什么是三角函数线?_作业帮
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什么是三角函数线?
什么是三角函数线?
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数.它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域.另一种定义是在直角三角形中,但并不完全.现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系.它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割.由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数.三角函数在复数中有较为重要的应用.在物理学中,三角函数也是常用的工具.1、正弦定理：在三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等,即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R&．(其中R为外接圆的半径)&　　2、第一余弦定理：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和,即a=c&cosB&+&b&cosC&　　3、第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍,即a^2=b^2+c^2-2bc·cosA&　　4、正切定理(napier比拟)：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值,即（a-b）/(a+b)=tan[(A-B)/2]/tan[(A+B)/2]=tan[(A-B)/2]/cot(C/2)
角α的正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线，统称三角函数线。设角α的终边与 单位圆 交与P点,与过点A(1,0)的单位圆 切线 交于T点(当终边与切线AT不相交时,取终边反向延长线与切线AT的交点),过P作PM垂直x轴于M,则 有向线段 MP,OM,AT,分别叫做角α的正弦线,余弦线,正切线,正弦线,正 切线 的正向与y轴的正向相同,向上为正,向下为负,余弦线的正向与...
类似波浪线
三角函数线就是用来表示函数的有向线段，直角坐标系单位圆中角a的终边与单位圆的交点P向x轴作垂线垂足为M，则OM为cosa,MP为sina,设单位圆与x轴正半轴交于点A，过A作垂直于x轴的直线交OP的延长线于T，则AT为tana,描述的可能不太清楚，建议你去看一下高中数学必修4的三角函数章，那里很清楚，我正好是数学老师...三角函数线
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一、知识与技能
1. 会用三角函数线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值
2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；
3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题
二、过程与方法
1.借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；
2.让学生从所学知识基础上发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.
三、情感、态度与价值观
1.通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究获取知识.
2.通过三角函数线学习，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间
教学重点：三角函数线的作法及其简单应用
教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教学过程：
一、温故而知新
1. 前面我们学习了利用单位圆定义三角函数，
复习：1单位圆的定义：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2 三角函数的定义：如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
(1)叫做的正弦(sine),记做,即；
(2)叫做的余弦(cossine),记做,即；
(3)叫做的正切(tangent),记做,即.
正弦函数,余弦函数,正切函数统称为三角函数
师：我们那么能否在此基础上用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？这就是我们今天一起要研究的问题.
二、研探新知
(1)设角的终边与单位圆交于点P(x,y),过点P作x轴的垂线,垂足M,
用的三角函数表示点P的坐标&&&&&&&& ;
线段OM的长度|OM|=&&&&&&&& ;
线段MP的长度|MP|=&&&&&&&&& .
(利用几何画板演示,角的变化过程中,角的终边和单位圆的交点坐标的变化)
|MP|=|y|=|sinα|,&&& |OM|=|x|=|cosα|
(2)思考1:如何去掉上述等式中的绝对值符号,为此能否给线段OM,MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致?
2.有向线段
我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.
当角的终边不在坐标轴上时, 规定：
(1) 以为始点、为终点的线段：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有负值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有&&&
(2)以为始点、为终点的线段，当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有负值；其中为点的纵坐标.这样,无论那种情况都有&&&
像这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段.
思考2:你能借助单位圆，找到一条如、一样的线段来表示角的正切值吗？
过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.
(利用几何画板演示)
根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有
三、三角函数线
由上述四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，
,&&&&& &&，.
我们把这三条与单位圆有关的有向线段分别称为角的正弦线,余弦线,正切线.他们统称三角函数线
几点说明：
①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。
②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。
③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。
④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
思考1：角的终边在x轴或y轴上时, 角的正弦线,余弦线,正切线是怎样的?
思考2：观察角的终边在各位置的情形,分析三角函数线的变化情况？
四、师生共议，排难解惑，发展思维
例1.画出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
（1）；；&&& （2）．
学生练习：画出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
（1）&&&&&& &&（2）
师：请大家总结这三种三角函数线的作法：
第一步：作出角的终边，与单位圆交于点；
第二步：过点作轴的垂线，设垂足为，得正弦线、余弦线；
第三步：过点(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线的交点设为，得角的正切线.
特别注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方
向，分清起点和终点，书写
五、三角函数线的应用
例1. 利用三角函数线比较下列各组数的大小：
(1) 与 ； (2) tan与tan ；(3)；
(4)已知，试比较的大小.
例2已知是第一象限角，证明sinα+ cosα＞1;
分析：作单位圆，正弦sina=MP;余弦cosa=OM& OP=1
在Rt三角形OMP中MP+OM&OP即sinα+cosα＞1;
课后深入探究：
(1) 对任意角有，sin2 + cos2 = 1
(2) -1≤sin≤1, -1≤cos≤1,
例3利用三角函数线作出符合下列条件的角的终边，并写出这些角的集合：
（1）&&& （2）&&& （3）&
例3变式 利用三角函数线作出符合下列条件的角的终边，并写出这些角的集合：
（1） ;&&&& （2）≤- .
