如图，四边形ABCD中，角ABC=角ADC=90度，M,N分别是AC,BD中点，那么MN垂直BD成立吗？请说明理由
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成立。
连接BM，DM，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得BM=DM=AC/2
再由三线合一得MN垂直BD&
证明：连接BM，DM∵∠ABC=∠ADC=90°M,N分别是AC,BD的中点∴BM=1/2AC，DM=1/2AC（直角三角形斜边中线等于斜边一半）∴MB=MD∵N是BD中点∴MN⊥BD（等腰三角形三线合一）或者证明：连接BM、DM∵∠ABC＝90,M是AC的中点∴BM＝AC/2& （直角三角形中线特性）∵∠ADC＝90,M是AC的中点∴DM＝AC/2∴BM＝DM∵N是BD的中点∴MN⊥BD& （三线合一）
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当前分类官方群专业解答学科习题，随时随地的答疑辅导已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD为边AB上的中线，若E是射线CA上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，连接CG并延长交直线AB于点H．
（1）如图①，若E在边AC上．试说明：①AE=CF；&②CG=GD；
（2）如图②，若E在边CA的延长线上．（1）中的两个结论是否仍成立？（直接写出成立结论的序号，不要说明理由）
（3）若AE=3，CH=5，求边AC的长．
（1）①通过全等三角形（△AED≌△CFD）的对应边相等证得AE=CF；
②根据Rt△ECF和Rt△EDF斜边上中线的性质来证明CG=GD；
（2）①②都成立．思路同（1）；
（3）求出EF的长是5，在Rt△ECF中，CF=3，根据勾股定理求出EC，即可求出AC．
（1）证明：①如图①．
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°．
∵CD为边AB上的中线，
∴CD⊥AB，AD=CD=BD，
∴∠DCB=∠B=45°，
∴∠A=∠DCB，
即∠A=∠DCF．
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠EDC=90°，∠CDF+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△AED与△CFD中，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF；&
②∵在△ABC中，∠ACB=90°，G为EF的中点，
∵DF⊥DE，G为EF的中点，
（2）解：①②还成立．
①AE=CF，证明如下：
如图②，∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°．
∵CD为边AB上的中线，
∴CD⊥AB，AD=CD=BD，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠EAD=∠180°-∠CAD=135°，∠FCD=180°-∠BCD=135°，
∴∠EAD=∠FCD．
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠HDF=∠CDF+∠HDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△AED与△CFD中，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF；&
②CG=GD．证明如下：
Rt△EFC中，点G是EF边的中点，则CG=EF．
在Rt△EFD中，点G是EF边的中点，则GD=EF．
（3）解：AC=7或1，理由是：
∵AC=BC，CD是AB边上的中线，
∴CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CHD+∠DCH=90°，∠CDG+∠HDG=90°，
∵由（1）知DG=CG，
∴∠CDG=∠GCD，
∴∠GDH=∠GHD，
∴CG=GH=CH=×5=2.5，
∵∠EDF=90°，G为EF中点，
∴由（1）知AE=CF，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：EC=2-32
∴AC=AE+CE=3+4=7；
如图②，同理求出EF=5，CF=3，
在Rt△ECF中，根据勾股定理求出CE=4，
则AC=CE-AE=4-3=1，
综合上述：AC=7或1．重叠部分是一个等腰直角三角形,求出其直角边,即可求解;作,分别于点,,证明即可求得;根据中的结论,可以直接写出.
,,,则的面积是;作,分别于点,,又,,,,,则四边形是正方形.,,直角三角板绕点按顺时针方向旋转度,此条件下重叠部分的面积等于正方形的面积是.的结论仍成立,面积不会变.
正确理解题目中叙述的旋转过程,正确作出题目中的两条辅助线是解决本题的关键.
