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如何理解变系数微分方程
dy/dt=A×y+B×Y/C
A和B，C都是关于y的函数，这样是变系数，变参数微分方程吗？
如果A和B，C都是关于t的函数，是否也是变系数微分方程？请大家指点，我查了资料没有明确解释。
:D 最万能的方法，如果存在恩阶导，用泰勒展开解
要么用傅立叶展开 A和B，C都是关于y的函数，属于非线性常微分方程；A和B，C都是关于t的函数属于变系数常微分方程，方程本身仍是线性的！可以参考王高雄等编著的常微分方程。
我的意思是方程分类时先考虑线性与非线性，然后考虑变系数与常系数。 用laplace变换试试 谢谢大家。 所有这些都是变系数方程。若A和B，C都仅是关于t的函数，则是线性的变系数方程。matlab里怎么求解变系数微分方程,比如(k*x+b)*D4y=0,求y_百度作业帮
matlab里怎么求解变系数微分方程,比如(k*x+b)*D4y=0,求y
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x=3,y=0代入y=x+b得
0=3+bb=-3∴y=x-3x=-2,y=m代入得m=-2-3=-5x=-2,y=-5代入y=x分之kk=(-2)×(-5)=10用格子Boltzmann方法求解一类变系数偏微分方程--《吉林大学》2012年博士论文
用格子Boltzmann方法求解一类变系数偏微分方程
【摘要】：格子Boltzmann方法(lattice Boltzmann method, LBM)作为计算流体力学中的一种新型计算方法,与传统数值方法有着本质的区别,它是基于微观模型和介观动理学方程的介观数值计算方法.格子Boltzmann方法基于这种微观特性,具有清晰的物理背景,天然的并行特性,边界处理和程序实施简单等优点.因此该方法受到国内外研究者的密切关注,并且被应用于各个领域,特别是在许多传统数值方法难以胜任的领域,如在多孔介质、磁流体、生物流体、晶体生长、燃烧等问题上的研究取得了巨大的成功.近几年,格子Boltzmann方法被广泛应用于求解偏微分方程领域,并取得了很大的进展.
众所周知,变系数偏微分方程相比常系数偏微分方程更加复杂,更能深刻地描述自然界中复杂的真实物理过程,因此对变系数偏微分方程的研究具有十分现实的意义.本文的目标是应用格子Boltzmann方法研究一类带有变系数的偏微分方程.
本文首先回顾了格子Boltzmann方法的发展历程以及在求解偏微分方程方面的主要应用.介绍了格子Boltzmann方法的基本构造,并详细综述了BGK近似逼近的Boltzmann方程的离散过程,以及基于LBGK方程利用Chapman-Enskog展开恢复宏观Navier-Stokes方程的过程.著名的LBGK方程形式如下：其中fα,fαeq分别代表粒子的分布函数和局部平衡态分布函数,{e0,…,eb1}代表粒子的离散速度集合,△t表示时间步长.τ是无量纲松弛时间.本文在上述方程基础上提出了恢复一类变系数偏微分方程的演化方程,其形式如下：其中hα(x,t)是修正函数,在恢复宏观方程中起着修正宏观项和消除误差项的作用.
首先,利用演化方程(2)建立了恢复Fokker-Planck方程的格子Boltz-mann模型.一维形式的非线性Fokker-Planck方程为：二维形式的非线性Fokker-Planck方程为：在利用多尺度分析恢复宏观方程的过程中,对修正函数ha(x,t)实施了Chap man-Enskog一阶展开,用于修正宏观方程中的对流项.对于一维问题,采用D1Q3和D1Q5速度模型,分别恢复出具有二阶和三阶精度的Fokker-Planck方程.对于二维问题,采用D2Q9模型恢复出具有三阶精度的Fokker-Planck方程.利用数值算例验证了所提出模型的有效性和数值精度,有效地模拟了由Fokker-Planck方程控制的随机过程.并且数值结果表明我们所得到的数值解很好地与精确解相吻合.
利用演化方程(2)构造了Black-Scholes方程的格子Boltzmann模型.Black-Scholes方程用于描述经济学中的期权价值,其形式如下：这里V(S,t)代表欧式看涨(或看跌)期权的价值,S代表标的资产的价格,σ(S,t)0代表标的资产的波动率,r(S,t)为无风险利率,q(S,t)为红利率.σ(S,t),r(S,t)和q(S,t)都是S和t的函数.方程(3)的解提供了欧式期权的期权定价公式和一个复制未定权益的套利组合.期权定价问题是一个倒向的定解问题,以欧式期权为例其终值条件为：这里E为实施价格,T0是到期日.我们将方程(3)等价转化成下述形式的带有源项的偏微分方程：然后对方程(5)建立格子Boltzmann模型用于求解Black-Scholes方程.在多尺度分析过程中,对修正函数hα(x,t)实施了Chapman-Enskog二阶展开,目的是在恢复宏观过程中用于修正宏观对流项和源项.采用D1Q3速度模型恢复出具有二阶精度的Black-Scholes方程.利用数值算例有效地模拟了由Black-Scholes方程控制的欧式期权,两值期权和蝶式期权,验证了所提出模型的有效性和数值精度.我们所建立的模型具有一般性,可以用于求解一类带有变系数的二阶偏微分方程.
