中的数列{an}和{bn}及任意正整数n，均有2an+bn+11≥0成立，求实数b的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）证明：在SnSm=(nm)2中，取m=1，得Sn1=n2，即Sn=n2a，当n≥2时，Sn-1=（n-1）2a，∴an=Sn-Sn-1=n2a-（n-1）2a=（2n-1）a，当n=1时，a1=a也适合上式，∴an=（2n-1）a，n∈N+，∵an+1-an=2a，∴{an}是以a为首项，2a为公差的等差数列．（Ⅱ）证明：当a=1时，由（Ⅰ）可得an=2n-1，∴bn=2bn-1-1，即有bn-1=2（bn-1-1），b1-1=b-1≠0，∴{bn-1}是以b-1为首项，2为公比的等比数列．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，bn-1=（b-1）o2n-1，∴bn=1+（b-1）o2n-1，∴由题意得，不等式22n-1+（b-1）o2n-1+12≥0对任意正整数n恒成立，即b-1≥-22n-1+122n-1=-(2n+242n)恒成立．设t=2n（t=2，4，8，…），则b-1＞-(t+24t)恒成立，对于函数y=x+24x，y′=&1-24x2=(x+26)(x-26)x2．当x∈(-26，26)时，y′＜0，当x∈(-∞，-26)和（26，+∞）时，y′＞0，∴函数y=x+24x在(-26，26)上单调减，在(-∞，-26)和（26，+∞）上单调增．又当x=4时，y=10；当x=8时，y=11，∴y=t+24t的最小值是10．∴b-1≥[-(2n+242n)]min=-10．即b≥-9，∴实数b的最小值是-9．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知首项为a（a≠0）的数列{an}的前n项和为Sn，，若对任意的正整数m..”主要考查你对&&等差数列的定义及性质，等比数列的定义及性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等差数列的定义及性质等比数列的定义及性质
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。（6）（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）&仍为等差数列，公差为
&对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．&②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d&0时，数列为递增数列；当d&0时，数列为递减数列；④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
发现相似题
与“已知首项为a（a≠0）的数列{an}的前n项和为Sn，，若对任意的正整数m..”考查相似的试题有：
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已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn1=4an2，且a1=2．（Ⅰ求证：对任意n∈N*，an12an为常数C，并求出这个常数C；（Ⅱ如
悬赏：0&&答案豆&&&&提问人：匿名网友&&&&提问收益：0.00答案豆&&&&&&
已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn+1=4an-2，且a1=2．（Ⅰ&求证：对任意n∈N*，an+1-2an为常数C，并求出这个常数C；（Ⅱ如果bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项的和．
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