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质量工程课件5
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淘豆网网友近日为您收集整理了关于北京理工大学数值分析课件的文档，希望对您的工作和学习有所帮助。以下是文档介绍：问题:求解方程组=+++=+++=+++nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa............ 矩阵表示: bAx =第二章线性方程组的直接解法其中=nnnnnnaaaaaaaaaA......... MMMM=nxxxxM =nbbbbM .方程组存在唯一解bAx =线性方程组Cramer法则:det( )A计算需次乘法运算,n =直接方法det( )det( )iiAxA=( ) !n n ×
/需次运算,百亿次秒,数千年det( ) ,A ≠约定§ 消元法基本思想:将方程组化为同解的上三角形方程组然后反序求解逐次消去变量,
.........n nn nnn n na x a x a x ba x a x ba x b+ + + =+ + = =什么形式的方程组容易求解?消元过程回代过程. Gauss消元法=+==++
xxxxxxxx例:求解解:消元===++
xxxxxxx===++
xxxxxx= x= ]|[ bA→ → )()()( →×回代得阵表示消元过程也可用增广矩)()()( →+)()()( →× )()()( →+记消元过程: il =记),,()()(
nili i L=×=++=++=+++)()()()()()()()()()(.........nnnnnnnnnbxaxabxaxabxaxaxa得等价方程组,第一次消元,)( ≠a设=+++=+++=+++nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa............ bAx =一般情形() () () (), , ,ij ij i iA A b b a a b b= = = =其中()()iaa:简记为其中:()ija =()ib =),,,,( nji L==++=++=+++)()()()()()()()()()(.........nnnnnnnnnbxaxabxaxabxaxaxa得等价方程组() i jl a() () i ib l b(
)A x b=()ija)()()(,)()()(,)(,)(,......knnknnkkknkknkkknknkkkkkkkkkbxaxaxabxaxaxa=+++=+++++++++++LLL次消元后经过 k=+++=+++++=++++++++++++..................)()()(,)()()()(,)()()()()(,)()()(kknkknkkkkkkkknnkkkknnkkkkbxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxaxa=+++=+++++=++++++++++++..................)()()(,)()()()(,)()()()()(,)()()(kknkknkkkkkkkknnkkkknnkkkkbxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxaxa得( ),,...,)()( nkkilki ik ++=×次消元:第k ,)(≠kkka设 ikl =记)()()(,)()()(,)(,)(,......knnknnkkknkknkkknknkkkkkkkkkbxaxaxabxaxaxa=+++=+++++++++++LLL)()()(,)()(,)(,......+++++++++++++=++=++knnknnkkknkknknkkkkkbxaxabxaxaLLL( )( )kikkkkaaPrinted with FinePrint - purchase at .简记为: )()( ++= kkbxA其中)()()( kkjikkijkij alaa =+)()()( kkikkiki blbb =+),,,( nkji L+=)( n 次消元后,方程组化成)()( nnbxA =其中() () ()
( ).........nn nnnna a aa aAa
()()( ) ( )nnnbbbb
M回代过程( )( )nnn nnnbxa= ),,,( L= nnk() () ()
( ).........nn nnnna a aa aAa
()()( ) ( )nnnbbbb
M( ) ( )( )nk kk kl ll kk kkkb a xxa= +=∑.( )于是有算法见课本高斯消元法的乘除计算量消元过程( )n k=+++=+++=+++=+++++=++++++++++++++++++++)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(...........................knnknnkknkkknkkknknkkkkkkkkkkknkknkkkkkkkknnkkkknnkkkkbxaxaxabxaxaxabxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxaxak第次: ik ikl l k算, 乘第行消去一个系数用次乘?( )n k nk=∑( +)n k( )n k + k n 共需次消元?即从到( ) ( ) n nn n=
+ 共消去个系数?)()( + nnnn回代过程)()(+=+∑=nnknnk)(
nOnnnN =+=注:消元运算量回代运算量总运算量注:可以进行Gauss消去法的一个充分条件Gauss消去法的计算量较Gramer法则的计算量少得多, 如n=时,运算次数为( ) ( ) ( )nk k kk k kl l kkl kx b a x a= +=
∑:, ,,.Ax b A=定理方程组如果的所有顺序主子式均不为零则可用高斯消元法方程化为三角形方程组且有唯一解( ) ( ,, , )kkka k n n≠= 主元素 L)()()()det( kkkk aaaA L=注:可以进行Gauss消去法的一个充分条件不进行消元是否可以判断?有下述定理
. . . . . .x xx x+ =+ =例:求解方程组(保留四位小数)解:直接消元. . . . . .
