二次函数y ax2 bx c数

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初中数学课堂:二次函数
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初中数学课堂◆0022号二次函数(北京市东直门中学 杨革华)
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{description}(;镇江)对于二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4,把y=t(x2-3x+2)+(1-t)(-2x+4)称为这两个函数的“再生二次函数”,其中t是不为零的实数,其图象记作抛物线E.现有点A(2,0)和抛物线E上的点B(-1,n),请完成下列任务:【尝试】(1)当t=2时,抛物线E的顶点坐标是(1,-2);(2)判断点A是否在抛物线E上;(3)求n的值.【发现】通过(2)和(3)的演算可知,对于t取任何不为零的实数,抛物线E总过定点,这个定点的坐标是A(2,0)、B(-1,6).【应用1】二次函数y=-3x2+5x+2是二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”吗?如果是,求出t的值;如果不是,说明理由.【应用2】以AB为一边作矩形ABCD,使得其中一个顶点落在y轴上,若抛物线E经过点A、B、C、D中的三点,求出所有符合条件的t的值.
分析:【尝试】(1)将t的值代入“再生二次函数”中,通过配方可得到顶点的坐标;(2)将点A的坐标代入抛物线E上直接进行验证即可;(3)已知点B在抛物线E上,将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求解,即可得到n的值.【发现】将抛物线E展开,然后将含t值的式子整合到一起,令该式子为0(此时无论t取何值都不会对函数值产生影响),即可求出这个定点的坐标.【应用1】将【发现】中得到的两个定点坐标代入二次函数y=-3x2+5x+2中进行验证即可.【应用2】该题的关键是求出C、D的坐标;首先画出相应的图形,过C、D作坐标轴的垂线,通过构建相似三角形或全等三角形来求解.在求得C、D的坐标后,已知抛物线E必过A、B,因此只需将C或D的坐标代入抛物线E的解析式中,即可求出符合条件的t值.解答:解:【尝试】(1)将t=2代入抛物线E中,得:y=t(x2-3x+2)+(1-t)(-2x+4)=2x2-4x=2(x-1)2-2,∴此时抛物线的顶点坐标为:(1,-2).(2)将x=2代入y=t(x2-3x+2)+(1-t)(-2x+4),得 y=0,∴点A(2,0)在抛物线E上.(3)将x=-1代入抛物线E的解析式中,得:n=t(x2-3x+2)+(1-t)(-2x+4)=6.【发现】将抛物线E的解析式展开,得:y=t(x2-3x+2)+(1-t)(-2x+4)=t(x-2)(x+1)-2x+4∴抛物线E必过定点(2,0)、(-1,6).【应用1】将x=2代入y=-3x2+5x+2,y=0,即点A在抛物线上.将x=-1代入y=-3x2+5x+2,计算得:y=-6≠6,即可得抛物线y=-3x2+5x+2不经过点B,二次函数y=-3x2+5x+2不是二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”.【应用2】如图,作矩形ABC1D1和ABC2D2,过点B作BK⊥y轴于点K,过B作BM⊥x轴于点M,易得AM=3,BM=6,BK=1,△KBC1∽△MBA,则:AMBM=C1KBK,即36=C1K1,求得 C1K=12,所以点C1(0,132).易知△KBC1≌△GAD1,得AG=1,GD1=12,∴点D1(3,12).易知△OAD2∽△GAD1,D1GOD2=AGOA,由AG=1,OA=2,GD1=12,求得 OD2=1,∴点D2(0,-1).易知△TBC2≌△OD2A,得TC2=AO=2,BT=OD2=1,所以点C2(-3,5).∵抛物线E总过定点A(2,0)、B(-1,6),∴符合条件的三点可能是A、B、C或A、B、D.当抛物线E经过A、B、C1时,将C1(0,132)代入y=t(x2-3x+2)+(1-t)(-2x+4),求得t1=-54;当抛物线E经过A、B、D1,A、B、C2,A、B、D2时,可分别求得t2=58,t3=-12,t4=52.∴满足条件的所有t的值为:-54,58,-12,52.点评:该题通过新定义的形式考查了二次函数、矩形、相似三角形、全等三角形等综合知识,理解新名词的含义尤为关键.最后一题的综合性较强,通过几何知识找出C、D点的坐标是此题的难点所在.
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(;镇江)某校为了开设武术、舞蹈、剪纸等三项活动课程以提升学生的体艺素养,随机抽取了部分学生对这三项活动的兴趣情况进行了调查(每人从中只能选一项),并将调查结果绘制成如图两幅统计图,请你结合图中信息解答问题.(1)将条形统计图补充完整;(2)本次抽样调查的样本容量是100;(3)已知该校有1200名学生,请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数.
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(1)依题意可得△=4m2得出△>0,可得出二次函数图象与x轴总有公共点;(2)利用根与系数的关系得出AB的长以及二次函数的顶点坐标,进而得出m的值;(3)利用垂径定理以及勾股定理求出CD的长即可.
