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数学综合实用
1．在下列各数中是无理数的有（ ） － 0.333 ? , ?? , 5 , 4 , 1 ，2.010101?(相邻两个 1 3.1415, ?7之间有 1 个 0), A．1 个 B ．2 个 C．3 个 D． 4 个 2. 某中学足球队的 18 名队员的年龄情况 如下表： 年龄（单位： 岁） 人数 14 3 15 6 16 4取值范围为 8.数据1， 2，x， ?1， ? 2 的平均数是－0.2，则 这组数据的中位数是______。 ?、xn 的方差为 3 ，则样本 已知样本 x1、x2、 2x1 ? 3， 2x2 ? 3， ? ?， 2xn ? 3 的方差为_____ 9.已知点 (1, y1 ) 、 (3, y2 ) 在一次函数 y=－2x+b 的图象上， 则 y1 _____3 y2 (填 “＞” 或 “＜” ) 10.如图， 如果 所在的位置坐标为 （1， 2 ） ， 所在的位置坐标为（ 2，2） ， 17 18 则 所在位置坐标为 ． 11. y=kx+3 和直线 y=mx－ 4 如图，已知直线 1 2 交于点 P(-2,1),则方 程 组? y ? kx ? 3 ? ? y ? m x? 2则这些队员年龄的众数和中位数分 别是（ ） A．15，15 B．15，15.5 C．15，16 D．16，15 3 小亮早晨从家骑车到学校先上坡后下 坡，行程情况如图所示，若返回时上坡， 下坡的速度仍保持不变，那么小亮从学校 骑车 回家用时间是（ ）分钟 A.30 B.37.2 C.60 D.45 4 在如图所示的数轴上，点 B 与点 C 关于 点 A 对称， A、 B 两点对应的实 数分别 是 3和 - 1 ， 则点 C 所对应的实数是 5. 已知 x1，x2，x3 的标准差是 2，则数据 2x1+3，2x2+3，2x3+3 的方差是 6 为庆祝建校 30 周年， 学校组织文艺汇演， 八年级排练队形为 10 排，第一排 20 人，后面每排比前多 2 人，写出每排 人数 Y 与这排的排数 X 之间函数关系 式为＿＿＿＿＿。 7 若关于 x，y 的二元一次方程组 的解满足 x ? y ＜2， 则a的 ?5 x ? y ? ?3? ?3 x ? y ? 1 ? 2a的 解 是__________．11． ( 5 ? 2) 2011 (2 ? 5) 2012 = ______________. 12.实数 a、 b、 c 在数轴上对应点的位置如图 所示， 化简式子 ＝13.已知 a、b、c 分别为 ?ABC 的三边长， 如果函数 y＝ ?a ? 2?x a ?1 是正比例函数，且 b、c 满足 b ? c ? 2 ? 2 ? c ? 2 2 ，则可判断 ?ABC 的形状为 . 14.已知直角坐标系中有 A（1，0） ，B（－ 2，0）两点，点 C 在坐标轴上，要使△ABC 为等腰三角形， 则满足条件的 C 点共有___ _ 个。 15.小高从家骑自行车去学校上学， 先走上坡路到达点 A，再走下坡路到达点 B，最 后走平路到达学校，所用的时间与路程 的关系如图所示。放学后，如果他沿原 路返回，且走平路、上坡路、下坡路的 速度分别保持和去上学时一致，则他从 学校到家所需时间是________分钟． 16 在等式 5×口+3×Δ=5 的口和Δ处分别 填入一个数，使这两个数的和为 3，这两 个数分别是____ax ? 5 y ? 15, ① 17 甲乙两人解方程组 ? ， 由于 ? ?4 x ? by ? ?2，②22 如图，∠ MON=90° ，点 A、B 分别在射 线 OM、ON 上移动，BD 是∠ NBA 的平分 线，BD 的反向延长线与∠ BAO 的平分线 相交于点 C. 试猜想：∠ ACB 的大小是 否随 A、B 的移动发生变化？如果保持不 变，请给出证明；如果随点 A、B 的移动 发生变化，请给出变化范围.N D B C甲看错了方程①中的 a ，而得到方程组的x ? ?3, 解为 ? 而得到 ? y ? ?1; 乙看错了方程②中的 b ， ?x ? 5, 的解为 ? ? y ? 4. , ?a=___ b =___ ①3M O A18 计 算 （ 6 分 ）27 ?0?1 4② 3 8 + － ?? 2?2 ? 2 ? 11 220 ? 2 45 ? ( 5 ? 1) 224 ? 6 216 ?519 解方程（组） （1） 3( x ? 1) 3 ? 81?2a ? b ? 9, ? ?3a ? b ? 11;（2 ）（3） ??2 x ? y ? 5, ?3x ? 2 y ? 4.22(9 分)某办公用品销售商店推出两种优 惠方式：①购一个书包，赠送 1 支水性笔； ②购书包和水性笔一律按 9 折优惠。书包 每个定价 20 元，水性笔每支定价 5 元。