几个正项级数敛散性的判别法的强弱比较_中华文本库
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《数学与应用数学》学年论文
几个正项级数敛散性的判别法的强
教师评语：
摘要：级数理论在实际生活中的运用极为广泛，正项级数又是级数理论中重要的组成部
分， 级数的收敛性更是级数理论的核心问题， 要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项 级数收敛性判断，正项级数敛散性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳 总结正项级数收敛性判断的一些典型方法， 比较这些方法的不同特点， 总结出一些典型的正 项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，才能事半功倍. 我们在 书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理,但书上往往只是对定理本身做一个证明， 然后举几个简单应用的例子就好了， 没有做过多的分析.但是,我们在实际做题目时， 常会有 这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也 就是说，定理它本身存在着一些局限性.因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有 哪些局限呢， 定理与定理之间会有些什么联系和区别呢， 做题目时如何才能更好得去运用这 些定理呢?下面就对正项级数的各种判别法强弱比较进行了讨论与分析。
正项级数相关概念
1.1 正项级数的定义
如果级数 ? x n 的各项都是非负实数，即 x n ? 0, n ? 1, 2, ? , 则称此级数为正项
1.2 正项级数敛散性判别的充要条件
正项级数的每一项都为正的基本特点导致正项级数部分和数列单调增加,从 而有正项级数敛散性的基本判别定理: 定理： 正项级数 ? u n 收敛 ? 它的部分和数列 ?s n ? 有上界.
由于 u i ? 0 ( i ? 1, 2 , ? ) ,所以 ?s n ? 是递增数列.而单调数列收敛的充要
条件是该数列有界(单调有界定理),从而本定理得证. 例 级数 ?
? 2 ? 1 ? n ln ?n ? ( n ? 1)( n ? 1) ? ? n
是正项级数。它的部分和数列的通项
? ? k ? 1? n?2 ? ln 2 ? ln ? ln 2 ? k ? n ?1
2 ? 1 ? k ln ?k ?? ( k ? 1)( k ? 1) ? ? k
? ? ln k ? 1 ? ln
所以正项级数 ? ? n
? ? ( n ? 1)( n ? 1) ? n
正项级数敛散性判别法 判别发散的简单方法
由 级 数 收 敛 的 基 本 判 别 定 理 — — 柯 西 收 敛 准 则 : 级 数 ? un 收 敛
? ? ? ? 0, ? N ? N ? , ? n ? N , ? p ? N ,
有 u n ?1 ? u n ? 2 ? ? ? u n ? p ? ? .
取特殊的 p
? 1 ,可得推论:若级数 ? u n
收敛,则 lim u n ? 0 .
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来源：　　作者：严峰军陈思源;
级数敛散性判断的几种快捷方法　 掌握正项级数敛散性的判别方法，可以为判定一般级数的敛散性打好基础。下面笔者介绍判断级数敛散性的几种快捷方法，以供同行探讨。1运用等价无穷小一换匆断级傲的数散性定理:设妙·和菩’·均乡正项翅数，且当·”二时，un和vn为等价的无穷小量，则艺u。和艺v。的敛散性保持一致。客赤收敛，.’.原级憋绝对咚敛。例题3解:因判别级数艺(助2+为n+e)口恤，b0)的敛散性一时，丽捻万一办而-一2-客办=鸽声收敛发散当a当a二二时证明:由于当””‘时即:一如生二一特。，冲翻气，un和，。为等价的无穷小量，和封。艺词由比较判别法的极限形式知:时发散。Z咋同时收敛同故队敛当。，二叫r 1 jZ问、“刀宁UrI十‘少l发散当a‘二时t2例题4又如一下两题例题1证明:若极限im(n，”幼”士·a。一，则级数艺a，，(l)之(卜cos粤)(2)之2·s，会用此方法很容易得出收敛。结论:二:，(一“二，卜，，即当一:时，·n与声等价，而sin生一与。一叫运用，均不等式a”、告(一bZ)拥断级致的盆傲性，，.a，二炭蔽一令一劣，因为定理:绝对收敛。证明:已知级数艺心和艺时都收敛，证明级数Z民瓦，故级数菩a·收敛。口(本文共计2页)　　　　　　　　　　
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用比较判别法判定级数的敛散性1.收敛& &2.发散& & 3.发散&&基础比较差，&