解:(1)△=(-m)2-4×1×(-m2)=4m2,∵m≠0,∴4m2>0,∴△>0.∴对于任意实数m,该函数图象与x轴总有两个交点;(2)y=x2-mx-m2,设AB点的坐标分别为A(x1,0),B(x2,0),则x1+x2=-=m,x1ox2==-m2,∴AB=|x1-x2|=1+x2)2-4x1x2=2+3m2=2m,-=,24a=-m2,∴顶点坐标是(,-m2),∵抛物线的顶点在以AB为直径的圆上,∴AB=2m,即2m=2m2,解得m=1或0(不合题意舍去),∴m=1,∴y=x2-x-,即抛物线解析式为:y=x2-x-;(3)根据(2)的结论,圆的半径为m=1,弦CD的弦心距为,∴CD=2-&(m2)2=22,∴CD=2.数学二次函数知识点_百度知道
数学二次函数知识点
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二次函数与一元二次方程 特别地,抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式;4a),a&-4ac)&#47,抛物线与x轴有1个交点,0) 和 B(x2,选取便于计算,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),且a决定函数的开口方向。 Δ= b^2-4ac<0时,h;2a 、描点的整数值。 V,k)] 交点式:y=ax2+bx+c (a:y=a(x-h)^2+k ③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0)和 B(x2。 当a与b同号时(即ab>0),c为常数;)&#47:y=ax^2,二次函数的图像是一条抛物线,b,IaI越大开口就越小,二次函数(以下称函数)y=ax^2。) 则称y为x的二次函数,自变量x和因变量y之间存在如下关系,且a决定函数的开口方向,开口方向向上:y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1。 5,开口方向向下.) 则称y为x的二次函数,k为常数;0时,a&gt,a≠0,描点连线时一定要用光滑曲线连接. (3)两根式,b;0时,x2=(-b±√b^2,(4ac-b^2;4a ].二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,a≠0)。对称轴为直线 x = -b&#47.常数项c决定抛物线与y轴交点,抛物线向上开口.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x&sup2,有如下关系,对称轴在y轴右;2a III,抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上:y=a(x-h)^2;如果对称轴是y轴,但不过原点。 4,(4ac-b^2)&#47:y=a(x-h)2+k(a;当h=0且k=0时;+bx+c=0 此时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 2;当Δ= b^2-4ac=0时;4a ②一般式和交点式的关系 x1, 当y=0时;2a,c为常数,c为常数。 抛物线与y轴交于(0,k),a&gt,b,a≠0),自变量x和因变量y之间存在如下关系,并且对称轴是y轴;0时: h=-b&#47,即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,IaI越小开口就越大,即 h=-b&#47,k) ], 即ax^2,抛物线与x轴没有交点;+bx+c.抛物线的性质 1; 当a与b异号时(即ab<0): ①一般式和顶点式的关系 对于二次函数y=ax^2+bx+c。 |a|越大,IaI越小开口就越大,IaI还可以决定开口大小.定义与定义表达式 一般地:y=a(x-x1)(x-x2),a≠0;的图像,P在y轴上。 二次函数解析式的几种形式 (1)一般式.抛物线是轴对称图形,并注意变化趋势;0时,c为常数,c为常数:y=a(x-x1)(x-x2) 以上3种形式可进行如下转化;2a k=(4ac-b^2,抛物线的顶点坐标是(h,抛物线向下开口;2a=0时,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标,其中x1,则设y=ax^2+k 定义与定义表达式 一般地。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根,a≠0,P在x轴上.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置,当b=0时。 答案补充 画抛物线y=ax2时,0) 的抛物线].抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac>0时,b;2 k=(4ac-b^2)&#47,应先列表,开口方向向上。 当a>0时: y=ax^2+bx+c (a,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根;+bx+c(a,坐标为 P [ -b&#47,其顶点坐标为(-b&#47。 II。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式;2a=(x1+x2)&#47,y是x的函数 二次函数的三种表达式 ①一般式;+k [抛物线的顶点P(h。 特别地,对称轴在y轴左;4a x1;)&#47,IaI越大开口就越小。IaI还可以决定开口大小;当a<0时:(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.二次函数的三种表达式 一般式,抛物线y=ax2的顶点在原点 答案补充 如果图像经过原点. (2)顶点式,开口方向向下, 可以看出,a≠0) 顶点式:y=ax^2+bx+c(a,0)的抛物线] 注,则设y=ax^2。 IV;2a。 3,a≠0) ②顶点式[抛物线的顶点 P(h,抛物线与x轴有2个交点. 说明。 当-b&#47,b.抛物线有一个顶点P,再描点;当k=0时,最后连线。 x是自变量,a&lt,则抛物线的开口越小:在3种形式的互相转化中,x2=[-b±√(b^2-4ac)]&#47二次函数 I。 Δ= b^2-4ac=0时,h=0时: y=ax^2+bx+c(a,c) 6。列表选取自变量x值时常以0为中心
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&&黄&#8203;冈&#8203;中&#8203;学&#8203;用&#8203;的&#8203;,&#8203;二&#8203;次&#8203;函&#8203;数&#8203;知&#8203;识&#8203;点&#8203;、&#8203;考&#8203;点&#8203;、&#8203;典&#8203;型&#8203;试&#8203;题&#8203;集&#8203;锦&#8203;(&#8203;带&#8203;详&#8203;细&#8203;解&#8203;析&#8203;答&#8203;案&#8203;)&#8203;,&#8203;超&#8203;级&#8203;好&#8203;!&#8203;!&#8203;!
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