小 丽和同学需要买 4 个书包，水性笔若干支 （不少于 4 支） 。 （ 1 ）分别写出两种优惠方式购买费用 y （元）与所买水性笔支数 x（支）之间的 函数关系式； （2）对 x 的取值情况进行分析，说明按哪 种优惠方式购买比较便宜； （3） 小丽和同学需买这种书包 4 个和水性 笔 12 支，请你设计怎样购买最经济。21． （8 分） 已知直线 l1 ： y=－x+3 与过点 ? 5? ? 3, ? 和点 ?? 2,?5? 的直线 l 2 相交于点 A, 直线 x=4 与直线 l1 和 直线 l 2 分别相交于点 B、C. (1)求直线 l 2 的解析式和点 A 的坐标； (2) 求△ABC 的面积。? 2?23．某市教育行政部门为了了解初一学生 每学期参加综合实践活动的情况，随机抽 样调查了某校初一学生一个学期参加综合 实践活动的天数，并用得到的数据绘制了 下面两幅不完整的统计图（如图） ．1 1 1 ? ? ...... 3? 4 3 4通过观察， 当 a ? 1 ? (ab ? 2) 2 ? 0时，求： 请你根据图中提供的信息， 回答下列问题： （1）求出该校初一学生总数； （2）在这次抽样调查中，众数和中位数分 别是多少？ （3）如果该市共有初一学生 6000 人，请 你估计“活动时间不少于 4 天”的大约有 多少人？1 1 1 ? ? ? ab (a ? 1)(b ? 1) (a ? 2)(b ? 2)的值。 27 如图所示． （1）如图甲，一个五角形 ABCDE，则 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= （1 分） （2）如图乙，如果点 B 向右移动到 AC 上 时 ， 则 ∠ A+ ∠ EBD+ ∠ C+ ∠ D+ ∠ E= （1 分） 24 一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车 B （3）如图 丙，点 从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车 B 向 右 移 动 到 AC 离甲地的距离为 y1（km） ，出租车离甲地的 的 另 D 1 距离为 y2（km） ， 客车行驶时间为 x （h ） ，y1 ， 一 侧 E 时 ， y2 与 x 的函数关系图象如图 12 所示： F （1） （1）根据图象，求出 y1 ， y2 关于 x 的函 2 的 结 数关系式。 A C G 为 什 （2）若设两车间的距离为 S （km） ，请 论 成 立 吗 ？ 么？（3 分） 写出 S 关于 x 的函数关系式。 （3）甲、乙两地间有 A 、B 两个加油站， （4）如图丁，点 B，E 移动到∠CAD 的 （3 分） 相距 200km，若客车进入 A 站加油时， 内部时，结论又如何？说明理由。 出租车恰好进入 B 站加油。求 A 加油站 到甲地的距离。25 已知 y ? 3 与 x 成正比例，并且当 x ? 2 时， y ? 7； （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当 x ? 4 时， y 的值？ 28 如图， 已知： CF⊥AB 于 F， ED⊥AB 于 D， ∠1＝∠2， 26、观察： 求证：FG∥BC。 （本题 10 分）1 1 1 ? ? , 1 ? 1?1 1? 2 1 2 2 ? 3 2 329 如图①，将两块全等的直角三角形 纸板摆放在坐标系中，已知 BC=4，AC=5． （1 ） 求点 A 坐标和直线 AC 的解析式； （2）折三角形纸板 ABC，使边 AB 落在 边 AC 上， 设折痕交 BC 边于点 E （图②） ， 求点 E 坐标； （3）将三角形纸板 ABC 沿 AC 边翻折， 翻折后记为△AMC，设 MC 与 AD 交于点 N，请在图③中画出图形，并求出点 N 坐标．比另一个角的 2 倍少 30°，则这两个角分 别是多少度？30 已知一角的两边与另一个角的两 边平行，分别结合下图，试探索这两个角 之间的关系，并证明你的结论。 （1）如图（1）AB∥EF,BC∥DE.∠1 与∠ 2 的关系是：____________ 证明： （2）如图（2）AB∥EF,BC∥DE. ∠1 与 ∠2 的关系是：____________ 证明：DA F C 1 B 2 E图 2（3）经过上述证明，我们可以得到一个真 命题：如果_______________________，那 么 __________________________________. （4）若两个角的两边互相平行，且一个角A F C 1 B E 2 D图 1
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如图一将两块全等的直角三角形纸板摆放在坐标系中，已知BC=4，AC=5.