== xx真解:注:. . .
× ×数值稳定性差, .x =
,l = ×( )kkka当很小时,会导致错误的结果=+=+... ... xxxx解:先将方程组变形再消元回代得 .,.
== xx.. ...消元... ...变形... ...启示:可以通过交换方程的次序使对角元素尽可能大,从而避免“小”数分母提高计算精度。===〉主元素法()列主元素法基本思想:. 主元素法在每次消元前,在要消去未知数的系数中找到绝对值最大的系数作为主元,通过对换行将其换到对角线上,然后进行消元.Printed with FinePrint - purchase at .k如:第次消元之前)()()(knkkkikkkaaakMM=+++=+++=+++=+++++=++++++++++++++++++++)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(...........................knnknnkknkkknkkknknkkkkkkkkkkknkknkkkkkkkknnkkkknnkkkkbxaxaxabxaxaxabxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxaxa( )( , ,... )kika i k k n= +在中找绝对值最大的元,( ) ( )( ,... )kk ki k ika a i k n≥=若:kk i则先对换增广矩阵的行,再消元实质:每次消元前,先交换方程的顺序,使对角元素最大||max|| iknikki aa k ≤≤=不需换行,若,kik =消元之前需要选主元列对于第),,,,( nkk L=消去法的区别:列主元法和 Gaussdet,, == Aa kik说明若,),,( kikjjikbbnkjaaikkk= L行交换行和第否则换行,即第()全主元素法能的大)。使对角线上的元素尽可的次序换方程的位置及变量实质:每次消元之前交然后消元。主元位置到行和换列将最大元素换中选最大元素,通过换次消元前,在系数基本思想:第,(,),...,()(kkkijankjiak ==+++=+++=+++=+++++=++++++++++++++++++++)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(...........................knnknnkknkkknkkknknkkkkkkkkkkknkknkkkkkkkknnkkkknnkkkkbxaxaxabxaxaxabxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxaxa例: 用主元素法求解线性方程组计算过程保留三位小数,方程的精确解为 x*= , x*=, x*=.=
xxx 解: 按列主元素法,求解过程如下 ... . . ...
.. ... ===..,.,.
xxx消元回代得 解: 按全主元素法,求解过程如下 ... . ... . .. . ===..,.,.
