如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E．（1）如图2，若点E在线段BC的延长线上，设AP=x，CE=y，①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长；（2）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，若CI=AP，求AP的长．-乐乐题库
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如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E．（1）如图2，若点E在线段BC的延长线上，设AP=x，CE=y，①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长；（2）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，若CI=AP，求AP的长．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2014-金山区一模
分析与解答
习题“如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E．（1）如图2，...”的分析与解答如下所示：
（1）①由AP=DP得到∠PAD=∠PDA，由对顶角相等得∠PDA=∠CDE，则∠PAD=∠CDE，根据三角形相似的判定方法得到△ABC∽△DEC，则∠ABC=∠DEC，BCCE=ABDE，且得到PB=PE．在Rt△ABC中根据勾股定理计算出AB=5，则PB=PE=5-x，DE=5-2x，然后利用相似比即可得到y关于x的函数关系式；②设BE的中点为Q，连结PQ，由于PB=PE，根据等腰三角形的性质得PQ⊥BE，易得PQ∥AC，则△BPQ∽△BAC，利用相似比得到PQ=-45x+4（圆心距），BQ=-35x+3（⊙Q的半径），根据两圆外切的性质得到-45x+4=x+（-35x+3），然后解方程即可；（2）分类讨论：当点E在线段BC延长线上时，利用（1）②的结论可得IQ=PQ-PI=-95x+4，CQ=BC-BQ=35x，在Rt△CQI中，根据勾股定理得CI2=CQ2+IQ2=（35x）2+（-95x+4）2=185x2-725x+16，再由CI=AP得到185x2-725x+16=x2，解得x1=2013，x2=4，由于0＜x＜52，由此得到AP的长为2013；同理当点E在线段BC上时，IQ=PI-PQ=95x-4，CQ=BC-BQ=35x，在Rt△CQI中，CI2=CQ2+IQ2=185x2-725x+16，利用CI=AP得到185x2-725x+16=x2，解得x1=2013，x2=4，由于52＜x＜5，则AP的长为4，由此得到AP的长为2013或4．
解：（1）①如图2∵AP=DP，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠PAD=∠CDE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴△ABC∽△DEC，∴∠ABC=∠DEC，BCCE=ABDE．∴PB=PE．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB=√AC2+BC2=5，∴PB=PE=5-x，DE=PE-PD=5-x-x=5-2x，∴3y=55-2x，∴y=-65x+3（0＜x＜52）；②设BE的中点为Q，连结PQ，如图2，∵PB=PE，∴PQ⊥BE，又∵∠ACB=90°，∴PQ∥AC，∴△BPQ∽△BAC，∴PQAC=PBAB=BQBC，即PQ4=5-x5=BQ3，∴PQ=-45x+4，BQ=-35x+3，当以BE为直径的圆和⊙P外切时，-45x+4=x+（-35x+3），解得x=56，即AP的长为56；（2）当点E在线段BC延长线上时，由（1）②的结论可得IQ=PQ-PI=-45x+4-x=-95x+4，CQ=BC-BQ=3-（-35x+3）=35x，在Rt△CQI中，CI2=CQ2+IQ2=（35x）2+（-95x+4）2=185x2-725x+16，∵CI=AP，∴185x2-725x+16=x2，解得x1=2013，x2=4（不合题意，舍去），∴AP的长为2013；当点E在线段BC上时，IQ=PI-PQ=x-（-45x+4）=95x-4，CQ=BC-BQ=3-（-35x+3）=35x，在Rt△CQI中，CI2=CQ2+IQ2=（35x）2+（95x-4）2=185x2-725x+16，∵CI=AP，∴185x2-725x+16=x2，解得x1=2013（舍去），x2=4，∴AP的长为4，综上所述，AP的长为2013或4．
本题考查了圆的综合题：熟练掌握两圆相切的性质和三角形相似的判定与性质；会运用勾股定理和相似比进行几何计算；能运用分类讨论的思想解决问题．
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如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E．（1...