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数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。
这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。
人们已经创造了很多检测级数敛散性的方法，究竟用哪种方法较好呢？这不能笼统地回答．一般说来，使用起来较简便的方法，很可能适应的范围较小，而适应范围较大的方法，又往往比较繁难．就我们已经介绍的若干检测方法而言，对于判别一个数项级数的敛散性，可以从下面的思路来考虑使用某种比较恰当的方法：
(1)首先，考虑当项数无限增大时，一般项是否趋于零．如果不趋于零，便可判断级数发散．如果趋千零，则考虑其它方法．
(2)考察级数的部分和数列的敛散性是否容易确定，如能确定，则级数的敛散性自然也明确了．但往往部分和数列的通项就很难写出来，自然就难以判定其是否有极限了，·这时就应考虑其它方法．
(3)如果级数是正项级数，可以先考虑使用比值判别法或根值判别法是否有效．如果无效，再考虑用比较判别法．对于某些正项
数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。
这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。
人们已经创造了很多检测级数敛散性的方法，究竟用哪种方法较好呢？这不能笼统地回答．一般说来，使用起来较简便的方法，很可能适应的范围较小，而适应范围较大的方法，又往往比较繁难．就我们已经介绍的若干检测方法而言，对于判别一个数项级数的敛散性，可以从下面的思路来考虑使用某种比较恰当的方法：
(1)首先，考虑当项数无限增大时，一般项是否趋于零．如果不趋于零，便可判断级数发散．如果趋千零，则考虑其它方法．
(2)考察级数的部分和数列的敛散性是否容易确定，如能确定，则级数的敛散性自然也明确了．但往往部分和数列的通项就很难写出来，自然就难以判定其是否有极限了，·这时就应考虑其它方法．
(3)如果级数是正项级数，可以先考虑使用比值判别法或根值判别法是否有效．如果无效，再考虑用比较判别法．对于某些正项级数，可以考虑使用积分判别法．这是因为比值判别法与根值判别法使用起来一般比较简便，而比较判别法适应的范围却很大．
(4)如果级数是任意项级数，应首先考虑它是否绝对收敛．当不绝对收敛时，可以看看它是不是能用莱布尼兹判别法判定其收敛性的交错级数．
(5)级数敛散性的柯西判别准则给出了判断级数收敛的充要条件，因此，从逻辑上讲，它适应于一切级数敛散性的判断。但是，要检测一个具体的级数是否满足这个判别准则的条件本身就不比检测这个级数是否收敛容易，因而一般在检测具体级数的敛散性时，使用柯西判别准则是有困难的，甚至是无法进行的．不过，对于某些具体的级数，使用柯西判别准则也是行之有效的．因此，我们也要考虑它的使用，特别是上述诸多方法行不通的时候。
回顾一下正项级数敛散性的判别法．比值判别法和根值判别法用起来较比较判别法方便，其原因是它只靠级数自身的特征来检测，而比较判别法却须去寻找一个恰当的比较对象．然而，从比值判别法和根值判别法的证明可以看出，它们实质上还是把所讨论的级数同某一几何级数作比较．这两种方法在实际应用时，都会遇到失效的情况．为什么会出现这种情况呢?这实质上是，把所有级数和收敛的几何级数相比，它的项比几何级数的项数值 大，而和发散的几何级数相比，它的项又比几何级数的项数值小．这也就是说，要想检验所论级数的敛散性，几何级数这把‘尺子’的精密度不够。人们发现p—级数是比几何级数更精密的一把“尺子”，而级数： 又比p—级数更为精密，称为对数尺子。仿照建立比值判别法的办法，人们将所论级数同一把比一把更精密的“尺子’相比较，建立了一个比一个适应范围更大但使用更加繁难的正项级数敛散性判别方法，如拉贝判别法，高斯判别法，等等．但是，如此建立的判别方法，无论适应范围多大，仍然会有失效的情况发生．因为人们证明过，任何收敛的正项级数都存在另一个收敛的正项级数被它优超，而任何发散的正项级数都存在另一个发散的正项级数优超它．因此，比较判别法是检测正项级数的敛散性的根本方法．从理论上说，恰当的比较对象总是客观存在的，因此，比较判别法适应于一切正项级数。然而，恰当的比较对象要实际寻找出来很难．因此，还是要建立象比值判别法那样实质上已有固定比较对象且使用起来很方使的判别方法．
A 比值判别法就是达朗贝尔判别法
柯西判别法是正项级数的根式判别法
正项级数敛散性判别中没有拉格朗日判别法
莱布尼兹判别法是交错级数敛散性的判别法
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