[初三数学]相似三角形含练习有答案、例题和知识点相似三角形含练习有答案、例题和..
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[初三数学]相似三角形含练习有答案、例题和知识点
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3秒自动关闭窗口己知：如图1，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（O，-4），与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（4，0）．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P（k，O）是线段AB上一动点（不与A、B重合），过P点作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△CPE的面积S与t的函数关系式，并指出t的取值范围；
（3）如图2，若平行于x轴的动直线r与该抛物线交于点Q，与直线AC交于F，点D的坐标为（2，0）．问是否存在这样的直线r，使得△0DF为等腰三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
（!）A，C两点的坐标代入解析式即可．
（2）通过相似表示出E点坐标，利用面积的差求△PEC面积．
（3）△ODF为等腰三角形，没有确底边，要分类讨论，由线段相等求出Q点坐标，然后代入抛物线的解析式求解．
（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}16a-8a+c=0\\ c=-4\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=0.5\\ c=-4\end{array}\right.$
∴该抛物线的函数解析式为y=0.5x2-x-4；
（2）过点E作EG⊥x轴于G，
由0.5x2-x-4=0，
得x1=-2，x2=4．
AB=6，BP=2+t，
证△BPE∽△BCA，可得EG=$\frac{2}{3}$（t+2），
S=S△OPB-S△BPE=$\frac{1}{2}$BP×CO-$\frac{1}{2}$BP×EG=$\frac{1}{2}$（t+2）（4-$\frac{2}{3}$（t+2））=-$\frac{1}{3}$t2+$\frac{2}{3}$t+$\frac{8}{3}$
-2＜t＜4．
（3）这样的Q点存在，使得△ODF为等腰三角形．
①当OF=DF时，Q（x．-3）
0.5x2-x-4=-3，x=1$±\sqrt{3}$，
∴${Q}_{1}（1+\sqrt{3}，-3）$，${Q}_{2}（1-\sqrt{3}，-3）$
②当OD=DF=2时，Q（x，-2）
0.5x2-x-4=-2，x=1±$\sqrt{5}$，
∴${Q}_{3}（1+\sqrt{5}，-2）$，${Q}_{4}（1-\sqrt{5}，-2）$．考点：四边形综合题
分析：（1）B，E，F三点共线时，满足△FED∽△FBC，结合行程问题可以得出关于t的比例式，求出t的值；（2）∠BEC=∠BFC．可以转化为∠BEC=∠BCE．即BE=BC．得出关于t的方程，求出值；（3）求S与t之间的函数关系式，可以将四边形BCFE的面积分成S△BCE，S△ECF两部分，结合（1）确定t的取值范围；（4）根据等腰三角形的性质，分EF=EC，EC=FC，EF=FC三种情况讨论．
解答：解：（1）当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动，如图所示．由题意可知：ED=t，BC=10，FD=2t-5，FC=2t．∵ED∥BC，∴△FED∽△FBC．∴FDFC=EDBC．∴2t-52t=t10．解得t=5．∴当t=5时，两点同时停止运动；（2）在Rt△BCF和Rt△CDE中，∵∠BCF=∠CDE=90°，BCCD=CFED=2，∴Rt△BCF∽Rt△CDE．∴∠BFC=∠CED．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&∵AD∥BC，∴∠BCE=∠CED．若∠BEC=∠BFC，则∠BEC=∠BCE．即BE=BC．∵52+（10-t）2=102，解得 t1=10+53（舍去），t2=10-53．即当t=10-53时，EC是∠BED的平分线．&&&&&&&&&（3）分两种情况讨论：①当F在线段CD上时：S四边形BCFE=S梯形BCDE-S△EDF=12（t+10）×5-12t（5-2t）=t2+25；②当F在CD延长线上时：S四边形BCFE=S梯形BCDE+S△EDF=12（t+10）×5-12t（2t-5）=t2+25；∴S=t2+25（0≤t≤5）；（4）△EFC是等腰三角形有三种情况：①若EF=EC时，则点F只能在CD的延长线上，∵EF2=（2t-5）2+t2=5t2-20t+25，EC2=52+t2=t2+25，∴5t2-20t+25=t2+25．∴t=5或t=0（舍去）；②若EC=FC时，∵EC2=52+t2=t2+25，FC2=4t2，∴t2+25=4t2．∴t=533；③若EF=FC时，∵EF2=（2t-5）2+t2=5t2-20t+25，FC2=4t2，∴5t2-20t+25=4t2．∴t1=10+53（舍去），t2=10-53．∴当t的值为5，533或10-53时，△EFC是等腰三角形．
点评：本题考查了四边形综合题．其中涉及到了勾股定理，相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．该题数形结合，综合性较强，将行程问题与矩形有机的整合，有一定的思维容量．
请选择年级七年级八年级九年级请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：初中数学