xxx回代得x x总结:直接Gauss消去,列主元素法,全主元素法计算时间最短,精度最差:直接Gauss消去计算时间最长,精度最高:全主元素法实践表明:列主元素法具有良好的数值稳定,且计算量与远低于全主元素法,所以列主元素法是求解小型稠密方程组的最好办法之一。复习初等矩阵=
),( OjiP:),( AjiP 行交换次序行和第的第表示 jiA列交换次序列和第的第表示 jiA:),( jiAP= ))(( cciPOO:))(( AciP ciA 行乘以的第表示ciA 列乘以的第表示:))(( ciAP§ 直接三角分解法jiIjiP ,),( 也记做也称为初等置换矩阵,Printed with FinePrint - purchase at .复习初等矩阵=
))(,(kkjiP O:)),(( AjkiP列加到第列乘以的第表示 ikjA:)),(( jkiAP行加到第行乘以的第表示 jkiA. 高斯消元法的矩阵表示)()(bxAGauss =消元法解方程组用()()
() , iiaa la≠=设记),,()()(
nili i L=×=++=++=+++)()()()()()()()()()(.........nnnnnnnnnbxaxabxaxabxaxaxa得() ( )[ , ]A b
LMOMMlLLMOMM
nl,第一次消元第一次消元[ ] [ ])()()()( ,, bAbAL =
M M M O ML记做()
(), ,, ,iial i na= = L (
LM M O M M M O ML L
LM M O M M M O ML L第k次消元[ ] [ ])()()()(., ++= kkkkk bAbAL=+
LOMMOnkkkkllLnkiaal kkkkikik,,)()(L+==消元过程: [ ] [ ])()( ,, nnnn bAbALLL = L=+
LOMMOnkkkll
+=LOMMOnkkkkllL[ ]
, ,n nnA b L L L A b
L消元过程: [ ] [ ])()( ,, nnnn bAbALLL = L
nnnnn lllllllLMMMO L=记做[ ]
, ,n nnA b L L L A b
L消元过程: [ ] [ ])()( ,, nnnn bAbALLL = L( ) ( ),n nL A b =
LULAA n记作== )(
nnnnn lllllllLMMMO L=记做消元过程: [ ] [ ])()( ,, nnnn bAbALLL = LA L U把分解成单位下三角阵和上三角阵的乘积Doolittle LU称为分解,或分解[ ]
, ,n nnA b L L L A b
L( ) ( ),n nL A b =
LULAA n记作== )(
n n nll lLl l l
LLLM M M OL其中
nnnnnnu u u uu u uu uU Au
LLLM M M O ML . 矩阵的直接三角分解 .iΑ n ΑΑ(i ...n ) ΑDoolittle Α LU= =定理:设为阶方阵,若的顺序主子式均不为零,则矩阵存在唯一的分解,即:Gauss消元过程,Gauss :消元的一个充分条件A事实上,对于矩阵有( )( ,,... ).kkka k n≠=A等价于把矩阵进行三角分解证明:略Printed with FinePrint - purchase at .A LU如何对进行分解? A LU=方法:利用Gauss消元
() () ( )nnnnnna a a aa a aa aa
nnnnnu u u uu u uu uu
LLLM M M O ML
n n nll ll l l
LLLM M M OLL为单位下三角矩阵, ( )( )nU A= 为上三角矩阵
nnnn n n nna a a aa a a aa a a aa a a a
LLLM M M O ML ,
,iial i na= ≤≤( )( ),kikik kkkala= k i n+ ≤≤, ,k n= L方法: 矩阵相乘比较=nnnnnnnnnnnnnnnnuuuuuuuuuullllllaaaaaaaaaaaaaaaaLMOMMMLLLLOMMMLLLLMOMMMLLL
jL U j a=的第一行与的列的内积
j ju a=iL i U a=的行与的第一列的内积
jL U j a的第二行与的列的内积=
j j jl u u a+ =
j j ju a l u=
iL i U a=的第行与的列的内积
i i il u l u a+ =
( )/i j il a l u u= ( , , )j n= L( , , )i n= L iialu=( , , )j n= L( , , )i n= L
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )nnna a a a aa a a a aa a a a aa aLLL
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn n n n nna a aa a a a aLM M M M O MLllnll方法:紧凑格式u u u u nulnlluu u nunuu ulnl j ju a= iialu=
j j ju a l u=
j iia l ulu=
j j r rru a l u==
i ir rria l ulu==∑.,) 所在框的对角元按上述运算后再除以时,按列计算元所在列上面各框相应的乘以所在行左面各框的元减去逐项时,应将对应的元按行计算计算方法:(下)后算列(上右)到内,先算行(左)计算顺序:按框从外(ilikijijilijijijlluuluaunnnnnnnnnnnnualalauauaualauauauaua)()()()()()()()()()()( OMMLL例: 求矩阵A的三角分解= A
)()()()()()()()()(=∴ L解:按紧凑格式LUAU == det A=问题:niiiu=Π . 解方程组的直接三角分解法===∑+=,,,)(Lnnkuxuyxuyxkknkjjkjkknnnn
n n n n ny bl y bl l y bl l l y b
LLLM M M O M ML===∑= ,,,kjjkjkk nkylbybyLbAx =解LUA =bLUx=UxLy bAx bUx y==
nnnnn n nu u u u x yu u u x yu u x yu x y
LLLM M M O M M ML例求解方程组=++=++=++
xxxxxxxxx解:对系数矩阵LU分解, 紧凑格式
() () ()() () ()( ) () ()Printed with FinePrint - purchase at .
