函数f（x）=ax3-6ax2+3bx+b，其图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象与y=1/3f′(x)+5x+m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围；（Ⅲ）是否存在点P，使得过点P的直线若能与曲线y=f（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．-乐乐题库
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函数f（x）=ax3-6ax2+3bx+b，其图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象与y=13f′(x)+5x+m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围；（Ⅲ）是否存在点P，使得过点P的直线若能与曲线y=f（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2011-资阳一模
分析与解答
习题“函数f（x）=ax3-6ax2+3bx+b，其图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象与y=1/3f′(x)+5x+m的图象有三个不同的交点，求...”的分析与解答如下所示：
（Ⅰ）求得函数的导数，利用函数在某一点处导数的几何意义：f'（2）=-3以及f（2）=5，列方程组求解参数．（Ⅱ）由（Ⅰ）中得到的函数解析式y=f（x）的图象与y=13f′(x)+5x+m的图象有三个不同的交点，转化为方程f（x）=13f′(x)+5x+m有三个不相等的实根，进一步转化为函数g（x）=f（x）-13f′(x)+5x+m的图象与x轴有三个不同的交点，于是利用函数导数可得新函数g（x）的极值，通过判断极值的符号可得结论．（Ⅲ）根据函数f（x）=x3-6x2+9x+3，可知极值点为A（1，7），B（3，3），进而证明线段AB中点P（2，5）在曲线y=f（x）上，且该曲线关于点P（2，5）成中心对称．
解：（Ⅰ）由题意得f'（x）=3ax2-12ax+3b，f'（2）=-3，∵图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0．∴x=2时，y=5，即f（2）=5，∴{12a-24a+3b=-38a-24a+6b+b=5即{4a-b=1-16a+7b=5解得a=1，b=3，∴f（x）=x3-6x2+9x+3．（4分）（Ⅱ）由f（x）=x3-6x2+9x+3，可得f'（x）=3x2-12x+9，∴13f′(x)+5x+m=13(3x2-12x+9)+5x+m=x2+x+3+m，则由题意可得x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三个不相等的实根，即g（x）=x3-7x2+8x-m的图象与x轴有三个不同的交点，g'（x）=3x2-14x+8=（3x-2）（x-4），则g（x），g'（x）的变化情况如下表．
x&(-∞，23)&23&(23，4)&4&（4，+∞）&g'（x）&+&0&-&0&+&g（x）&↗&极大值&↘&极小值&↗&则函数f（x）的极大值为g(23)=6827-m，极小值为g（4）=-16-m．（6分）y=f（x）的图象与y=13f′(x)+5x+m的图象有三个不同交点，则有：{g(23)=6827-m＞0g(4)=-16-m＜0解得-16＜m＜6827．（8分）（Ⅲ）存在点P满足条件．（9分）∵f（x）=x3-6x2+9x+3，∴f'（x）=3x2-12x+9=3（x-1）（x-3），由f'（x）=0，得x1=1，x2=3．当x＜1时，f'（x）＞0；当1＜x＜3时，f'（x）＜0；当x＞3时，f'（x）＞0．可知极值点为A（1，7），B（3，3），线段AB中点P（2，5）在曲线y=f（x）上，且该曲线关于点P（2，5）成中心对称．证明如下：∵f（x）=x3-6x2+9x+3，∴f（4-x）=（4-x）3-6（4-x）2+9（4-x）+3=-x3+6x2-9x+7，∴f（x）+f（4-x）=10．上式表明，若点A（x，y）为曲线y=f（x）上任一点，其关于P（2，5）的对称点A（4-x，10-y）也在曲线y=f（x）上，曲线y=f（x）关于点P（2，5）对称．故存在点P（2，5），使得过该点的直线若能与曲线y=f（x）围成两个封闭图形，这两个封闭图形的面积相等．…（12分）
本题考查函数的导数以及导数的几何意义，利用导数求解函数的单调性和极值问题，考查了函数的对称性，考查了函数与方程的思想，转化与化归的思想，综合性强．
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函数f（x）=ax3-6ax2+3bx+b，其图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象与y=1/3f′(x)+5x+m的图象有三个不同...