小明是积极思考，喜欢探究问题的同学．一天，如图1，他将直角三角板ABC（∠ACB=30°，∠ABC=60°）和直角三角板ADE（∠DAE=∠DEA=45°）摆放在一起；如图2，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A顺时针方向旋转，记旋转角为∠CAE=α（0°＜α＜180°）（1）当α=时，AD∥BC，在图3中画出相应图形；（2）若当三角板ADE绕点A顺时针方向旋转过程中，两三角板某一边平行（不共线）．例如，如图4，α=105°，此时DE∥BC，请你写出除（1）和α=105°情况以外，两三角板某一边平行（不共线）时，α的所有可能的度数．
科目：初中数学
如图所示，在平面直角坐标中，M是x轴正半轴上一点，⊙M与x轴的正半轴交于A、B两点，A在B的左侧，且OA、OB的长是方程x2-4x+3=0的两根，ON是⊙M的切线，N为切点，N在第四象限．（1）求⊙M的直径；（2）求点N的坐标；（3）在x轴上存在点T，使△OTN是等腰三角形，请直接写出T的坐标．
科目：初中数学
在，3.1415，2.，π，，0.…，这6个数中无理数有个．
科目：初中数学
若多项式x2+kx-8有一个因式是（x-2），则k=．
科目：初中数学
如图是我国古代数学家发现的，称为“杨辉三角形”，它的发现比西方要早五百年左右．“杨辉三角形”中有许多规律，如（a+b）2=a2+2ab+b2开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；&（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出（a+b）4的展开式．（a+b）4=．
科目：初中数学
已知关于x的一次函数y=bx+b和y=-x+a交于A（b，m-a），且-≤b≤7（其中a，b，m为实数且b≠0）．当a取最小值时，求m的大小．
科目：初中数学
如图，△ABC中，∠B=36°，∠ACB=110°，AE是∠BAC的平分线．（1）求∠EAC的大小；（2）在图的△ABC中作出BC边上的高AD，并求∠EAD的大小．
科目：初中数学
已知：关于mx2-2（m-1）x+m-2=0的一元二次方程（m＞0）．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）m取何整数值时，此方程的两个实数根都为整数？根据实际问列二次函数测试题(含答案)
位置：&&>>&&>>&&>>&正文
根据实际问列二次函数测试题(含答案)
(编辑：佚名 日期：)
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&& 26.1.2根据实际问列二次函数关系式题&一．（共8小题）1．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动， 始终保持AE⊥EF．设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（　　）&A．y=x+1&B．y=x﹣1&C．y=x2﹣x+1&D．y=x2﹣x﹣1
2．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）&A．y= &B．y= &C．y= &D．y=
3．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　）&A．y=﹣2x2&B．y=2x2&C．y=﹣ x2&D．y= x2
4．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（　　）A．y=2a（x﹣1）&B．y=2a（1﹣x）&C．y=a（1﹣x2）&D．y=a（1﹣x）2
5．某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产品y与x的函数关系是（　　）A．y=20（1﹣x）2&B．y=20+2x&C．y=20（1+x）2&D．y=20+20x2+20x
6．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（　　）A．y=x2+a&B．y=a（x﹣1）2&C．y=a（1﹣x）2&D．y=a（1+x）2
7．长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（　　）A．y=x2&B．y=（12﹣x2）&C．y=（12﹣x）•x&D．y=2（12﹣x）
8．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为（　　）A．y=60（1﹣x）2&B．y=60（1﹣x2）&C．y=60﹣x2&D．y=60（1+x）2二．填 空题（共6小题）9．如图，在一幅长50cm，宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为ycm2，金色纸边的宽为xcm，则y与x的关系式是　_________　．&
10．用一根长50厘米的铁 丝，把它弯成一个矩形框，设矩形框的一边长为x厘米，面积为y平方厘米，写出y关于x的函数解析式：　_________　．
11．某企业今年第一月新产品的研发资金为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长的都是x，则该厂今年第三月新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=　_________　．
12．一个矩形的周长为16，设其一边的长为x，面积为S，则S关于x的函数解析式是　_________　．
13．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=　_________　．
