问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为____．（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．-乐乐题库
& 轴对称-最短路线问题知识点 & “问题背景：如图（a），点A、B在直线l的...”习题详情
144位同学学习过此题，做题成功率78.4%
问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为2√2&．（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．
本题难度：一般
题型：填空题&|&来源：2013-日照
分析与解答
习题“问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，...”的分析与解答如下所示：
（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和CD的交点P就是所求作的位置．根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值；（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，则线段B′F的长即为所求．
解：（1）作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于AE．作直径AC′，连接C′E．根据垂径定理得BD=DE．∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°，∴∠AOE=90°，∴∠C′AE=45°，又AC′为圆的直径，∴∠AEC′=90°，∴∠C′=∠C′AE=45°，∴C′E=AE=√22AC′=2√2，即AP+BP的最小值是2√2．故答案为：2√2；（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′．∵AD平分∠BAC，∴∠B′AM=∠BAM，在△B′AM和△BAM中{AB′=AB∠B′AM=∠MABAM=AM，∴△B′AM≌△BAM（SAS），∴BM=B′M，∠BMA=∠B′MA=90°，∴点B与点B′关于直线AD对称．过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，∴B′F=AB′osin45°=ABosin45°=10×√22=5√2，∴BE+EF的最小值为5√2．
此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及锐角三角函数关系等知识，根据已知得出对应点P位置是解题关键．
找到答案了，赞一个
如发现试题中存在任何错误，请及时纠错告诉我们，谢谢你的支持！
问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b...
错误类型：
习题内容残缺不全
习题有文字标点错误
习题内容结构混乱
习题对应知识点不正确
分析解答残缺不全
分析解答有文字标点错误
分析解答结构混乱
习题类型错误
错误详情：
我的名号（最多30个字）：
看完解答，记得给个难度评级哦！
还有不懂的地方？快去向名师提问吧！
经过分析，习题“问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，...”主要考察你对“轴对称-最短路线问题”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
与“问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，...”相似的题目：
如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为&&&&A．2B．2C．3D．&&&&
如图，已知∠AOB和C、D两点，求作一点P使P到∠AOB两边的距离相等，且使P到C、D两点的距离和最小．
如图，AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在弧AC上，弧AD=2弧CD，点P是半径OC上一个动点，那么AP+PD的最小值等于&&&&．&&&&
“问题背景：如图（a），点A、B在直线l的...”的最新评论
该知识点好题
1如图，已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（32，-2），点P在直线y=-x上运动，当|PA-PB|最大时点P的坐标为（　　）
2如图四边形ABCD中，AD=DC．∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DF⊥AC，垂足为F．DF与AB相交于E．设AB=15，BC=9，P是射线DF上的动点．当△BCP的周长最小时，DP的长为（　　）
3（2010o扬州）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，点P是AB上一个动点，当PC+PD的和最小时，PB的长为&&&&．