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经过分析，习题“函数f（x）=ax3-6ax2+3bx+b，其图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象与y=1/3f′(x)+5x+m的图象有三个不同的交点，求...”主要考察你对“利用导数研究曲线上某点切线方程”
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利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究曲线上某点切线方程．
与“函数f（x）=ax3-6ax2+3bx+b，其图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象与y=1/3f′(x)+5x+m的图象有三个不同的交点，求...”相似的题目：
已知函数f（x）=2x3+mx2+（1-m）x，（x∈R）．（1）当m=1时，解不等式f′（x）＞0；（2）若曲线y=f（x）的所有切线中，切线斜率的最小值为-11，求m的值．
已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45&，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．&&&&
已知函数y=2x3-3x2-12x+8．（Ⅰ）求函数在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间[-2，3]上的最大值和最小值．
“函数f（x）=ax3-6ax2+3bx+...”的最新评论
该知识点好题
1抛物线C1：y=12px2(p＞0)的焦点与双曲线C2：x23-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（　　）
2已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（　　）
3曲线y=-x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（　　）
该知识点易错题
1曲线y=-x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（　　）
2曲线y=xx+2在点（-1，-1）处的切线方程为（　　）
3曲线y=x3-2x+1在点（1，0）处的切线方程为（　　）
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直线y=1与曲线y=-x2+2所围成图形的面积为______．
题型：填空题难度：偏易来源：不详
先求出y=1与曲线y=-x2+2的交点横坐标，得到积分下限为-1，积分上限为1，直线y=1与曲线y=-x2+2围图形的面积S=∫-11（2-x2）dx=（2x-13x3）|-11=103∴直线y=1与曲线y=-x2+2所围成图形的面积为103故答案为：103．
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据魔方格专家权威分析，试题“直线y=1与曲线y=-x2+2所围成图形的面积为______．-数学-魔方格”主要考查你对&&定积分的概念及几何意义&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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定积分的概念及几何意义
定积分的定义：
设函数f（x）在[a，b]上有界（通常指有最大值和最小值），在a与b之间任意插入n-1个分点，，将区间[a，b]分成n个小区间（i=1，2，…，n），记每个小区间的长度为（i=1，2，…，n），在上任取一点ξi，作函数值f（ξi）与小区间长度的乘积f（ξi）&（i=1，2，…，n），并求和，记λ=max{△xi；i=1，2，…，n }，如果当λ→0时，和s总是趋向于一个定值，则该定值便称为函数f(x)在[a，b]上的定积分，记为，即，其中，&称为函数f(x)在区间[a，b]的积分和。
定积分的几何意义：
定积分在几何上，当f（x）≥0时，表示由曲线y=f（x）、直线x=a、直线x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积；当f（x）≤0时，表示由曲线y=f（x）、直线x=a、直线x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积的负值；一般情况下，表示介于曲线y=f（x）、两条直线x=a、x=b与x轴之间的个部分面积的代数和。 定积分的性质：
（1）（k为常数）； （2）； （3）（其中a＜c＜b）。 &定积分特别提醒：
①定积分不是一个表达式，而是一个常数，它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，例如：&②定义中区间的分法和ξ的取法是任意的，
发现相似题
与“直线y=1与曲线y=-x2+2所围成图形的面积为______．-数学-魔方格”考查相似的试题有：
461004559709863454572976864010773959求曲线y²=x与直线y=x-2所围成封闭图形的面积_百度知道
求曲线y²=x与直线y=x-2所围成封闭图形的面积
提问者采纳
曲线y²=x与直线y=x-2的交点为(1,-1)(4,2)化为定积分∫[-1,2][y+2-y^2]dy=(y^2/2+2y-y^3/3)[-1,2]=2+4-8/3-1/2+2-1/3=9/2
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出门在外也不愁设函数f（x）=ax2+bx+3/4在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线2x+4y-9=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求曲线y=f（x）和直线2x+4y-9=0所围成的封闭图形的面积；（Ⅲ）设函数g（x）=ex/f(x)，若方程g（x）=m有三个不相等的实根，求m的取值范围．-乐乐题库
& 利用导数研究函数的极值知识点 & “设函数f（x）=ax2+bx+3/4在x...”习题详情