14．如图，李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD，用篱笆围成的另外三边总长为24m，设BC的长为x m，矩形的面积为y m2，则y与x之间的函数表达式为　_________　．&三．解答题 （共8小题）15．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长率都是x，写出利润y与增长的百分率x之间的函 数解析式，它是二次函数吗？如 果是请写出二次项系数、一次项系数和常数项．
16．在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米．（1）求y与x之间的关系式．（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．
17．已知某商场一月份的利润是100万元，三月份的利润达到y万元，这两个月的利润月平均增长率为x，求y与x的函数关系式．
18．某公园门票每张是8 0元，据统计每天进园人数为200人，经市场调查发现，如果门票每降低1元出售，则每天进园人数就增多6人，试写出门票价格为x（x≤80）元时，该公园每天的门票收入y（元），y是x的二次函数吗？
19．已知在△ABC中，∠B=30°，AB+BC=12，设AB=x，△ABC的面积是S，求面积S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC、BC的长为方程x2﹣14x+a=0的两根，且AC﹣BC=2，D为AB的中点．（1）求a的值．（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度， 沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．&
21．用总长为L米的篱笆围成长方形场地，已知长方形的面积为60m2，一边长度x米，求L与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围．
22．某商品每件成本40元，以单价55元试销，每天可 售出100件．根据市场预测，定价每减少1元，销售量可增加10件．求每天销售该商品获利金额y（元）与定价x（元）之间的函数关系．&
26.1.2根据实际问列二次函数关系式题参考答案与试题解析
一．（共8小题）1．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥E F．设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（　　）&A．&y=x+1&B．y=x﹣1&C．y=x2﹣x+1&D．& y=x2﹣x﹣1
考点：&根据实际问题列二次函数关系式．专题：&动点型．分析：&易证△ABE∽△ECF，根据相似三角形对应边的比相等即可求解．解答：&解：∵∠BAE和∠EFC都是∠AEB的余角．∴∠BAE=∠FEC．∴△ABE∽△ECF那么AB：EC=BE：CF，∵AB=1，BE=x，EC=1﹣x，CF=1﹣y．∴AB•CF=EC•BE，即1×（1﹣y）=（1﹣x）x．化简得：y=x2﹣x+1．故选C．点评：&本题结合了正方形和相似三角形的性质考查了二次函数关系式．根据条件得出形似三角形，用未知数表示出相关线段是解题的关键．
2．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）&A．&y= &B．y= &C．y= &D．&y=
考点：&根据实际问题列二次函数关系式．专题：&压轴题．分析：&四边形ABCD图形不规则，根据已知条件，将△ABC绕A点逆时针旋转90°到△ADE的位置，求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE，下底AC，高DF分别用含x的式子表示，可表示四边形ABCD的面积．解答：&解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE∴∠BAC=∠DAE又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°∴△ABC≌△ADE（AAS）∴BC=DE，AC=AE，设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，解得：a= ，∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE= ×（DE+AC）×DF= ×（a+4a）×4a=10a2= x2．故选：C．&点评：&本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的作用．
3．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线 的关系式是（　　）&A．&y=﹣2x2&B．y=2x2&C．y=﹣ x2&D．&y= x2
考点：&根据实际问题列二次函数关系式．专题：&压轴题．分析：&由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解．解答：&解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．则﹣2=4a即得a=﹣ ，那么y=﹣ x2．故选：C．点评：&根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点．
4．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（　　）A．&y=2a（x﹣1）&B．y=2a（1﹣x）&C．y=a（1﹣x2）&D．&y=a（1﹣x）2
考点：&根据实际问题列二次函数关系式．分析：&原价为a，第一次降价后的价格是a×（1﹣x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为a×（1﹣x）×（1﹣x）=a（1﹣x）2．解答：&解：由题意第二次降价后的价格是a（1﹣x）2．则函数解析式是y=a（1﹣x）2．故选D．点评：&本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．