【关键词】：
【学位授予单位】：吉林大学【学位级别】：博士【学位授予年份】：2012【分类号】：O241.82【目录】：
中文摘要4-7ABSTRACT7-13第一章 绪论13-25 1.1 格子Boltzmann方法的发展概况13-15 1.2 格子Boltzmann方法的结构及应用进展15-19
1.2.1 格子Boltzmann方法的基本结构15-17
1.2.2 格子Boltzmann方法的应用17-19 1.3 偏微分方程的格子Boltzmann模型19-21 1.4 变系数偏微分方程的研究概况21-22 1.5 本文的工作22-25第二章 格子Boltzmann方法的原理和LBGK模型25-33 2.1 Boltzmann方程的离散25-29 2.2 LBGK模型以及宏观方程恢复29-33第三章 Fokker-Planck方程的格子Boltzmann模型33-61 3.1 Fokker-Planck方程的格子Boltzmann模型34-36 3.2 一维模型36-41
3.2.1 D1Q3模型38-39
3.2.2 D1Q5模型39-41 3.3 二维模型41-45 3.4 数值模拟45-58
3.4.1 一维算例46-55
3.4.2 二维算例55-58 3.5 结论58-61第四章 Black-Scholes方程的格子Boltzmann模型61-83 4.1 Black-Scholes方程61-63 4.2 Black-Scholes方程的格子Boltzmann模型63-67 4.3 数值模拟67-78
4.3.1 一般形式的Black-Scholes型方程67-70
4.3.2 欧式看涨期权70-74
4.3.3 两值期权74-76
4.3.4 蝶式期权76-78 4.4 结论78-83第五章 结论与展望83-85参考文献85-99攻博期间已完成及发表的学术论文99-101致谢101
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【参考文献】
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京公网安备74号关于变系数线性微分方程的求解--《山西师范大学学报(自然科学版)》1988年01期
关于变系数线性微分方程的求解
【摘要】：本文给出了高阶变系数线性微分方程具有形如e~(ax)Z型解的充要条件——定理1,此定理推广了文[1]、[3]的结论,由定理1导出的定理2和定理3及其推论与特例,为文[2]、[3]、[4]、[5]有关例题的求解,提供了简捷有效的方法;最后,利用Leibniz(莱布尼兹)公式推导出几类特殊的变系数线性微分方程的求解公式,并给出了通解表达式。
【作者单位】：
【关键词】：
【正文快照】：
我们考虑高阶变系数线性微分方程a。(x)夕‘.)+a。一:(x)g(“一’)+…+a。(x)g=f(x)记为Ea‘(x),《‘)二f(x)(1)其中a‘(x)任C,f(x)任C关系式i=0,l,2,…”。必‘a》=a ia‘(x)“0(2)·Ei-0称为方程(1)的特征方程。 为方便计,引入微分算子刀·吴的多项记号,于是方程‘,,可写为
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京公网安备74号二阶线性变系数齐次微分方程的三个求解公式
0引理引理函欧。（l）一一（IV卜“（）（其中待定的乡（JE‘‘。I）e。‘但二阶线性变系迎齐次做公斤程l定理——求解公式我们来考察（）式那么问；式变为／（；）＝。，于是一（t）一C；；＋Q，此时。（；）＝（；；＋C。；e－｝。。。。（这里C；、C。为任意常数；；。。。。－＋。。。。。－＋。。。。。＋b。。。～。。。。。。。。。。。。。。，。。ZU’（t）＋dZ（l－41，（）一4A：邓么（3）式变为…”（l）－／～（t）一O其特征方程为r‘－A’一0，r一土J其通解～（t）一CIe“＋CZe－“此时x（t）一（C；e。＋C。一勺e一件‘t。这里CI、CZ为任意常数。再依据引理及二阶线性做分方程好的结构定理而得定理1若Za’（t）＋a‘（t）－4b（t）一4A‘（又为任意常数），则l”当A一0时，方程（2）的通解为人t）一（C；I一HCz〕e一女、。，。，2”当又一0时，方程（2）的通解为x（I）一（Cle。一肝C。－。）e一士...&
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二阶常系数线性齐次微分方程的传统解法〔‘、2]是先建立特征方程,然后求出特征根,再由特征根的重数得出相应的解,若是复根须换成相应实解,步骤较多,方法较繁。由于二阶常系数线性方程在工程技术中有着广泛的应用,因而探索其简捷的求解方法有着重要的实际意义。笔者在这方面获得了一些成果,利用文【3]所述方法,推导出了二阶常系数线性齐次微分方程的求解公式。 设有二阶常系数线性齐次微分方程 ,’+久ly’+孟ly=0(l) 其中久,、几:均为实常数 引理l方程组才犷_一沪‘不”’一”{甲(x)夕’+又1夕+孟Zy=0(2)的解都是方程(l)的解。事实上方程(l)与方程犷+孟,丫一扒二)犷+尹(二)犷十孟Zy=0为同解方程,结论显然成立。引理2对方程(1)的某一个解y1,存在函数扒x),使得下列等式同时成立:证明构造方程组{公狱:;:.0+;2,,一。{森次粼*2,一。(3)(4)(5)(6)由引理1,该方程组的解都是方程(l)的解第12卷胜利油...&