设MC与AD交于点N,如图一将两块全等的直角三角形纸板摆放在坐标系中,AC=5,求出点N坐标。,翻折后记为△AMC,已知BC=4,设折痕交BC边于点E(图2）,求点E坐标,（2）折三角形纸板ABC,（1）求点A坐标和直线AC的解析式,使边AB落在边AC上,（3）将三角形纸板ABC沿AC边翻折,
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已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4，如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D。
（Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，且使B′D∥OB，求此时点C的坐标。
题型：解答题难度：偏难来源：天津中考真题
解：（Ⅰ）如图（1），折叠后点B与点A重合，连接AC，则△ACD≌△BCD，设点C的坐标为（0，m）（m&0），则BC=OB-OC=4-m，于是AC=BC=4-m，在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2=OC2+OA2，即（4-m）2=m2+22，解得m=，∴点C的坐标为；
（Ⅱ）如图（2），折叠后点B落在OA边上的点为B′连接B′C，B′D，则△B′CD≌△BCD，由题设OB′=x，OC=y，则B′C=BC=OB-OC=4-y，在Rt△B′OC中，由勾股定理，得B′C2=OC2+OB′2，∴（4-y）2=y2+x2，即，由点B′在边OA上，有0≤x≤2，∴解析式（0≤x≤2）为所求，∵当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴y的取值范围为；
（Ⅲ）如图（3），折叠后点B落在OA边上的点为B′，连接B′C，B′D，B′D∥OB，则∠OCB′=∠CB′D，又∵∠CBD=∠CB′D，∴∠CB′=∠CBD，∴CB′∥BA，∴Rt△COB′∽Rt△BOA，有，得OC=20B′，在Rt△B′OC中，设OB′=x0（x0&0），则OC=2x0，由（Ⅱ）的结论，得2x0=，解得x0=，∵x0&0，∴x0=，∴点C的坐标为。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4，如图，将..”主要考查你对&&相似三角形的性质，全等三角形的性质，勾股定理&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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相似三角形的性质全等三角形的性质勾股定理
相似三角形性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。(6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方(7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项(8)c/d=a/b 等同于ad=bc.(9)不必是在同一平面内的三角形里①相似三角形对应角相等，对应边成比例.②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.③相似三角形周长的比等于相似比
定理推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。全等三角形：两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。全等三角形的对应边相等，对应角相等。①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;③有公共边的，公共边一定是对应边;④有公共角的，角一定是对应角;⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。全等三角形的性质：1.全等三角形的对应角相等。2.全等三角形的对应边相等。3.全等三角形的对应边上的高对应相等。4.全等三角形的对应角的角平分线相等。5.全等三角形的对应边上的中线相等。6.全等三角形面积相等。7.全等三角形周长相等。8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。&勾股定理:直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。勾股定理只适用于直角三角形，应用于解决直角三角形中的线段求值问题。定理作用⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。勾股定理的应用：数学从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数。勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，较早的应用案例有《九章算术》中的一题：“今有池，芳一丈，薛生其中央，出水一尺，引薛赴岸，适与岸齐，问水深几何？答曰："一十二尺"。生活勾股定理在生活中的应用也较广泛，举例说明如下：1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例，最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积，从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕，也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点：第一，屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6；第二，屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度；第三，屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的。一般视频图像的宽高比为4:3，教育幕为正方形。如一个72英寸的屏幕，根据勾股定理，很快就能得出屏幕的宽为1.5m，高为1.1m。2、2005年珠峰高度复测行动。测量珠峰的一种方法是传统的经典测量方法，就是把高程引到珠峰脚下，当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运用“勾股定理”的基本原理测定珠峰高程，配合水准测量、三角测量、导线测量等方式，获得的数据进行重力、大气等多方面改正计算，最终得到珠峰高程的有效数据。通俗来说，就是分三步走：第一步，先在珠峰脚下选定较容易的、能够架设水准仪器的测量点，先把这些点的精确高程确定下来；第二步，在珠峰峰顶架起觇标，运用三角几何学中“勾股定理”的基本原理，推算出珠峰峰顶相对于这几个点的高程差；第三步，获得的高程数据要进行重力、大气等多方面的改正计算，最终确定珠峰高程测量的有效数据。
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