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高等数学-杨超-第7讲 二重积分4、二重积分的计算（2）
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“特别”二重积分的计算
矢量化数值积分
以下的二重积分直接用dblquad出错。
将下面的代码保存为M文件：
function E1 = integrndE(theta, phi)
vl1=[0,cos(pi/4),sin(pi/4)];
vl2=[0,-cos(pi/4),sin(pi/4)];
vtheta=[cos(theta)*cos(phi),cos(theta)*sin(phi),-sin(theta)];
vphi=[-sin(phi),cos(phi),0];
vr=[sin(theta)*cos(phi),sin(theta)*sin(phi),cos(theta)];
n1=(exp(-1i*vr*vl1'*pi/2)-exp(1i*pi/2))/(1+vr*vl1')+(exp(-1i*vr*vl1'*pi/2)-exp(-1i*pi/2))/(1-vr*vl1');
n2=(exp(1i*vr*vl2'*pi/2)-exp(-1i*pi/2))/(1+vr*vl2')+(exp(1i*vr*vl2'*pi/2)-exp(1i*pi/2))/(1-vr*vl2');
N=vl1*n1+vl2*n2;
Etheta=vtheta*N';
Ephi=vphi*N';
E1 = (abs(Etheta)^2+abs(Ephi)^2)*sin(theta);
将下面的代码复制到命令窗口，按回车键，运行即可
z =& quadv(@(x) arrayfun(@(x) quadv(@(y)
integrndE(x,y),0,2*pi),x),0,pi)
计算结果为67.1223
用符号计算求出E的表达式，再对E进行二重积分！
将下面的代码复制到命令窗口，按回车键，运行即可
integrndE3 =& @(theta,phi)&
sin(theta).*(abs(cos(phi).*(sqrt(2.0).*((exp(pi.*(sqrt(2.0).*cos(conj(theta)).*5.0e-1i-sqrt(2.0).*sin(conj(phi)).*sin(conj(theta)).*5.0e-1i).*(-1.0./2.0))+-6.766e-17-1i)./(sqrt(2.0).*cos(conj(theta)).*(1.0./2.0)-sqrt(2.0).*sin(conj(phi)).*sin(conj(theta)).*(1.0./2.0)+1.0)+(exp(pi.*(sqrt(2.0).*cos(conj(theta)).*5.0e-1i-sqrt(2.0).*sin(conj(phi)).*sin(conj(theta)).*5.0e-1i).*(-1.0./2.0))+-6.766e-17+1i)./(sqrt(2.0).*cos(conj(theta)).*(-1.0./2.0)+sqrt(2.0).*sin(conj(phi)).*sin(conj(theta)).*(1.0./2.0)+1.0)).*(1.0./2.0)+sqrt(2.0).*((exp(pi.*(sqrt(2.0).*cos(conj(theta)).*5.0e-1i+sqrt(2.0).*sin(conj(phi)).*sin(conj(theta)).*5.0e-1i).*(1.0./2.0))+-6.766e-17-1i)./(sqrt(2.0).*cos(conj(theta)).*(1.0./2.0)+sqrt(2.0).*sin(conj(phi)).*sin(conj(theta)).*(1.0./2.0)-1.0)-(exp(pi.*(sqrt(2.0).*cos(conj(theta)).*5.0e-1i+sqrt(2.0).*sin(conj(phi)).*sin(conj(theta)).*5.0e-1i).*(1.0./2.0))+-6.766e-17+1i)./(sqrt(2.0).*cos(conj(theta)).*(1.0./2.0)+sqrt(2.0).*sin(conj(phi)).*sin(conj(theta)).*(1.0./2.0)+1.0)).*(1.0./2.0))).^2+abs(sin(theta).*(sqrt(2.0).*((exp(pi.*(sqrt(2.0).*cos(conj(theta)).*5.0e-1i-sqrt(2.0).*sin(conj(phi)).*sin(conj(theta)).*5.0e-1i).*(-1.0./2.0))+-6.766e-17-1i)./(sqrt(2.0).*cos(conj(theta)).*(1.0./2.0)-sqrt(2.0).*sin(conj(phi)).*sin(conj(theta)).*(1.0./2.0)+1.0)+(exp(pi.*(sqrt(2.0).*cos(conj(theta)).*5.0e-1i-sqrt(2.0).*sin(conj(phi)).*sin(conj(theta)).*5.0e-1i).*(-1.0./2.0))+-6.766e-17+1i)./(sqrt(2.0).*cos(conj(theta)).*(-1.0./2.0)+sqrt(2.0).*sin(conj(phi)).*sin(conj(theta)).*(1.0./2.0)+1.0)).*(1.0./2.0)-sqrt(2.0).*((exp(pi.