5．某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产品y与x的函数关系是（　　）A．&y=20（1﹣x）2&B．y=20+2x&C．y=20（1+x）2&D．&y=20+20x2+20x
考点：&根据实际问题列二次函数关系式．分析：&根据已知表示出一年后 产品数量，进而得出两年后产品y与x的函数关系．解答：&解：∵某工厂一种产品的年产量是20件，每一年都比上一年的产品增加x倍，∴一年后产品是：20（1+x），∴两年后产品y与x的函数关系是：y=20（1+x）2．故选：C．点评：&此题主要考查了根据实际问题列二次函数 关系式，得出变化规律是解题关键．
6．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（　　）A．&y=x2+a&B．y=a（x﹣1）2&C． y=a（1﹣x）2&D．&y=a（1+x）2
考点：&根据实际问题列二次函数关系式．分析：&本题是增长率的问题，基数是a元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式．解答：&解：依题意，得y=a（1+x）2．故选D．点评：&在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果．
7．长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（　　）A．&y=x2&B．y=（12﹣x2）&C．y=（12﹣x）•x&D．&y=2（12﹣x）
考点：&根据实际问题列二次函数关系式．专题：&几何图形问题．分析：&先得到长方形的另一边长，那么面积=一边长×另一边长．解答：&解：∵长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），∴长方形的另一边长为12﹣x，∴y=（12﹣x）•x．故选C．点评：&考查列二次函数关系式；得到长方形的另一边长是解决本题的易错点．
8．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为（　　）A．&y=60（1﹣x）2&B．y=60（1﹣x2）&C．y=60﹣x2&D．&y=60（1+x）2
考点：&根据实际问题列二次函数关系式．分析：&原价为60，一年后的价格是60×（1﹣x），二年后的价格是为：60×（1﹣x）×（1﹣x）=60（1﹣x）2，则函数解析式求得．解答：&解：二年后的价格是为：60×（1﹣x）×（1﹣x）=60（1﹣x）2，则函数解析式是：y=60（1﹣x）2．故选A．点评：&本题需注意二年后的价位是在一年后的价位的基础上降价的．二．题（共6小题）9．如图，在一幅长50cm，宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂 画总面积为ycm2，金色纸边的宽为xcm，则y与x的关系式是　y=4x2+160x+1500　．&
考点：&根据实际问题列二次函数关系式．分析：&由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式．解答：&解：由题意可得：y=（50+2x）（30+2x）=4x2+160x+1500．故答案为：y=4x2+160x+1500．点评：&此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，此题主要利用了长方形的面积公式解题．
10．用一根长50厘米的铁丝，把它弯成一个矩形框，设矩形框的一边长为x厘米，面积为y平方厘米，写出y关于x的函数解析式：　y=﹣x2+25x　．
考点：&根据实际问题列二次函数关系式．分析：&易得矩形另一边长为周长的一半减去已知边长，那么矩形的面积等于相邻两边长的积．解答：&解：由题意得：矩形的另一边长=50÷2﹣x=25﹣x，则y=x（25﹣x）=﹣x2+25x．故答案为y=﹣x2+25x．点评：&本题考查列二次函数关系式；掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解决本题的突破点．
11．某企业今年第一月新产品的研发资金为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长的都是x，则该厂今年第三月新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=　100（1+x）2　．
考点：&根据实际问题列二次函数关系式．分析：&由一月份新产品的研发资金为100元，根据题意可以得到2月份研发资金为100（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．解答：&解：∵一月份新产品的研发资金为100元，2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴2月份研发资金为100（1+x），∴三月份的研发资金为y=100（1+x）×（1+x）=100（1+x）2．故答案为：100（1+x）2．点评：&此题主要考查了根 据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公 式a（1±x）2=b来解题．
12．一个矩形的周长为16，设其一边的长为x，面积为S，则S关于x的函数解析式是　8x﹣x2　．
考点：&根据实际问题列二次函数关系式．分析：&首先求得矩形的另一边长，则面积=两边长的乘积，得出函数解析式．解答：&解：∵矩形的周长为16，其一边的长为x，∴另一边长为8﹣x，∴S=x（8﹣x）=8x﹣x2．故答案为：S=8x﹣x2．点评：&此题考查列二次函数关系式；得到矩形的另一边长是解决本题的突破点．
13．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=　a（1+x）2　．