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经过分析，习题“如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E．（1）如图2，...”主要考察你对“圆的综合题”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
圆的综合题
圆的综合题．
与“如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E．（1）如图2，...”相似的题目：
已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正三角形ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，求AE的长．&&&&
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，-2），以点A为圆心、AO为半径画圆，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于B、C两点，点E是x轴上的一个动点．（1）求B、C两点的坐标；（2）直线CE与⊙O有哪几种位置关系？（3）当直线CE是⊙O的切线时，求点E的坐标．&&&&
如图，直线y=√33x+1分别与两坐标轴交于A，B两点，点C从A点出发沿射线BA方向移动，速度为每秒1个单位长度．以C为顶点作等边△CDE，其中点D和点E都在x轴上．半径为3√3-3的⊙M与x轴、直线AB相切于点G、F．（1）直线AB与x轴所夹的角∠ABO=&&&&°；（2）求当点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE与⊙M相切？
“如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°...”的最新评论
该知识点好题
1（2012o温州模拟）如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，∠ACB=45°，以BC为弦作⊙O，交AC于点D，OD与BC交于点E，若AB与⊙O相切，则下列结论：①∠BOD=90°；②DO∥AB；③CD=AD；④△BDE∽△BCD；⑤BEDE=√2正确的有（　　）
2如图，AB为⊙O的直径，点M为半圆的中点，点P为另一半圆上一点（不与A、B重合），点I为△ABP的内心，IN⊥BP于N，下列结论：①∠APM=45°；②AB=√2IM；③∠BIM=∠BAP；④IN+OBPM=√22．
3一张半径为2的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：1，则折痕长为（　　）
该知识点易错题
1如图，等腰直角△ABC内接于⊙O，D为⊙O上一点，连接AD、BD、CD（1）如图（1），点D在半圆BC上时，求证：BD+CD=√2AD；（2）如图（2），点D在劣弧AB上时，直接写出BD、CD、AD间的数量关系：&&&&；（3）在（2）的条件下，如图（3），CD与AB交于点E，连接AO交CD于F，若AE=3BE，AF=127√2，求⊙O的直径．
2（2012o营口）如图，实线部分为某月牙形公园的轮廓示意图，它可看作是由⊙P上的一段优弧和⊙Q上的一段劣弧围成，⊙P与⊙Q的半径都是2km，点P在⊙Q上．（1）求月牙形公园的面积；（2）现要在公园内建一块顶点都在⊙P上的直角三角形场地ABC，其中∠C=90°，求场地的最大面积．
欢迎来到乐乐题库，查看习题“如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E．（1）如图2，若点E在线段BC的延长线上，设AP=x，CE=y，①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长；（2）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，若CI=AP，求AP的长．”的答案、考点梳理，并查找与习题“如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E．（1）如图2，若点E在线段BC的延长线上，设AP=x，CE=y，①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长；（2）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，若CI=AP，求AP的长．”相似的习题。如图,Rt△ABC中,AC=5,BC=12,∠ACB=90°,P是AB边上的动点(与点A、B不重合）,Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）.当PQ与AC不平行时,△CPQ可能为直角三角形吗?若有可能,请求出线段CQ的长的取值范围；若_百度作业帮
拍照搜题，秒出答案
如图,Rt△ABC中,AC=5,BC=12,∠ACB=90°,P是AB边上的动点(与点A、B不重合）,Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）.当PQ与AC不平行时,△CPQ可能为直角三角形吗?若有可能,请求出线段CQ的长的取值范围；若
如图,Rt△ABC中,AC=5,BC=12,∠ACB=90°,P是AB边上的动点(与点A、B不重合）,Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）.当PQ与AC不平行时,△CPQ可能为直角三角形吗?若有可能,请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能,请说出理由.要用勾股定理,不要圆切线之类的
看看题目是不还还有条件啊,如P Q的运动速度 方向等
15×√14-6×√14 19× √17×4×√17 =（ 15 -6 ）×√14 =（ 19×4 ）×（√17× √17） =9√14 =76×17 =1292 （-11） （ 16）
可能的CP垂直PQ嘛，自己算下好了
这个问题初中知识是不能解决的，需要用到高中知识。因为CQ最后的表达式是一个对勾函数。