*(sqrt(2.0).*cos(conj(theta)).*5.0e-1i+sqrt(2.0).*sin(conj(phi)).*sin(conj(theta)).*5.0e-1i).*(1.0./2.0))+-6.766e-17-1i)./(sqrt(2.0).*cos(conj(theta)).*(1.0./2.0)+sqrt(2.0).*sin(conj(phi)).*sin(conj(theta)).*(1.0./2.0)-1.0)-(exp(pi.*(sqrt(2.0).*cos(conj(theta)).*5.0e-1i+sqrt(2.0).*sin(conj(phi)).*sin(conj(theta)).*5.0e-1i).*(1.0./2.0))+-6.766e-17+1i)./(sqrt(2.0).*cos(conj(theta)).*(1.0./2.0)+sqrt(2.0).*sin(conj(phi)).*sin(conj(theta)).*(1.0./2.0)+1.0)).*(1.0./2.0))+cos(theta).*sin(phi).*(sqrt(2.0).*((exp(pi.*(sqrt(2.0).*cos(conj(theta)).*5.0e-1i-sqrt(2.0).*sin(conj(phi)).*sin(conj(theta)).*5.0e-1i).*(-1.0./2.0))+-6.766e-17-1i)./(sqrt(2.0).*cos(conj(theta)).*(1.0./2.0)-sqrt(2.0).*sin(conj(phi)).*sin(conj(theta)).*(1.0./2.0)+1.0)+(exp(pi.*(sqrt(2.0).*cos(conj(theta)).*5.0e-1i-sqrt(2.0).*sin(conj(phi)).*sin(conj(theta)).*5.0e-1i).*(-1.0./2.0))+-6.766e-17+1i)./(sqrt(2.0).*cos(conj(theta)).*(-1.0./2.0)+sqrt(2.0).*sin(conj(phi)).*sin(conj(theta)).*(1.0./2.0)+1.0)).*(1.0./2.0)+sqrt(2.0).*((exp(pi.*(sqrt(2.0).*cos(conj(theta)).*5.0e-1i+sqrt(2.0).*sin(conj(phi)).*sin(conj(theta)).*5.0e-1i).*(1.0./2.0))+-6.766e-17-1i)./(sqrt(2.0).*cos(conj(theta)).*(1.0./2.0)+sqrt(2.0).*sin(conj(phi)).*sin(conj(theta)).*(1.0./2.0)-1.0)-(exp(pi.*(sqrt(2.0).*cos(conj(theta)).*5.0e-1i+sqrt(2.0).*sin(conj(phi)).*sin(conj(theta)).*5.0e-1i).*(1.0./2.0))+-6.766e-17+1i)./(sqrt(2.0).*cos(conj(theta)).*(1.0./2.0)+sqrt(2.0).*sin(conj(phi)).*sin(conj(theta)).*(1.0./2.0)+1.0)).*(1.0./2.0))).^2)
Q = dblquad(integrndE3,0,pi,0,2*pi)
&计算结果为67.1223
...............................
[Q,fcnt] = quadv(fun,a,b,tol,trace)
矢量化自适应simpson数值积分
注意事项：
1.该函将quad函数矢量化了，就是一次可以计算多个积分
2.所有的要求完全与quad相同
计算下面积分，分别计算n=1,2...,5时的5个积分值，被积函数1/(n+x)，积分限为[0,1]
for k = 1:5
Qs(k) = quadv(@(x)1/(k+x),0,1);
F = @(x,n)
1./((1:n)+x);&&&
%定义被积函数
quadv(@(x) F(x,5),0,1)&
%我们可以完全使用quadv函数替换上面循环语句的，建议使用后者
&................
Vectorized
quadrature
Q = quadv(fun,a,b)
Q = quadv(fun,a,b,tol)
Q = quadv(fun,a,b,tol,trace)
[Q,fcnt] = quadv(...)
Description
Q = quadv(fun,a,b) approximates the integral of the complex
array-valued function fun from a to b to within an error of 1.e-6
using recursive adaptive Simpson quadrature. fun is a function
handle. See Function Handles in the MATLAB Programming
documentation for more information. The function Y = fun(x) should
accept a scalar argument x and return an array result Y, whose
components are the integrands evaluated at x. Limits a and b must
be finite.