3978@@3@@@@旋转的性质@@@@@@265@@Math@@Junior@@$265@@2@@@@图形的旋转@@@@@@53@@Math@@Junior@@$53@@1@@@@图形的变化@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3879@@3@@@@全等三角形的判定与性质@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3898@@3@@@@等腰直角三角形@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
@@53@@7##@@52@@7##@@52@@7
第三大题，第8小题
求解答 学习搜索引擎 | 如图,已知直角三角形ABC中,AB=BC,AC=2,把一块含{{30}^{\circ }}角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为DF),点C在DE上点B在DF上.(1)求重叠部分\Delta BCD的面积;(2)如图,将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转30度,DE交BC于点M,DF交AB于点N,\textcircled{1}请说明DM=DN;\textcircled{2}在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗?若发生变化,请求出重叠部分的面积,若不发生变化,请说明理由;(3)如图,将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转α度(0<α<90),DE交BC于点M,DF交AB于点N,则DM=DN的结论仍成立吗?重叠部分\Delta DMN的面积会变吗?(请直接写出结论不需说明理由)某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1）△ABC中，M是BC的中点，P是射线MA上的点，设AP/PM=k，若∠BPC=90°，则称k为勾股比．（1）如图（1），过B、C分别作中线AM的垂线，垂足为E、D．求证：CD=BE．（2）①如图（2），当=1，且AB=AC时，AB2+AC2=____BC2（填一个恰当的数）．②如图（1），当k=1，△ABC为锐角三角形，且AB≠AC时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由；③对任意锐角或钝角三角形，如图（1）、（3），请用含勾股比k的表达式直接表示AB2+AC2与BC2的关系（写出锐角或钝角三角形中的一个即可）．-乐乐题库
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某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1）△ABC中，M是BC的中点，P是射线MA上的点，设APPM=k，若∠BPC=90°，则称k为勾股比．（1）如图（1），过B、C分别作中线AM的垂线，垂足为E、D．求证：CD=BE．（2）①如图（2），当=1，且AB=AC时，AB2+AC2=2BC2（填一个恰当的数）．②如图（1），当k=1，△ABC为锐角三角形，且AB≠AC时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由；③对任意锐角或钝角三角形，如图（1）、（3），请用含勾股比k的表达式直接表示AB2+AC2与BC2的关系（写出锐角或钝角三角形中的一个即可）．
本题难度：一般
题型：填空题&|&来源：网络
分析与解答
习题“某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1）△ABC中，M是BC的中点，P是射线MA上的点，设AP/PM=k，若∠BPC=90°，...”的分析与解答如下所示：
（1）根据中点的定义可得BM=CM，然后利用“角角边”证明△BME和△CMD全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）①②根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PD=12BC，然后求出BC=AD，再根据勾股定理列式其解即可；③设EM=DM=a，表示出AE、AD，然后根据勾股定理列式表示出AB2、AC2，再求出AB2+AC2，再次利用勾股定理列式求出BE2+x2=CD2+x2=14BC2，然后根据勾股比用PM表示出AM，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PM=12BC，然后分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况代入进行计算即可得解．
（1）证明：∵M是BC的中点，∴BM=CM，∵BE⊥AM于E，CD⊥AM于D，∴∠E=∠CDM=90°，在△BME和△CMD中，{∠E=∠CDM=90°∠BME=∠DMCBM=CM，∴△BME≌△CMD（AAS），∴CD=BE；（2）①AB2+AC2=2.5BC2．理由如下：∵AM是△ABC的中线，∴PM=BM=CM=12BC，∵k=1，∴AP=PM，∴AM=2PM=BC，在Rt△ABM中，AB2=AM2+BM2=BC2+14BC2=54BC2，在Rt△ACM中，AC2=AM2+CM2=BC2+14BC2=54BC2，∴AB2+AC2=54BC2+54BC2=2.5BC2；即AB2+AC2=2.5BC2；②结论仍然成立．