一道数学解析几何题,高考的,已知椭圆C1：x²／4 ＋ y²／3 = 1与抛物线C2：y²=4x相交与A、B两点,且焦点重合在椭圆上X轴的两侧取异于短轴端点的两点C、D,若|AC|=|BD|,求证C、D关于X轴对称._百度作业帮
一道数学解析几何题,高考的,已知椭圆C1：x²／4 ＋ y²／3 = 1与抛物线C2：y²=4x相交与A、B两点,且焦点重合在椭圆上X轴的两侧取异于短轴端点的两点C、D,若|AC|=|BD|,求证C、D关于X轴对称.
已知椭圆C1：x²／4 ＋ y²／3 = 1与抛物线C2：y²=4x相交与A、B两点,且焦点重合在椭圆上X轴的两侧取异于短轴端点的两点C、D,若|AC|=|BD|,求证C、D关于X轴对称.
补充一下：我有个自认为比较简单的方法你在x轴上任取异于焦点一点,C连接A,以AC为半径作圆,一定过B点；再以B点为圆心,做半径等于AC的圆,交于X轴,那就是D点,它应该有两个点,需要你判断的,右侧的点连接A,ABCD就是个菱形,证明不难,全是半径. 下载
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高中数学典型例题解析平面解析几何初步
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数学每日一题：解析几何中求参数取值范围的方法
　　近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，是历年来高考命题的热点和重点。这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢?　　一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式　　曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 =　　1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.　　例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a&b&0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 ,　　0)　　求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a　　分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.　　解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 ?x2+x1　　y2+y1　　又∵线段AB的垂直平分线方程为　　y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )　　令y=0得 x0=x1+x22 ?a2-b2a2　　又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点　　∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a　　∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a　　例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF?FQ=1,若 12 & S &2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.　　分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题.　　解: 依题意有　　∴tanθ=2S　　∵12 & S &2 ∴1& tanθ&4&&　　又∵0≤θ≤π　　∴π4 &θ&&　　例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是 ( )　　A a&0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0&2&&　　分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.　　解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a　　得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0　　∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立　　又∵ y02≥0　　而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B )
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京ICP备号&&&&京公网安备82号2012高三数学一轮复习：平面解析几何练习题5
2012高三数学一轮复习：平面解析几何练习题5
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一、选择题
1．(文)( 2010?山东潍坊)已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是 (　　)
[解析]　设双曲线方程为－＝1，则由题意得，＝4，＝16，e＝.
(理)(2010?河北唐山)过双曲线－＝1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为(　　)
[解析]　如图，FMl，垂足为M，M在OF的中垂线上，
OFM为等腰直角三角形，MOF＝45°，
即＝1，e＝.
2．(2010?全国文)已知F1、F2为双曲线Cx2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，F1PF2＝60°，则|PF1|?|PF2|＝(　　)
A．2　　B．4　C．6　　　D．8
[解析]　在F1PF2中，由余弦定理
＝＋1＝＋1，
b＝1，|PF1|?|PF2|＝4.
3．(文)(2010?合肥市)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1都相切，则双曲线C的离心率是(　　)
A.或2 B．2或
[解析]　焦点在x轴上时，由条件知＝，＝，e＝＝，同理，焦点在y轴上时，＝，此时e＝2.
(理)已知F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为(　　)
[解析]　设线段MF1的中点为P，由已知F1PF2为有一锐角为60°的直角三角形，
|PF1|、|PF2|的长度分别为c和c.
由双曲线的定义知：(－1)c＝2a，
4．已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为(　　)
[解析]　由题意c2＝3m2－5n2＝2m2＋3n2，
双曲线渐近线的斜率k＝±＝±.
方程为y＝±x.
5．(文)(2010?湖南师大附中模拟)已知双曲线－＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A、B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，ABF2的周长为20，则m的值为(　　)
[解析]　由已知，|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，又|AB|＝4，则|AF2|＋|BF2|＝16.