考点：&根据实际问题列二次函数关系式．专题：&．分析：&由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来 ，由此即可确定函数关系式．解答：&解：∵一月份新产品的研发资金为a元，2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴2月份研发资金为a×（1+x），∴三月份的研发资金为y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x）2．故答案：a（1+x）2．点评：&此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题．
14．如图，李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD，用篱笆围成的另外三边总长为24m，设BC的长为x m，矩形的面积为y m2，则y与x之间的函数表达式为　 　．&
考点：&根据实际问题列二次函数关系式．分析：&根据题意可得y= （24﹣x）x，继而可得出y与x之间的函数关系式．解答：&解：由题意得：y= （24﹣x）x=﹣ x2+12x，故答案为：y=﹣ x2+12x．点评：&此题考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，属于基础题，解答本题关键是根据三边总长应恰好为24米，列出等式．
三．解答题（共8小题）15．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长率都是x，写出利润y与增长的百分率x之间的函数解析式，它是二次函数吗？如果是请写出二次项系数、一次项系数和常数项．
考点：&根据实际问题列二次函数关系式．分析：&根据增长率的问题，基数是a元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式．解答：&解：依题意，得y=a（1+x）2=ax2+2ax+a，是二次函数，二次项系数为：a、一次项系数为2a和常数项为a．点评：&此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果．
16．在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米．（1）求y与x之间的关系式．（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．
考点：&根据实际问题列二次函数关系式；解一元二次方程-因式分解法．专题：&几何图形问题；压轴题．分析：&（1）依题意可得总费用=镜面玻璃费用+边框的费用+加工费用，可得y=6x×30+45+2x2×120化简即可．（2）根据共花了195元，即玻璃的费用+边框的费用+加工费=195元，即可列出方程求解．解答：&解：（1）y=（2x+2x+x +x）×30+45+2x2×120=240x2+180x+45；
（2）由题意可列方程为240x2+180x+45=195，整理得8x2+6x﹣5=0，即（2x﹣1）（4x+5）=0，解得x1=0.5，x2=﹣1.25（舍去）∴x=0.5，∴2x=1，答：镜子的长和宽分别是1m和0.5m．点评：&本题 是一道一元二次方程的，解这类题关键是理解题意，建立恰当的关系式予以求解．
17．已知某商场一月份的利润是100万元，三月份的利润达到y万元，这两个月的利润月平均增长率为x，求y与x的函数关系式．
考点：&根据实际问题列二次函数关系式．分析：&本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），利润的平均月增长率为x，那么根据题意即可得出y=100（1+x）2．解答：&解：∵一月份的利润是100万元，利润月平均增长率为x，∴二月份的利润是100（1+x），∴三月份的利润是100（1+x）2，因此y=100（1+x）2．点评：&本题考查一元二次方程的应用，解决此类三 次变化问题，可利用公式a（1+x）2=c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．
18．某公园门票每张是80元，据统计每天进园人数为200人，经市场调查发现，如果门票每降低1元出售，则每天进园人数就增多6人，试写出门票价格为x（x≤80）元时，该公园每天的门票收入y（元），y是x的二次函数吗？
考点：&根据实际问题列二次函数关系式．分析：&根据已知得出门票价格为x（x≤80）元时，进而表示出进园人数得出即可．解答：&解：根据题意可得：y=x[200+6（80﹣x）]=﹣6x2+680x．点评：&本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出每天进园人数是解题关键．
19．已知在△ABC中，∠B=30°，AB+BC=12，设AB=x，△ABC的面积是S，求面积S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
考点：&根据实际问题列二次函数关系式．分析：&作△ABC的高AD，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AD= AB，再根据三角形的面积公式得出△ABC的面积= BC•AD，将相关数值代入即可．解答：&解：如图，作△ABC的高AD．在△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=30°，∴AD= AB= x，∴S=△ABC的面积= BC•AD= （12﹣x）• x=﹣ x2+3x，∴面积S关于x的函数解析式为S=﹣ x2+3x（x＞0）．&点评：&本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积，求出△ABC的高AD是解题的关键．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC、BC的长为方程x2﹣14x+a=0的两根，且AC﹣BC=2，D为AB的中点．（1）求a的值．（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取 值范围；②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．&