首先我们必须知道△CPQ是有三个角组成的。分别是∠pcq、∠pqc以及∠cpq。pq与ac不平行就意味 ∠pqc不能是直角，而∠pcq的变化范围很容易看出它也不可能是直角，因此，只能是∠cpq是直角。也就是说只能cp垂直于pq。接下来的问题，利用一个函数关系求解，会做的话 很快可以得到。楼下有说明，我就不一一列举了。...在Rt三角形ABC中,AC=5 ,BC=12,角ACB=90度,P是AB边上的动点（与点A,B不重合）Q是BC边上的动点（与点C,B不重合）当三角形CPQ是直角三角形且PQ与AC不平行时线段CQ的长的范围是详解_百度作业帮
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在Rt三角形ABC中,AC=5 ,BC=12,角ACB=90度,P是AB边上的动点（与点A,B不重合）Q是BC边上的动点（与点C,B不重合）当三角形CPQ是直角三角形且PQ与AC不平行时线段CQ的长的范围是详解
在Rt三角形ABC中,AC=5 ,BC=12,角ACB=90度,P是AB边上的动点（与点A,B不重合）Q是BC边上的动点（与点C,B不重合）当三角形CPQ是直角三角形且PQ与AC不平行时线段CQ的长的范围是详解
当AC与PQ不平行时,只有∠CPQ为直角,△CPQ才可能是直角三角形．以CQ为直径作半圆D,①当半圆D与AB相切时,设切点为M,连接DM,则DM⊥AB,且AC=AM=5,∴MB=AB-AM=13-5=8；设CD=x,则DM=x,DB=12-x；在Rt△DMB中,DB2=DM2+MB2,即（12-x）2=x²+8²,解之得x=10/3,∴CQ=2x=20/3；即当CQ=20/3且点P运动到切点M位置时,△CPQ为直角三角形．②当20/3＜CQ＜12时,半圆D与直线AB有两个交点,当点P运动到这两个交点的位置时,△CPQ为直角三角形③当0＜CQ＜20/3时,半圆D与直线AB相离,即点P在AB边上运动时,均在半圆D外,∠CPQ＜90°,此时△CPQ不可能为直角三角形．∴当20/3≤CQ＜12时,△CPQ可能为直角三角形．知识点梳理
常常使用的方法是：1.常用辅助线构造基本图形，如“A”型，“x”型。2.证明等积式常常先化为比例式，找或中间比。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，∠C=30°...”，相似的试题还有：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90&，AC=8，BC=6，点D是射线CA上的一个动点 (不与A、C重合)，DE⊥直线AB于E点，点F是BD的中点，过点F作FH⊥直线AB于H点，连接EF，设AD=x．(1)①若点D在AC边上，求FH的长(用含x的式子表示)；②若点D在射线CA上，△BEF的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．(2)若点D在AC边上，点P是AB边上的一个动点，DP与EF相交于O点，当DP+FP的值最小时，猜想DO与PO之间的数量关系，并加以证明．
如图，△ABC中，∠ABC=90&，AB=BC=4，点O为AB边的中点，点M是BC边上一动点(不与点B、C重合)，AD⊥AB，垂足为点A．连接MO，将△BOM沿直线MO翻折，点B落在点B1处，直线M B1与AC、AD分别交于点F、N．(1)当∠CMF=120&时，求BM的长；(2)设BM=x，y=，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)连接NO，与AC边交于点E，当△FMC和△AEO相似时，求BM的长．
如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q．(1)如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA的延长线交于点Q．设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动(不与B，C重合)，且DE始终经过点A，EF与边AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．如图，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是AC边上的动点（与点A、C不重合）．（1）当PQ∥BC，且Q为AC的中点时，求线段PQ的长；（2）若以CQ为直径作圆D，请问圆D有没有可能与斜边AB相切？若相切请求出该圆的半径；（3）当PQ与BC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．【考点】；；；；．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）根据三角形的中位线的性质即可得到PQ的长；（2）设圆D与AB相切于M，连接DM，根据切线的性质得到DM⊥AB，易证Rt△ADM∽Rt△ABC，得到=，设CD=x，则DM=x，AD=6-x，利用相似比可计算出x；（3）当PQ与BC不平行时，只有∠CPQ=90°时，△CPQ才可能为直角三角形．根据直径所对的圆周角为直角得到以CQ为直径的圆与AB的交点为P点，把问题转化为以CQ为直径的圆与AB的位置关系．【解答】（1）解：∵PQ∥BC，Q为AC的中点，∴PQ为三角形ABC的中位线，∴PQ=BC=4；（2）以CQ为直径作圆D，圆D可以与AB相切．理由如下：设圆D与AB相切于M．连接DM，如图，∴DM⊥AB，易证Rt△ADM∽Rt△ABC，∴=，设CD=x，则DM=x，AD=6-x，而AC=6，BC=8得到AB=10，∴=，解得x=，即该圆的半径为；（3）当PQ与BC不平行时，只有∠CPQ=90°时，△CPQ才可能为直角三角形．①当时，以CQ为直径的圆〔即（2）中圆D〕与AB相切于M，这时点P运动到点M的位置，△CPQ为直角三角形．②当时，以CQ为直径的圆与直线AB有两个交点，当点P运动到这二个交点的位置时，△CPQ为直角三角形．③当时，以CQ为直径的圆与直线AB相离，没有交点，即点P在AB上运动时都在圆外，∠CPQ＜90°此时△CPQ不可能为直角三角形．∴当时，△CPQ可能为直角三角形．【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：gsls老师　难度：0.38真题：1组卷：11
解析质量好中差}