Parametrizing Functions, in the MATLAB Mathematics
documentation, explains how to provide addition parameters to the
function fun, if necessary.
Q = quadv(fun,a,b,tol) uses the absolute error tolerance tol for
all the integrals instead of the default, which is 1.e-6.
Note&& The same tolerance
is used for all components, so the results obtained with quadv are
usually not the same as those obtained with quad on the individual
components.
Q = quadv(fun,a,b,tol,trace) with non-zero trace shows the
values of [fcnt a b-a Q(1)] during the recursion.
[Q,fcnt] = quadv(...) returns the number of function
evaluations.
below contains information to help you determine which quadrature
function in MATLAB to use:
The quad function may be most efficient for low accuracies with
nonsmooth integrands.
The quadl function may be more efficient than quad at higher
accuracies with smooth integrands.
The quadgk function may be most efficient for high accuracies and
oscillatory integrands. It supports infinite intervals and can
handle moderate singularities at the endpoints. It also supports
contour integration along piecewise linear paths.
The quadv function vectorizes quad for an array-valued fun.
If the interval is infinite, [a,Inf), then for the integral of
fun(x) to exist, fun(x) must decay as x approaches infinity, and
quadgk requires it to decay rapidly. Special methods should be used
for oscillatory functions on infinite intervals, but quadgk can be
used if fun(x) decays fast enough.
The quadgk function will integrate functions that are singular at
finite endpoints if the singularities are not too strong.
For example, it will integrate functions that behave at an endpoint
c like log|x-c| or |x-c|p for p &= -1/2.
If the function is singular at points inside (a,b), write the
integral as a sum of integrals over subintervals with the singular
points as endpoints, compute them with quadgk, and add the
For the parameterized array-valued function myarrayfun, defined
function Y = myarrayfun(x,n)
Y = 1./((1:n)+x);
the following command integrates myarrayfun, for the parameter
value n = 10 between a = 0 and b = 1:
Qv = quadv(@(x)myarrayfun(x,10),0,1);
The resulting array Qv has 10 elements estimating Q(k) =
log((k+1)./(k)), for k = 1:10.
The entries in Qv are slightly different than if you compute the
integrals using quad in a loop:
for k = 1:10
&Qs(k) = quadv(@(x)myscalarfun(x,k),0,1);
where myscalarfun is:
function y = myscalarfun(x,k)
y = 1./(k+x);
quad, quad2d, quadgk, quadl, dblquad, triplequad,
function_handle (@)
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。几种特殊类型二重积分的计算技巧--《衡水学院学报》2011年04期
几种特殊类型二重积分的计算技巧
【摘要】：二重积分是高等数学的重点,也是难点,计算较为繁琐,有的二重积分需要一定的技巧才能求出.探讨了积分区域关于坐标轴对称、关于直线对称、积分区域是圆的一部分等特殊区域上二重积分的计算技巧,讨论了几类特殊被积函数二重积分的选择积分顺序的问题,研究了如何用轮换法求二重积分.
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：O172.2【正文快照】：
众所周知,计算二重积分的一般原则是将二重积分化为二次积分(即累次积分)加以计算.求积的困难主要来自2个方面,一是被积函数的复杂性,二是积分区域的多样性.不同顺序二次积分计算的难易程度往往是不相同的,有时选错积分顺序导致积分无法计算,有的二重积分必须通过换元才能求出
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二重积分的计算
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> 第8章 重积分
第2节 二重积分的计算法
按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和积分区域来说，这不是一种切实可行的方法。这里介绍一种方法，把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。
8.2.1 利用直角坐标计算二重积分