该知识点易错题
1如图，在边长为1正方形ABCD中，E、F、G分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AE=EB，有一只蚂蚁从E点出发，经过F、G、H，最后回点E点，则蚂蚁所走的最小路程是（　　）
2如图：梯形中ABCD，AD∥BC，AB=CD=5，BC=6，∠C=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，Q为CD上一点，那么PQ+CQ的最小值为&&&&．
3代数式√x2+4+√(12-x)2+9的最小值为&&&&．
欢迎来到乐乐题库，查看习题“问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为____．（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．”的答案、考点梳理，并查找与习题“问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为____．（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．”相似的习题。在三角形ABC中，AB=AC,P为BC上任意一点，请用勾股定理证明：AB平方减AP平方等于PB乘以PC, 在三角形ABC中，AB=AC,P为BC上
在三角形ABC中，AB=AC,P为BC上任意一点，请用勾股定理证明：AB平方减AP平方等于PB乘以PC
匿名 在三角形ABC中，AB=AC,P为BC上任意一点，请用勾股定理证明：AB平方减AP平方等于PB乘以PC
=PB?PC，BD-PD=PB;，∴D是BC中点;=（BD+PD）（BD-PD）;+AD²-AP²=BD&sup2，∴AB²+AD²（1）AP&sup2，∴AB&sup2，∴BD+PD=PC，AB²-AP&sup2，∵AB=AC;-AP²（2）（1）-（2）得;-PD&sup2。证毕：AB²=PD&sup2作AD⊥BC交BC于D;=BD&sup2
AB²-HP²+BH²+HP²AP²=AH²-AP²=BH&sup2作AH⊥BC于HAB²=AH&sup2
作AD⊥BC交BC于D，AB²=BD²+AD²（1）AP²=PD²+AD²（2）（1）-（2）得：AB²-AP²=BD²-PD²，∴AB²-AP²=（BD+PD）（BD-PD），∵AB=AC，∴D是BC中点，∴BD+PD=PC，BD-PD=PB，∴AB²-AP²=PB?PC。证毕。如图,三角形ABC中,AB=AC,P为BC上任意一点.求证:AB平方-AP平方=PB*PC_作业帮
拍照搜题，秒出答案
如图,三角形ABC中,AB=AC,P为BC上任意一点.求证:AB平方-AP平方=PB*PC
如图,三角形ABC中,AB=AC,P为BC上任意一点.求证:AB平方-AP平方=PB*PC
做BC垂线AM,垂足M,则BM=CMAB²＝AM²+BM²AP²=PM²+AM²∴AB²-AP²=AM²+BM²-PM²-AM²=BM²-PM²=(BM+PM)(BM-PM)= PB*PC
详细解答请看下图。
作AD垂直BC又因为AB＝AC所以BD=DCAB2=AD2+BD2AP2=AD2+PD2AB2-AP2=BD2-PD2PB*PC=(BD-PD)*(PD+CD)
=(BD-PD)*(PD+BD)
=BD2-PD2所以AB2-PD2=PB*PC
不能做出BC⊥A,M
做BC垂线AM，垂足M,则BM=CMAB²＝AM²+BM²AP²=PM²+AM²∴AB²-AP²=AM²+BM²-PM²-AM²
=BM²-PM²
=(BM+PM)(BM-PM)AD=BD；（2）如图2，当∠BAC=60°时，求证：AD=BD；（3）在（2）的条件下，过点C作∠DCQ=60°交PA的延长线于点Q如图3，连接DQ，延长CA交DQ于点K，若CQ=．求线段AK的长．
分析：（1）AD=54BD，理由为：如图1所示，由AB=AC及∠BAC=90°，得到三角形ABC为等腰直角三角形，可得出两个锐角为45°，再由∠APD=∠B，利用外角性质及角的加减，利用等量代换的思想得到∠BDP=∠APC，得出三角形PBD与三角形ACP相似，由相似得比例，设直角边AB=AC=3b，利用勾股定理表示出BC，再由PC=2PB，表示出BP和PC，再将表示的AC代入比例式，表示出BD，由AB-BD表示出AD，即可得出AD与BD的关系；（2）如图2所示，由AB=AC及∠BAC=60°，得到三角形ABC为等边三角形，可得出∠B=∠BAC=∠ACB，且AB=AC=BC，由∠APD=∠B，利用外角性质及角的加减，利用等量代换的思想得到∠BDP=∠APC，得出三角形PBD与三角形ACP相似，由相似得比例，设三边上为3a，根据PC=2PB，表示出PC与BP，代入比例式中表示出BD，由AB-BD表示出AD，即可得出AD与BD的关系；（3）过点D作DF⊥BC于F点，过D作DM⊥AC于M点，过Q作QN⊥CA交CA延长线于N点，如图3所示，由（2）表示出的AC，PB，PC，BD，AD，在直角三角形BFD中，由∠B=60°，得出∠BDF=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半表示出BF，进而表示出DF，由BP-