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l定理与推论考察二阶变系数线。注齐次微分方程y’+a（xV’斗其中口（x）,b（x）EC.定理1若Za’＊）+a’（x）一’b（x）一A’1,1当v一4U时,方程＊）的通解为b（X）y一0一4U（2,。均为任意常数）坝y一（C;）+C。）e-SF。。d二1·2当尸卯时,方程（1）的通解为y一（C;e士\厂x+Ce-告V厂二z）e爿。。x,工1·3当尸0依据定理1的1.3.知方程的通解为、一（厂,C0f——.rAl厂,引n——J）e一引二”“”I—一n”———0一。且（?）ZX互口J一口＊“一4（一.I“””—“-“”4此处./一2.;t—a.依据定理1,（CICOSI上CSlfllka）,24a-＊。p。C,yo）当2—4“即“-了时,知方程的通解为y=（C;x+C。）eIJ血=（C;x+C,）e％（n）当24“即”百时,知方程的通解为,一。c;。。slnx+c。s。n广x。e-芋注文＊第694页10题,即已知方程xx”+2/+...&
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众知,为了求解二阶变系数非齐次线性微分方程:}+pl(t)一d矿x+蹦t)x=f(t)其中P l(t)、P 2(t)、f(t)∈C(I),I=[a,b] 应该求出它对应的齐次线性微分方程抬+pi㈩一鬻+刚t)x:0的两个线性无关的解。 不过,如果我们能求出(2)的一个非零解,设为x=叩。(t),则(2)的另一个tjx=cp。(t)线性无关的非零解即为exp(一』P l(t)dt)一一瓦可万一～_因此,要解决(1)的求解问题,关键红于求Ⅲ(2)的一个非零解。但是,一般米说,求出(2)的一个非零解是十分困难的。 Euler(欧拉)方程xn警+alx川专;0…+an邙誓+any=o (3)是一类特殊的n阶变系数齐次线性微分方程,利用自变量变换x=e‘,t=1nx,可把它化为n阶常系数齐次线性微分方程器“,告鲁一-.+bⅡ-。鲁礼扩0(4)其中b。,b:,…,b。是常数。这样,就圆满地解决了欧拉方程的求解问题。 由欧拉方程的求解方法得到...&
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引言二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是:x′′+px′+qx=f(t),(1)其中p、q∈.称2R(D)=D+pD+q为算子多项式,方程(1)可简记为R(D)x=f(t).若微分方程(1)中的自由项()e()ztmf t=Q t,则e().ztmx′′+px′+qx=Q t(2)其中0()mkm kkQ t a t==∑是m次多项式,(0,1,2,,)ka k=m∈、z=α+βi∈、i为虚数单位.若微分方程(2)的自由项中的z∈,即β=0,则e()tmx px qx Q tα′′+′+=,(3)若微分方程(1)的自由项()e()costmf t Q t tα=β或()e()sintmf t Q t tα=β,则e()costmx px qx Q t tα′′+′+=β,(4)或e()costmx px qx Q t tα′′+′+=β.(5)文献[1]中给出了微分方程(3)的求解公式,本文将其推广为微分方程(2)的求解公式...&
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二阶变系数线性非齐次微分方程y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)(1)在纯粹数学、应用数学、工程技术及力学、物理学等领域有着及其重要的位置。关于它的通解结构,有着十分完美的结论,但求解变系数微分方程却无一般方法。只有在一些特殊情况下(如文献[1]的常系数化等)才能够求出用初等函数表示的解。本文在方程(1)中的p(x),q(x)满足(如文献[2])r2+p(x)r+q(x)≡0(2)的条件下(其中r∈R),给出了二阶变系数线性非齐次微分方程通解的公式,并在此基础上进行了推广。设方程(1)的通解为y=u(x)v(x)uv即寻找两个函数u=u(x),v=v(x),使得y=uv为方程(1)的通解。求导得y′=u′v+uv′,y″=u″v+2u′v′+uv″将y,y′,y″代入(1)化简得uv″+(2u′+p(x)u)v′+(u″+p(x)u′+q(x)u)v=f(x)(3)首先寻找函数u=u(x)。在(3)中不妨令u″+p(x)u′...&
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