)()()()()()()()()(= U= y= xyUx == L== bLy=++=++=++
xxxxxxxxx解:
)()()()()()()()()()()()(=∴ U= y= xyUx = ii i ij jjy b l y==
iik ik ij jkju a l u==
∑直接三角分解法的评价: 和Gauss 消去法具有相同的计算量适用于求解多个相同系数矩阵而不同右端项的线性方程组的解A n A nA设为阶方阵,若的前阶顺序主子式不为零,则矩阵可以惟一分解为LUA =L U其中为下三角阵, 为单位上三角阵.Crout(克劳特)分解LUPA =. 列主元的三角分解法,A nP定理:设为阶非奇异方阵,则存在排列(置换)矩阵使得| | ijL U l ≤其中为单位下三角阵, 为上三角阵,且.求解Ax=b: x=A\bLU分解: [L, U, P] = lu (A)其中P 为排列矩阵 LU=PA求行列式的值: det (A)求矩阵的逆: inv (A)MATLAB 函数Ax b= PAx Pb=Ly PbAx b PAx PbUx y==
=LUx Pb=&& A=[ - ;-
-&& lu(A)ans =-. . -.-. . .-. -. .
由列主元法得&& [L,U]=lu(A)L =-. . -. -. . .
U =-. . -.
. && [L,U,P]=lu(A)L =.
-. . -. -. .U =-. . -.
LU PA=Printed with FinePrint - purchase at . . 解三对角方程组的追赶法,dAx= 其中Tndddd ),,,(
L==nnnnnbacbacbacbacbA
MMMM为三对角矩阵, 称为三对角方程组A Ax d=§ 特殊矩阵的三角分解法=nnnnnbacbacbacbacbA
MMMM三对角矩阵&&=≠+≥&&||||),,(|||||||||| nniiiiiabnicacabcbL若满足则可唯一分解为A定理:=nnn ucucullA
OOOO==nnn uccucuculllLUA
OOOO计算公式: u b=,ni ,,, L=计算公式顺序:
n nu l u l l u→→→→L
l u a=i i il a u =i i il u a =i i i il c u b + = ,i i i iu b l c =
l a u=计算公式:== kkkk yldydynk ,,, L===+ kkkkknnnuxcyxuyx)(
,, L= nnk好的数值稳定性。占优时,追赶法具有良为严格对角,且当追赶法的运算量为 An
解三对角方程组的追赶法:Ly dAx dUx y==
nn nu cl ucl u
,i i i iu bu b l c ==
( ) ( ) ( )n nu y l u y u y→→→L例: 用追赶法解方程组=
xxxx解l =x =l =l =u =u = y =u = y =u = y =,
==uyx x =x =Ly dAx dUx y==
u cl u cl u cl u
u c xu c xu c xu x
d l y = ,au=
d l y = ,au=
() ()() () ()() () ()() ()
Gauss事实上,追赶法是三对角阵的消元法,也可以用紧凑格式方法: 矩阵相乘比较,k一般的,对于任意 U k L k先求的第行,再求的第列kjL k U j a=的第行与的列的内积( , , )j k n= L kkj kj kr rjru a l u==
∑L k的第行U j的第列 kkr rj kj kjrl u u a=+ = ∑=nnnnnnnnnnnnnnnnuuuuuuuuuullllllaaaaaaaaaaaaaaaaLMOMMMLLLLOMMMLLLLMOMMMLLL
( )( , , ,,, )k k k kl l l L L
( )( , , , , ,)Tj j k j kj jju u u u uL L方法: 矩阵相乘比较=nnnnnnnnnnnnnnnnuuuuuuuuuullllllaaaaaaaaaaaaaaaaLMOMMMLLLLOMMMLLLLMOMMMLLL
ikL i U k a=的第行与的列的内积 ( ) /kik ik ir rk kkrl a l u u==
∑( , , )i k n= + LL i的第行U k的第列 kir rk ik kk ikrl u l u a=+ = ∑ikl求