BF表示出PF，再由FP+PC表示出CF，在直角三角形CFD中，利用勾股定理表示出CD，由∠APD=∠B=60°，及∠DCQ=60°，得到∠APD=∠DCQ，再由一对对顶角相等，利用内角和定理推出∠PDE=∠CQE，由∠ACB=∠DCQ等号两边都减去∠ACD，得到∠PCD=∠ACQ，可得出三角形PCD与三角形ACQ相似，由相似得比例，根据CQ的长得出CD的长，确定出a的值，进而得出BD，AD，CF，DF的长，再由三角形FCD与三角形NCQ相似，由相似得比例，将已知的边代入求出CN与NQ的长，在直角三角形AMD中，由∠BAD=60°，得出∠ADM=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AM的长，进而得到DM的长，由AC-AM求出CM的长，再由CN-CM求出MN的长，由三角形DMK与三角形QNK相似，由相似得比例，得出KM与KN的比值，可得到KM与MN的比值，将MN的长代入求出KM的长，由KM-AM即可求出AK的长．解答：（1）AD=54BD，理由为：证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，又∠CPD=∠B+∠BDP=∠APD+∠APC，且∠APD=∠B，∴∠BDP=∠APC，∴△PBD∽△ACP，设AB=AC=3b，则有BC=32b，由PC=2PB，得到PB=2b，PC=22b，∴BDCP=PBAC，即BD22b=2b3b，解得：BD=43b，∴AD=AB-BD=3b-43b=53b，则AD=54BD；故答案为：AD=54BD．（2）证明：∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=∠B=60°，AB=AC=BC，设AB=AC=BC=3a，由PC=2PB，得到PB=a，PC=2a，∵∠CPD=∠B+∠BDP=∠APD+∠APC，且∠APD=∠B，∴∠BDP=∠APC，∴△PBD∽△ACP，∴BDCP=PBAC，即BD2a=a3a，∴BD=23a，∴AD=AB-BD=3a-23a=73a，∴AD=72BD；（3）解：过点D作DF⊥BC于F点，过D作DM⊥AC于M点，过Q作QN⊥CA交CA延长线于N点，由（2）知：AC=3a，PB=a，PC=2a，BD=23a，AD=73a，在Rt△DFB中，∠B=60°，可得出∠BDF=30°，∴BF=13BD=13a，DF=33a，∴PF=PB-BF=23a，∴CF=PF+PC=83a，在Rt△CFD中，根据勾股定理得：CD2=CF2+DF2，解得：CD=673a，∵∠APD=∠B=60°，又∠DCQ=60°，∴∠APD=∠DCQ，∵∠PED=∠CEQ，∴∠PDE=∠CQE，又∠ACB=60°，∴∠ACB-∠ACD=∠DCQ-∠ACD，即∠PCD=∠ACQ，∴△PCD∽△ACQ，∴CDCQ=PCCA=2a3a=23，又CQ=672，∴CD=673，即673a=673，解得：a=1，∴BD=23，AD=73，CF=83，DF=33，∵∠CFD=∠CNQ=90°，∠FCD=∠NCQ，∴△FCD∽△NCQ，∴DFNQ=CFCN=CDCQ，∴CN=4，NQ=32，∵在Rt△AMD中，∠DAM=60°，∴∠BDF=30°，∴AM=76，DM=736，∴CM=AC-AM=116，∴MN=CN-CM=136，∵∠DMK=∠QNK=90°，∠DKM=∠QKN，∴△DMK∽△QNK，∴KMKN=DMQN=73，即KM=73KN，∴KM=710MN=710×136=9160，则AK=KM-AM=．点评：此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，利用了转化及等量代换的数学思想，是一道难道较强的压轴题．
请选择年级七年级八年级九年级请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：初中数学
（2012?香坊区一模）因式分解：2mx2-4mxy+2my2=2m（x-y）2．
科目：初中数学
（2012?香坊区一模）长城总长约为米，把用科学记数法表示为6.7×106．
科目：初中数学
（2012?香坊区一模）圆锥的底面半径为14cm，母线长为21cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为240&度．
科目：初中数学
（2012?香坊区一模）如图，在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，在△ABC中，BC=2AB，点B的坐标为（-4，0），点D是BC的中点，且tan∠ACB=（1）求点A的坐标；（2）点P从C点出发，沿线段CB以5个单位/秒的速度向终点B匀速运动，过点P作PE⊥AB．垂足为E，PE交直线AC于点F，设EF的长为y（y≠O），点P的运动时间为t秒，求y与t之问的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点O．作0Q∥AC交AB于Q点，连接DQ，是否存在这样的t值，使△FDQ是以DQ为一条直角边的直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在．请说明理由．}