已知：如图,∠AOB内一点P,∠AOB=60°,OP=6,在OA,OB上作一点M,N,使△MPN的周长最短,并求出它的值._百度作业帮
已知：如图,∠AOB内一点P,∠AOB=60°,OP=6,在OA,OB上作一点M,N,使△MPN的周长最短,并求出它的值.
已知：如图,∠AOB内一点P,∠AOB=60°,OP=6,在OA,OB上作一点M,N,使△MPN的周长最短,并求出它的值.
如图,已知P为∠AOB的边OA上一点,以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于证明：（2）在△OPN和△PMN中,∠PON=∠MPN=60°,∠ONP=∠PNM,∴△知识点梳理
应用举例：1.已知直角的任意两边求第三边。2.已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系。3.证明包含平方（）关系的几何问题。4.构造方程(或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题。
【的判定】①&平行于一边的和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；②&如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；③&如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；④&如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
【解直角】在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．如图，在&Rt△ABC&中，∠C&为直角，∠A，∠B&，∠C&所对的边分别为&a，b，c，那么除直角&C&外的&5&个元素之间有如下关系：①&三边之间的关系：{{a}^{2}}{{+b}^{2}}{{=c}^{2}}（）；②&两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；③&边角之间的关系：sinA={\frac{∠A的对边}{斜边}}={\frac{a}{c}}，cosA={\frac{∠A的邻边}{斜边}}={\frac{b}{c}}&，tanA={\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}}={\frac{a}{b}}&．利用这些关系，知道其中&2&个元素（至少有一个是边），就可以求出其余&3&个未知元素．
【生物定义】三边都相等的叫做等边三角形（equilateral&triangle），也属于．【等边三角形的性质】三个内角都相等，并且每一个角都等于&60°．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，以P为顶点的∠MPN...”，相似的试题还有：
如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点，且∠MPN=∠AOB=α(α为锐角)．当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转(∠MPN保持不变)时，M、N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y(y＞x＞0)，△POM的面积为S．若sinα=，OP=2．(1)当∠MPN旋转30&(即∠OPM=30&)时，求点N移动的距离；(2)求证：△OPN∽△PMN；(3)写出y与x之间的关系式；(4)试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．
如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点，且∠MPN=∠AOB=α(α为锐角)．当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转(∠MPN保持不变)时，M、N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y(y＞x＞0)，△POM的面积为S．若sinα=，OP=2．(1)当∠MPN旋转30&(即∠OPM=30&)时，求点N移动的距离；(2)求证：△OPN∽△PMN；(3)写出y与x之间的关系式；(4)试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．
如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点，且∠MPN=∠AOB=α(α为锐角)．当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转(∠MPN保持不变)时，M、N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y(y＞x＞0)，△POM的面积为S．若sinα=，OP=2．(1)当∠MPN旋转30&(即∠OPM=30&)时，求点N移动的距离；(2)求证：△OPN∽△PMN；(3)写出y与x之间的关系式；(4)试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点，且∠MPN=∠AOB=α（_百度知道
提问者采纳
解答：（1）解：∵sinα=且α为锐角，∴α=60°，即∠BOA=∠MPN=60°．（1分）∴初始状态时，△PON为等边三角形，∴ON=OP=2，当PM旋转到PM'时，点N移动到N'，∵∠OPM'=30°，∠BOA=∠M'PN'=60°，∴∠M'N'P=30°．（2分）在Rt△OPM'中，ON'=2PO=2×2=4，∴NN'=ON'-ON=4-2=2，∴点N移动的距离为2；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （3分）（2）证明：在△OPN和△PMN中，∠PON=∠MPN=60°，∠ONP=∠PNM，∴△OPN∽△PMN；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（4分）（3）解：∵MN=ON-OM=y-x，∴PN2=ON?MN=y（y-x）=y2-xy．过P点作PD⊥OB，垂足为D．在Rt△OPD中，OD=OP?cos60°=2×=1，PD=POsin60°=，∴DN=ON-OD=y-1．在Rt△PND中，PN2=PD2+DN2=（）2+（y-1）2=y2-2y+4．（5分）∴y2-xy=y2-2y+4，即y=；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （6分）（4）解：在△OPM中，OM边上的高PD为，∴S=?OM?PD=?x?x．（8分）∵y＞0，∴2-x＞0，即x＜2．又∵x＞0，∴x的取值范围是0＜x＜2．∵S是x的正比例函数，且比例系数，∴0＜S＜×2，即0＜S＜．&&&&&&&&&&&&&&& （9分）
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已知：如图,∠AOB内一点P,P1,P2分别P是关于OA、OB的对称点,P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=5cm,则△PMN的周长是（　　）
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∵P与P1关于OA对称,∴OA为线段PP1的垂直平分线,∴MP=MP1,同理,P与P2关于OB对称,∴OB为线段PP2的垂直平分线,∴NP=NP2,∴P1P2=P1M+MN+NP2=MP+MN+NP=5cm,则△PMN的周长为5cm．如图，点P是∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点E、F，连接EF交OA于M，交OB于N，EF=15，求△PMN的周长．【考点】．【分析】根据轴对称的性质可得PM=EM，PN=FN，然后求出△PMN的周长=EF．【解答】解：∵P点关于OA、OB的对称点分别为E、F，∴PM=EM，PN=FN，∴△PMN的周长=PM+MN+FN=ME+MN+FN=EF，∵EF=15，∴△PMN的周长=15．【点评】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：星期八老师　难度：0.80真题：0组卷：0
解析质量好中差}