概率论Z=X+Y分布课本讲解的疑惑课本：设X,Y是两个独立的随机变量.概率密度分别为fx(x),fy(y),求Z=X+Y概率密度.Fz(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}这些我都明白,但是下面我就不懂了.=∫∫fx(x)fy(y)dxdy（积分范围x+y≤z）想问怎么是fx(x)fy(y)怎么把边缘概率密度给乘起来表示X+Y≤z?另外不用卷积公式的话我觉得应该改成P{X+Y≤z}=∫∫f(x,y)dxdy没错吧.
小宁哥哥832
注意到X,Y是两个独立的随机变量,X,Y的联合分布概率密度f(x,y)=fx(x)fy(y)故：P{X+Y≤z}=∫∫f(x,y)dxdy=∫∫fx(x)fy(y)dxdy（积分范围x+y≤z）
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F(x,y,z)=e^z-xyz=0dz/dx=-Fx/Fz,dz/dy=-Fy/FzFx=- Fy=- Fz=e^z-xydz/dx=yz/(e^z-xy); dz/dy=xz/(e^z-xy);d^2z/dxdy=d(dz/dx)/dy=d(-Fx/Fz)/dy+d(-Fx/Fz)/dz*dz/dy=[z(e^z-xy)-yz*(-x)]/(e^z-xy)^2+[y(e^z-xy)-yz*e^z]/(e^z-xy)^2*xz/(e^z-xy)=ze^z/(e^z-xy)^2+xyz(e^z-ze^z-xy)/(e^z-xy)^3=[ze^(2z)-xyze^z+xyz(e^z-ze^z-xy)]/(e^z-xy)^3=[ze^(2z)-xyz(ze^z+xy)]/(e^z-xy)^3
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扫描下载二维码李永乐书上 卷积公式求Z=X-Y的概率密度f(z) f(z)= ∫ f(x,x-z)dx = ∫ f(x+z,x)dx 第二个等号那看不懂第一个等号那懂 求解答第二个等号后面怎么等于第一个等号后面的?
第二个等号其实就是对y的积分,x=y+z,因此积分为∫ f(y+z,y)dy由于定积分可以随便换积分变量因此写成∫ f(x+z,x)dx
那上面两个对x积分的式子 在使用的时候怎么用 有哪种情况下优先用哪种的说法吗 还是两个都是一样的通用？
两个都可以的，一样用。不过对于具体的问题，象概率题中通常随机变量是相互独立的，这样f(x,y)=fX(x)fY(y)，这里X，Y是下标，这时fX(x)、fY(y)这两个函数的难度可能会有差别，比如fX(x)这个函数难一些，那么写成fX(x)fY(x-z)可能会好了些，如果写成fX(x+z)fY(x)的话，可能会使一个难度大的函数变得更难了。
不过这些其实也不需要管，因为卷积公式在概率中本就是比较难的内容，一般来说题目所给的两个函数都不会难的。
我刚看了浙大版本的概率论 上面对于卷积公式Z=Y/X有证明
但是那个区域图我看不懂 又分Z的正负 又分X的正负 到底怎么分 那个G1 G2的范围 求解 非常感谢你 你真是高手啊！
不好意思，这个我帮不了你了，因为我的手头没有教材，只是靠脑子里的东西在答题。Z=Y/X的这个公式由于不常用，确实不记得了。
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圣诞哈皮镀寡9
F(Z)=F(X+Y)=F(X)+F(Y)-F(X)F(Y)=0这一步怎么来的？还有从F（Z）怎么跳到f（Z）的？谢谢啦
X,Y是独立变量，P(XUY)=P(X)+P(Y)-P(XY)=P(X)+P(Y)-P(X)P(Y)
相应F(X+Y)=F(X)+F(Y)-F(X)F(Y)
根据F(Z)计算结果，其密度函数f(z)~U(0,1),
f(z)= x+y-xy
(0<x=<1,0<y=<1)
F是分布函数，f是概率密度，它俩是个积分的关系，怎么看出f(z)~U(0,1)进而求出f的？
不好意思，前面的思路错了。下面是新的解法：
∵X~U(0,1),Y~U(0,1)
∴fX(x)=fY(x)=1, 0≤x<1
故Z=X+Y的概率密度为
fZ(z)=(-∞,∞)∫fX(x)fY(z-x)dx=(0,1)∫fY(z-x)dx
令t=z-x,则fZ(z)=(z-1,z)∫fY(t)dt
当0≤z-1≤1,fZ(x)=(z-1,1)∫dt=2-z
当0≤z≤1,fZ(x)=(0,z)∫dt=z
对于其他X取值,fZ(x)=0
∴Z=X+Y的概率密度为
fZ(z)=z, 0≤z≤1
2-z,1≤z≤2
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没错,就是这么证的,当然证法不唯一,利用全微分也是可以的.
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