( )( , , , , ,,, )i i ik i kl l l l +L L L ( , , ,, ,)k k kku u uL LPrinted with FinePrint - purchase at . . 平方根法(Cholesky分解法)() , ;() ;() .Tx x AxAA ≠&对的特征值都大于的顺序主子式均大于θ,AAT=若 A则称为对称矩阵§ 特殊矩阵的三角分解法,A若的所有特征值都大于 A则称为正定矩阵A正定的等价条件:.TA R A R R =对称正定存在实矩阵,使得TLLA~~=:定理.~分解惟一的对角元素为正数,则若限定 L.)( 分解矩阵的这种分解称为 CholeskyA设是对称正定矩阵,L%则存在非奇异下三角矩阵,使得证明:,~为下三角阵则L,A由的正定性知,~
LDL =令.~~ TLLA =且
nnnn n n nn n n na a a aa a a a la a a a l la a a a l l l
L LL LL LM M M O M M M M OL LA A LU=由正定可知,TA A=由,及分解的唯一性可知,.TA LDL∴= ( , , , )nnD diag u u u= L记,
TA LD D L=
nnnnnu uuu u uuu uuu uuuu
LLLLLLM M M O MLM M M O MLA LDP= , TA = T TP DLDPTP L=&iiD u正定,即矩阵相乘比较得计算公式TLLA~~=Cholesky求对称正定矩阵的分解:
,l a=% ,kkall=%%
,l a l= % %
k kka l lll=% %%%
,k kl l a=% %
,l l a+ =% %
,k k kl l l l a+ =% % % %,k n= L,k n= L第一列第二列
k k kkn n nk nnll lLl l ll l l l
%% %M M O%% % %LM M L M O% % % %L L
k nk nTkk nknnl l l ll l lLl ll
% % % %L L% % %L LO M L M%% %LO M%TLLA~~=Cholesky求对称正定矩阵的分解: ,kkk kk kjjl a l==
∑% % ,kik ij kjjikkka l lll==∑% %%%
,k k kk kkl l l a+ + =% % %L
( ) ( ) ,i k i k i k k k ik kk ikl l l l l l l l a + + + + =% % % % % % % %L一般地,,i k n= + L,k n= L
k k kkn n nk nnll lLl l ll l l l
%% %M M O%% % %LM M L M O% % % %L L
k nk nTkk nknnl l l ll l lLl ll
% % % %L L% % %L LO M L M%% %LO M%
k k kkn n nk nnll lLl l ll l l l
%% %M M O%% % %LM M L M O% % % %L LTLLA~~=计算顺序:
nL依次求第列,第列, 第列每列自上而下计算Cholesky求对称正定矩阵的分解:Ly b=%TL x y=%方程求解公式:===∑=nklylbylbykkkjjkjkk ,,,)(/ L===∑+=,,,)(/Lnnklxlyxlyxkknkjjjkkknnnn=nnnn llllllLLOMM
~对称正定方程组的平方根法( 分解法):CholeskyAx b=
TLy bAx bL x y ==
=%%TAx b LL x b=
=% %[, ,,]TAx bb== 例:用平方根法解方程组其中
ll ll l ll l l l
%% %% % %% % % % l a=% ,= all=%%,=
all=%% ,= all=%%,= 第二列 l =%
a l =%l =%
a l ll=% %%,= l =%
a l ll=% %%=TA LL= % %先分解Printed with FinePrint - purchase at .第四列l =%
a l l l ll =% % % %%
第三列l =%
%得[, ,,]TAx bb== 例:用平方根法解方程组其中
ll ll l ll l l l
%% %% % %% % % %Ly b=%先解得
TL x y=%再解得
%得[, ,,]TAx bb== 例:用平方根法解方程组其中
TA LDL=定理设是对称正定矩阵,则存在单位下三角矩阵,对角阵使得:,AL D其中的元素为正数.D,TAA LDL=事实上,对称矩阵若各阶顺序主子式不为零,有TLDL. 改进的平方根法( 分解法)=