设EM=DM=a，则AE=AM+a，AD=AM-a，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=（AM+a）2+BE2=AM2+2AMoa+a2+BE2，在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2=（AM-a）2+CD2=AM2-2AMoa+a2+CD2，∴AB2+AC2=2AM2+（a2+BE2）+（a2+CD2），∵BE⊥AM于E，CD⊥AM于D，∴∠E=∠CDM=90°，∴a2+BE2=BM2=14BC2，a2+CD2=CM2=14BC2，∴AB2+AC2=2AM2+12BC2，∵APPM=1，∴AP=PM，∵∠BPC=90°，AM是△ABC的中线，∴PM=12BC，若△ABC是锐角三角形，则AM=AP+PM=PM+PM=（1+1）PM=BC，∴AB2+AC2=2×BC2+12BC2=52BC2，即AB2+AC2=2.5BC2；③结论：锐角三角形：AB2+AC2=k2+2k+22BC2，钝角三角形：AB2+AC2=k2-2k+22BC2，理由如下：设EM=DM=a，则AE=AM+a，AD=AM-a，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=（AM+a）2+BE2=AM2+2AMoa+a2+BE2，在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2=（AM-a）2+CD2=AM2-2AMoa+a2+CD2，∴AB2+AC2=2AM2+（a2+BE2）+（a2+CD2），∵BE⊥AM于E，CD⊥AM于D，∴∠E=∠CDM=90°，∴a2+BE2=BM2=14BC2，a2+CD2=CM2=14BC2，∴AB2+AC2=2AM2+12BC2，∵APPM=k，∴AP=kPM，∵∠BPC=90°，AM是△ABC的中线，∴PM=12BC，若△ABC是锐角三角形，则AM=AP+PM=kPM+PM=（k+1）PM=k+12BC，∴AB2+AC2=2×（k+12BC）2+12BC2=k2+2k+22BC2，即AB2+AC2=k2+2k+22BC2；若△ABC是钝角三角形，则AM=PM+AP=PM-kPM=（1-k）PM=1-k2BC，AB2+AC2=2×（1-k2BC）2+12BC2=k2-2k+22BC2，即AB2+AC2=k2-2k+22BC2．
本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，读懂题目信息，在不同的直角三角形中利用勾股定理列式用AM2表示出AB2+AC2是解题的关键，也是本题的难点．
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某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1）△ABC中，M是BC的中点，P是射线MA上的点，设AP/PM=k，若∠BPC...
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经过分析，习题“某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1）△ABC中，M是BC的中点，P是射线MA上的点，设AP/PM=k，若∠BPC=90°，...”主要考察你对“勾股定理”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=c2-b2，b=c2-a2及c=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
与“某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1）△ABC中，M是BC的中点，P是射线MA上的点，设AP/PM=k，若∠BPC=90°，...”相似的题目：
如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=2，点B在直线L上，点A到直线L的距离AE=3，则点C到直线L的距离CF为&&&&．
如图，AC⊥CE于C，AD=BE=13，点B、D分别在AC、EC上，且BC=5，DE=7，则AC=&&&&．
如图，边长为2的正方形PQBM被分成四个小正方形．连接AB，BC，CA．（1）求AB的长．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（2）求△ABC的面积．（3）求△ABC边AB上的高的长．&&&&
“某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐...”的最新评论
该知识点好题
1同一平面内有A、B、C三点，A、B两点相距5cm，点C到直线AB的距离为2cm，且△ABC为直角三角形，则满足上述条件的点C有&&&&
2有正三角形ABC，边长为2．D、E分别是AB、AC的中点，则梯形BCED面积为&&&&
3如图，正方形ABCD边长为2，从各边往外作等边三角形ABE、BCF、CDG、DAH，则四边形AFGD的周长为&&&&
该知识点易错题
1同一平面内有A、B、C三点，A、B两点相距5cm，点C到直线AB的距离为2cm，且△ABC为直角三角形，则满足上述条件的点C有&&&&
2有正三角形ABC，边长为2．D、E分别是AB、AC的中点，则梯形BCED面积为&&&&
3在△ABC中，∠A=30°，AB=4，BC=√3，则∠B为&&&&
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延长AB场福冠核攉姑圭太氦咖，CD交于O可得△AOC是等腰三角形，CD=1/2OC而△COB≌△AEBAE=CO则CD=1/2AE
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