考点：&根据实际问题列二次函数关系式；解一元一次方程；根与系数的关系；三角形的面积；直角三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．专题：&；压轴题；动点型．分析：&（1）根据根与系数的关系求出AC+BC=14，求出AC和BC，即可求出答案；（2）根据勾股定理求出AB，s inB，过C作CE⊥AB于E，关键三角形的面积公式求出CE，I当0＜t≤1时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ= AC•BC﹣ AP•CE﹣ BQ•BPsinB，求出即可；II同理可求：当1＜t≤2.5时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ= ×8×6﹣ ×2t× ﹣ ×3×（10﹣2t）× =﹣ t+12；III当2.5＜t≤3时，S=﹣ t+ 12，IIII当3＜t＜4时，S= CQ•CPsin∠BCD= CQ•CPsin∠B= ×（6﹣3t）×（10﹣2t）× = t2﹣ t+24；②在整个运动过程中，只可能∠PQC=90°，当P在AD上时，若∠PQC=90°，cosB= = ，代入即可求出t；当P在DC上时，若∠PQC=90°，sinA=sin∠CPQ， = ，得到，&= 或 = ，求出t，根据t的范围1＜t＜4，判断即可．解答：&解：（1）∵AC、BC的长为方程x2﹣14x+a=0的两根，∴AC+BC=14，又∵AC﹣BC=2，∴AC=8，BC=6，∴a=8×6=48，答：a的值是48．
（2）∵∠ACB=90°， ∴AB= =10．又∵D为AB的中点，∴CD= AB=5，∵sinB= = ，过C作CE⊥AB于E，根据三角形的面积公式得： AC•BC= AB•CE，6×8=10CE，解得 ：CE= ，&过P作PK ⊥BQ于K，∵sinB= ，∴PK=PB•sinB，∴S△PBQ= BQ×PK= BQ•BPsinB，（I）当0＜t≤1时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ= AC•BC﹣ AP•CE﹣ BQ•BPsinB，= ×8×6﹣ ×2t× ﹣ ×3t×（10﹣2t）× ，= t2﹣ t+24，（ II）同理可求：当1＜t≤2.5时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ=& AC•BC﹣ AP•CE﹣ BQ•BPsinB，= ×8×6﹣ ×2t× ﹣ ×3×（10﹣2t）× ，=﹣ t+12；（III）当2.5＜t≤3时，S= CQ•PCsin∠BCD= ×3×（10﹣2t）× =﹣ t+12；（IIII）当3＜t＜4时，∵△PHC∽△BCA，∴ ，∴ = ，∴PH=8﹣1.6t，∴S= CQ•PH= CQ•PH= ×（12﹣3t）×（8﹣1.6t）= t2﹣ t+48．答：S与t之间的函数关系式是：S= t2﹣ t+24（0＜t≤1）或S=﹣ t+12（1＜t≤2.5），或S=﹣ t+12（2.5＜t≤3），或S= t2﹣ t+48．（3＜t＜4）．
②解：在整个运动过程中，只可能∠PQC=90°，当P在AD上时，若∠PQC=90°，cosB= = ，∴ = ，∴t=2.5，当P在DC上时，若∠PQC=90°，sinA=sin∠CPQ，&= ，&= ，或 = ，t= ，或t=2.5，∵1＜t＜4，∴t= ，t=2.5，符合题意，∴当t=2.5秒或 秒时，△PCQ为直角三角形．答：存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形，符合条件的t的值是2.5秒， 秒．&&&点评：&本题主要考查对锐角三角函数的定义，根据实际问题列二次函数的解析式，勾股定理，三角形的面积，直角三角形的性质，解一元一次方程，根与系数的关系等知识点的理解和掌握，把实际问题转化成数学问题是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．
21．用总长为L米的篱笆围成长方形场地，已知长方形的面积为60m2，一边长度x米，求L与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围．
考点：&根据实际问题列二次函数关系式．分析：&首先表示出矩形的另一边长，进而利用矩形面积公式求出即可．解答：&解：∵用总长为L米的篱笆围成长方形场地，一边长度x米，∴另一边长为：（ ﹣x）m，故x（ ﹣x）=60，则L= +2x，（0＜x＜ ）．点评：&此题主要考查了根据实际问题列函数关系式，表示出另一边长是解题关键．
22．某商品每件成本40元，以单价55元试销，每天可售出100件．根据市场预测，定价每减少1元，销售量可增加10件．求每天销售该商品获利金额y（元）与定价x（元）之间的函数关系．
考点：&根据实际问题列二次函数关系式．分析：&首先根据题意得出当定价为x元时，每件降价（55﹣x）元，此时销售量为[100+10（55﹣x）]件，根据利润=销售量×（单价﹣成本），列出函数关系式即可．解答：&解：由题意得，商品每件定价x元时，每件降价（55﹣x）元，销售量为[100+10（55﹣x）]件，则y=[100+10（55﹣x）]（x﹣40）=﹣10x2+1050x﹣26000，即每天销售该商品获利金额y（元）与定价x（元）之间的函数关系式为y=﹣10x2+1050x﹣26000．点评：&本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示销售量是解题的关键．&
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