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设函数f（x）=ax2+bx+34在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线2x+4y-9=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求曲线y=f（x）和直线2x+4y-9=0所围成的封闭图形的面积；（Ⅲ）设函数g（x）=exf(x)，若方程g（x）=m有三个不相等的实根，求m的取值范围．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“设函数f（x）=ax2+bx+3/4在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线2x+4y-9=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求曲线y=f（x）和直线2x+4y-9=0所围成的封...”的分析与解答如下所示：
（Ⅰ）因为”函数在x=0处取得极值“，则有f&′(0)=0，再由“曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线2x+4y-9=0相互垂直”，则有f&′(1)=2，从而求解；（Ⅱ）利用微积分基本定理来求曲线y=f（x）和直线2x+4y-9=0所围成的封闭图形的面积；（Ⅲ）由（Ⅰ）可得到：g(x)=exx2+34，令g&′(x)=0，有x2-2x+34=0，则由其两根来构建单调区间求出极值，只需使m大于极小值且小于极大值即可．
解：（Ⅰ）因f（x）=ax2+bx+34，故f′（x）=2ax+b又f（x）在x=0处取得极限值，故f&′(0)=0，从而b=0由曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线2x+4y-9=0相互垂直可知该切线斜率为2，即f&′(1)=2，有2a=2，从而a=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2+34，联立直线与曲线方程得到x=-32或x=1故曲线y=f（x）和直线2x+4y-9=0所围成的封闭图形的面积为S=∫1-32(-12x+94)-(x2+34)dx=∫1-32(-x2-12x+32)dx=(-13x3-14x2+32x)|1-32=12548；（Ⅲ）g&′(x)=exo(x2+34)-2xoex(x2+34)2=exo(x2-2x+34)(x2+34)2令g&′(x)=0，得到x1=12，x2=32根据x1，x2列表，得到函数的极值和单调性
x&(-∞，12)&12&(12，32)&32&(32，+∞)&f&&′（x）&+&0&-&0&+&f（x）&增&极大值&减&极小值&增&∴函数g（x）的极大值为&g(12)=e&12，函数g（x）的极小值为g(32)=13e&32&∴13e&32＜m＜e&12
本题主要考查导数的几何意义，函数的极值及函数的单调性．综合性较强，充分考查了函数方程不等式三者的内在联系与转化．
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设函数f（x）=ax2+bx+3/4在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线2x+4y-9=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求曲线y=f（x）和直线2x+4y-9=0...
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经过分析，习题“设函数f（x）=ax2+bx+3/4在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线2x+4y-9=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求曲线y=f（x）和直线2x+4y-9=0所围成的封...”主要考察你对“利用导数研究函数的极值”
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利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的极值．
与“设函数f（x）=ax2+bx+3/4在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线2x+4y-9=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求曲线y=f（x）和直线2x+4y-9=0所围成的封...”相似的题目：
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（x∈R，a≠0），-2是f（x）的一个零点，又f（x）在x=0处有极值，在区间（-6，-4）和（-2，0）上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反．（1）求c的值；（2）求的取值范围；（3）当b=3a时，求使A={y|y=f（x），-3≤x≤2}，A?[-3，2]成立的实数a的取值范围．&&&&
已知函数f（x）满足xf′（x）+f（x）=exx，f（1）=e，则当x＞0时，f（x）（　　）有极大值，无极小值有极小值，无极大值既有极大值，又有极小值既无极大值也无极小值
已知函数f（x）=ax3+bx2-c（其中a，b，c均为常数，x∈R）．当x=1时，函数f（x）的极植为-3-c．（1）试确定a，b的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）若对于任意x＞0，不等式f（x）≥-2c2恒成立，求c的取值范围．&&&&
“设函数f（x）=ax2+bx+3/4在x...”的最新评论
该知识点好题
1已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（　　）
2设函数f（x）=2x+lnx&则&&&&&（　　）
3设函数f（x）=xex，则（　　）
该知识点易错题
1设a为实数，函数f（x）=ex-2x+2a，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当a＞ln2-1且x＞0时，ex＞x2-2ax+1．
2己知函数f（x）=x2e-x（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．
3设直线x=m与函数f（x）=x2+4，g（x）=2lnx的图象分别交于点M、N，则当|MN|达到最小时m的值为（　　）
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设D是由曲线y=1-x^2,直线y-x=1及x轴所围成的平面图形,(1)求D的面积A,(2)求D绕x轴
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（1）A=∫(-1,0) x+1 dx
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解:积分求得 1)=1/6第二个没问全.
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