MOLLLOLOMMMnnnnnnnllllllddddllllll+====∑∑==nkidldlalnkdladkkjkjjijikikkjjkjkkk,,)(,,,
LL记 kikik dlu = nkink ,,,,,, LL +==
, ,, ,kk kk kj kljkik ik ij kjjikikkd a u l k nu a u lul i k nd===
== = = +∑∑LLTLDLA =由
n n n ndd l dd l d l dd l d l d l d
M M M OLTLDL求对称正定矩阵的分解: TA LDL=L k U k的第列元素= 的第行相应元素U k先算的第行的元素,.kd除以
, , ,, ,kk k k k j k ljkik ik ij k jjikikkd a u l k nu a u lul i k nd===
== = = +∑∑LL分析上述计算公式,ik kiu LU u是分解中的kd LU其中是分解中的,kkuk kkd u=TA LDL用紧凑格式将进行分解的步骤:bxLDLbAx T===
LOMMMnnn llllllL( , , )nD diag d d= LTA LDL= Ly b=yDxLT =对称正定方程组的改进平方根法( 分解法):TLDLTLy bAx bL x D y==
=====∑∑+==,,,,,,
LLnnkxldyxnkylbynkjjjkkkkkjjkjkk方程求解公式:,[,,, ]TAx bb== 例:用改进的平方根法求解其中
= = =× =× =
)(=× =++ =)( )( )()( )()()()()()( = =
TA LDL=首先分解=
D TLDLA =,[,,, ]TAx bb== 例:用改进的平方根法求解其中
解:然后求解, Ly b=先解得, [
]Ty = , ,,TL x D y=再解得,[
]TD y= , ,,[
]Tx = ,,,Printed with FinePrint - purchase at .L k U k的第列元素= 的第行相应元素L的计算可用下列简化:.iiu除以: A LU注将对称矩阵进行分解时, : A Cholesky注可用紧凑格式将对阵正定进行分解TLLA~~=LLUL 分解中为其中 ~LDL =角阵的主对角元素所成的对分解中是 ULUDCholesky分解:,[,,, ]TAx bb== 例:用平方根法求解其中
= = =× =× =
)(=× =++ =)( )( )()( )()()()()()( = =
,[,,, ]TAx bb== 例:用平方根法求解其中解: L LD=%Ly b=%由得, [, ,,]Ty = TL x y=%由得, [,,,]Tx =
例设有方程组 aa xxx= ()
,A Cholesky aa =求出系数矩阵能进行分解的的取值范围;( )取用平方根法求解上述方程组,计算过程保留位小数。解:只需满足正定性为对称矩阵分解为对称正定,即可进行,ACholeskyA D,
&=== aaaaaD分解能进行时,即当CholeskyAaa &&∴ aa xxx=
=. . L=. . . D==.. .. .~
=+=+=.. .. .
yyyyy===. . .
yyy==+=+.. ... ...
xxxxx===. . .
xxx==.. .. .~
LDLbyL =~yxLT=~
平方根和改进的平方根方法的优点:Ax b=若线性方程组的系数矩阵为严格对角占优或对称正定矩阵,则Gauss消元法可以进行到底,且是数值稳定的..计算量是Gauss法的一半.无需选主元,是稳定的事实上,有Printed with FinePrint - purchase at .播放器加载中，请稍候...
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问题:求解方程组=+++=+++=+++nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa............ 矩阵表示: bAx =第二章线性方程组的直接解法其中=nnnnnnaaaaaaaaaA......... MMMM=nxxxxM =nbbbbM .方程组存在唯一解bAx =线性方程组Cramer法则:det( )A计算需次乘法运算,n =直接方法det( )det( )iiAxA=( ) !n n ×
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