分析：先作出满足，的角的终边，
然后根据已知条件确定角终边的范围.
六、变式练习，强化概念
变式1：利用三角函数线作出符合下列条件的角的终边，并写出这些角的集合：
（1）；& （2）；& （3）tana& （4）；
变式2：求下列函数的定义域：
（1） y = &&&&(2) y = lg(3－4sin2x) .
七.课堂小结
(1)了解有向线段的概念.
(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦,余弦,正切函数值分别用正弦线,余弦线,正切线表示出来.
(3)用三角函数线理解三角函数的定义
（4）体会三角函数线的简单应用.
八、作业：
1课后练习第三题
2预习同角三角函数基本关系式
教学后记：本节课容量较大，使用多媒体辅助教学，几何画板动画演示功能正好可以帮助学生做数学试验，探讨数学问题。这样充分发挥多媒体的优势，既丰富了三角函数线的概念，又培养了学生发现问题、解决问题的能力，探索精神、创新意识也有了相应的提高。例3变式是一个教学难点，学生会遇到三个障碍，一是：两个角的确定，二是从相等到不等式的过渡问题，三是角的集合的表示问题。教学时应让引导学生自己总结出解题方法和步骤 ，安排例3目的是为例3变式作铺垫作用，同时也降低了知识的难度，让其基础差的学生也能学习和掌握知识。另外安排课后深入探究其目的为下节内容作铺垫作用。&
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2、任意角的三角函数
&数学苏教版高中必修四
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2、任意角的三角函数课件 (共有课件116个)
三角函数线三角函数线,任意角的三角函数,1.2 任意角的三角函数
任意角的三角函数
1.设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），角α的三角函数是怎样定义的？
2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？
一全正，二正弦，三正切，四余弦.
4.角是一个几何概念，同时角的大
1.2.1任意角的三角函数（1）
高一数学必修4第一章
1.如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么角α的弧度数的绝对值是
180°＝πrad.
360°＝2πrad
2.角度与弧度的换算：
3. 指出下列角是第几象限的角:
4.利用弧度制来推导扇形的公式：
分析:在半径为R§4.3任意角的三角函数我们的目标
掌握任意角的三角函数定义
根据定义理解三角函数的符号和定义域
理解三角函数线1、特殊角的弧度数任意角的三角函数1、定义：你能说出上述六个三角函数的定义域和值域吗？函数解析式 定义域 值域+-+-全为+练一练三 角 函 数 线1、有向线段2、三角函数线、单位圆关于r=2asinnA的讨论关于r=2asinnA的讨论,新任意角的三角函数,任意角的三角函数
（第一课时）
背景-学生基本情况-思维
锐角三角函数
角的概念的推广
最近发展期
现有知识状况
未来发展期
背景-学生基本情况-知识状况
一、选择题（每小题3分，共15分）
1.(2010?临沂模拟）若-<α<0,则点Q(cosα,sinα)位于
()
(A)第一象限(B)第二象限
(C)第三象限(D)第四象限
【解析】选D.∵-<α0,sinα<0,
∴任意角的三角函数 (习题)pMAT练习1：根据下列三角函数值，求作角的终边，然后求角的取值集合．求值：任意角的三角函数 flash课件
角的概念及任意角的三角函数
1、理解任意角的概念，包括正角、负角、零角、象限角、轴上角、区间角和终边相同的角，任意角a的各三角函数值仅与a的终边所在的位置有关，与其终边上的点的选取无关，区间角和象限角既有联系又有区别.
2、理解弧度制的建立，包括弧度与角度的互化，弧长公式及扇形面积§4.3任意角的三角函数我们的目标
掌握任意角的三角函数定义
根据定义理解三角函数的符号和定义域
理解三角函数线1、特殊角的弧度数任意角的三角函数1、定义：你能说出上述六个三角函数的定义域和值域吗？函数解析式 定义域 值域+-+-全为+练一练三 角 函 数 线1、有向线段2、三角函数线、单位圆单位圆与三角函数图象单位圆与三角函数图象,任意角的三角函数,分别写出下列函数的定义域y=sinx y=cosxy=tanxy=cotx
y=secxy=cscx任意角的三角函数的定义
ppt课件任意角的三角函数
共有课件116个，&&&&&& [
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三角函数线对认识三角函数概念有哪些作用?
后面就会学得很艰难因为你以后要学到三角函数的诱导公式，性质及三角函数的恒等变换，学好并不难。希望我的回答能让你满意，不学好这个。这些都要以三角函数线为基础。作用就是这些。再加上三角函数线也是个很简单的东西，图像
三角函数线对于证明一些定理很重要的，比如：
我给你讲一个大学《高等数学》里学重要极限时要用的一个性质，你自己可以画图看一下的！
设α是锐角,利用单位圆中的三角函数线证明:sinα&α&tanα
证明：设⊙O为单位圆，图不好画，你可以照着我说的画：OA是一条水平的半径，以OA为边，在第一象限作一个锐角α，另一边交单位圆于点B，过A作AE⊥O...
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