下面用几何的观点来讨论二重积分的计算问题。
在讨论中我们假定f（x，y）& 0。并设积分区域D可以用不等式
j 1（x）& y & j 2（x），a&x&b
来表示[插图1]，其中函数j 1（x）、j 2（x）在区间 [a，b] 上连续。
(a) &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (b)
(a) &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (b)
我们应用&平行截面面积为已知的立体的体积&的方法，来计算这个曲顶柱体的体积。
为计算截面面积，在区间 [a，b] 上任意取定一点x0，作平行于yOz面的平面x=x0。这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 [j 1（x0），j 2（x0）] 为底、曲线z = f（x0，y）为曲边的曲边梯形（[插图2]中阴影部分），所以这截面的面积为
一般的，过区间 [a，b] 上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为
于是，得曲顶柱体的体积为
这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式
上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。就是说，先把x看作常数，把f（x，y）只看作y的函数，并对y计算从j 1（x）到j 2（x）的定积分；然后把算得的结果（是x的函数）再对x计算在区间 [a，b] 上的定积分。这个先对y、后对x的二次积分也常记作
因此，等式（1）也写成
在上述讨论中，我们假定f（x，y）& 0，但实际上公式（1）的成立并不受此条件限制。
类似地，如果积分区域D可以用不等式
&1（y）& x & &2（y），c&y&d
来表示[插图3]，其中函数&1（y）、 &2（y）在区间 [c，d] 上连续，那末就有
上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这个积分也常记作
因此，等式（2）也写成
这就是把二重积分化为先对x、后对y的二次积分的公式。
我们称图9-2-1所示的积分区域为X-型区域，图9-2-3所示的积分区域为Y-型区域。对不同的区域，可以应用不同的公式。如果积分区域D既不是X-型的，也不是Y-型的，我们可以把D分成几个部分，使每个部分是X-型区域或是Y-型区域。如果积分区域D既是X-型的，又是Y-型的，则由公式（1&）及（2&）就得
上式表明，这两个不同次序的二次积分相等，因为它们都等于同一个二重积分
二重积分化为二次积分时，确定积分限是一个关键。而积分限是根据积分区域D的类型来确定的。
例1 计算，其中D是由直线y = 1、x = 2及y = x所围成的闭区域。
解法1 首先画出积分区域D[插图4]。D是X-型的，D上的点的横坐标的变动范围是区间[1，2]。在区间[1，2]上任意取定一个x值，则D上以这个x值为横坐标的点在一段直线上，这段直线平行于y轴，该线段上点的纵坐标从y = 1变到y = x。利用公式（1）得
解法2 把积分区域D看成是Y-型的。同学们可作为练习，验证解出的答案是否与解法1的相一致。
对于较复杂的积分区域，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序。这时，既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数f（x，y）的特性。
例2 求量各底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积。
解 设这两个圆柱面的方程分别为
x2 + y2 = R2及x2 + z2 = R2
利用立体关于坐标平面的对称性，只要算出它在第一卦限部分[插图5]的体积V1，然后再乘以8就行了。
所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为
如图9-2-5（b）所示。它的顶是柱面。于是，
利用公式（1）得
从而所求立体体积为
8.2.2 利用极坐标计算二重积分
有些二重积分，积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量r，&比较简单。这时，我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分。
按二重积分的定义有
下面将推导出这个和的极限在极坐标系中的形式。
假定从极点O出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点。我们用以极点为中心的一族同心圆：r=常数，以及从极点出发的一族射线：&=常数，把D分成n个小闭区域[插图6]。
(a) &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (b)
除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积D s i可计算如下：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
其中表示相邻两圆弧的半径的平均值。在这小闭区域内取圆周上的一点，该点的直角坐标设为x i，h i，则由直角坐标与极坐标之间的关系有。于是
由于在直角坐标系中也常记作，所以上式又可写成
这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式，其中rdrd&就是极坐标系中的面积元素。
公式（4）表明，要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的x、y分别换成rcos&、rsin&，并把直角坐标系中的面积元素dxdy换成极坐标系中的面积元素rdrd&。
极坐标系中的二重积分，同样可以化为二次积分来计算。在[插图7]，二重积分化为二次积分的公式为
上式也写成
。（5'）
特别地，如果积分区域D是[插图8]所示的曲边扇形，那末相当于图9-2-7（a）中&1（&）&0，&2（&）=&（&）。这时闭区域D可以用不等式
0&r&&（&），&&&&&
来表示，而公式（5'）成为
如果积分区域D如图[插图9]）所示，极点在D的内部，那末相当于图9-2-8中&= 0、&= 2&。这时闭区域D可以用不等式
0&r&&（&），0&&&2&
来表示，而公式（5'）成为
由二重积分的性质4，闭区域D的面积s 可以表示为
在极坐标系中，面积元素ds = rdrd&，上式成为
如果闭区域D如图9-2-7（a）所示，这由公式（5'）有
特别地，如果闭区域D如图9-2-8所示，则&1（&）&0，&2（&）=&（&）。于是
例3 计算，其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域。
解 在极坐标系中，闭区域D可表示为
0&r&a，0&&&2&。
由公式（4）及（5）有
例4 求球体x2+y2+z2&4a2圆柱面x2+y2=2ax（a&0）所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积[插图10]。
解 由对称性，
其中D为半圆周及x轴所围成的闭区域。在极坐标系中，闭区域D可用不等式
0&r&2acos（&），0&&&&/2
来表示。于是
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