据双曲线定义，2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，所以4a＝|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16－4＝12，即a＝3，所以m＝a2＝9，故选B
(理)(2010?辽宁锦州)ABC中，A为动点，B、C为定点，B，C(其中m>0，且m为常数)，且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程为(　　)
C.－＝1(x>)
[解析]　依据正弦定理得：|AB|－|AC|＝|BC|＝<|BC|
点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支，且a＝，c＝，b2＝c2－a2＝
双曲线方程为－＝1(x>)
6．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点为F1、F2，点Q为双曲线左支上除顶点外的任一点，过F1作F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆的一部分
B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分
D．圆的一部分
[解析]　延长F1P交QF2于R，则|QF1|＝|QR|.
|QF2|－|QF1|＝2a，|QF2|－|QR|＝2a＝|RF2|，
又|OP|＝|RF2|，|OP|＝a.
7．(文)(2010?温州市十校)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)
C．(1,1＋)
D．(2,1＋)
[解析]　由题意易知点F的坐标为(－c,0)，A，B，E(a,0)，因为ABE是锐角三角形，所以?>0，即?＝?>0，整理得3e2＋2e>e4，e(e3－3e－3＋1)<0，e(e＋1)2(e－2)1，e∈(1,2)，故选B.
(理)(2010?浙江杭州质检)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F引它的渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若FM＝ME，则该双曲线的离心率为(　　)
[解析]　由条件知l：y＝x是线段FE的垂直平分线，|OE|＝|OF|＝c，又|FM|＝＝b，在RtOEF中，2c2＝4b2＝4(c2－a2)，
e＝>1，e＝.
8．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是(　　)
[解析]　直线与双曲线右支相切时，k＝－，直线y＝kx＋2过定点(0,2)，当k＝－1时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直线y＝－x＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，
9．(文)(2010?福建理)若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则?的取值范围为(　　)
A．[3－2，＋∞)
B．[3＋2，＋∞)
C．[－，＋∞)
D．[，＋∞)
[解析]　由条件知a2＋1＝22＝4，a2＝3，
双曲线方程为－y2＝1.
设P点坐标为(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋2，y)，
y2＝－1，?＝x2＋2x＋y2
＝x2＋2x＋－1＝x2＋2x－1
＝(x＋)2－.
又x≥(P为右支上任意一点)
?≥3＋2.故选B.
(理)(2010?新课标全国理)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)
[解析]　设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有：，两式作差得：＝＝，kAB＝，且kAB＝＝1，所以4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是－＝1，故选B.
10．(文)过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点垂直于x轴的弦长为a，则双曲线－＝1的离心率e的值是(　　)
[解析]　将x＝c代入椭圆方程得，＋＝1，
y2＝×b2＝×b2＝×b2，y＝±.
＝a，b2＝a2，e2＝＝＝，
e＝，故选B.
(理)(2010?福建宁德一中)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F恰好是双曲线－＝1的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为(　　)
D．无法确定
[解析]　由题意知＝c，根据圆锥曲线图象的对称性，两条曲线交点的连线垂直于y轴，对双曲线来说，这两个交点连线的长度是，对抛物线来说，这两个交点连线的长度是2p，p＝2c，＝4c，b2＝2ac，
c2－a2＝2ac，e2－2e－1＝0，解得e＝1±，
e>1，e＝1＋.
二、填空题
11．(文)(2010?广东实验中学)已知P是双曲线－＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x－y＝0.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF2|＝3，则|PF1|＝________.
[解析]　由双曲线的一条渐近线的方程为3x－y＝0且b＝3可得：a＝1，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，
|PF1|－3＝2，|PF1|＝5.
(理)(2010?东营质检)已知双曲线－＝1的右焦点为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．
[答案]　y＝±x
[解析]　由题意知9＋a＝13，a＝4，
故双曲线的实半轴长为a′＝3，虚半轴长b′＝2从而渐近线方程为y＝±x.
12．(2010?惠州市模考)已知双曲线－y2＝1(a>0)的右焦点与抛物线y2＝8x焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________．
[答案]　y＝±x
[解析]　y2＝8x焦点是(2,0)，
双曲线－y2＝1的半焦距c＝2，
又虚半轴b＝1，
又a>0，a＝＝，
双曲线渐近线的方程是y＝±x.
13．(2010?北京东城区)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线离心率的取值范围是________．
[答案]　1<e≤2
[解析]　由题意，，
|PF1|≥|AF1|，3a≥a＋c
e＝≤2，1<e≤2.
14．下列有四个命题：
若m是集合{1,2,3,4,5}中任取的一个值，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为mx－y＝0，则双曲线的离心率小于4的概率为.
若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且其一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则双曲线的离心率为2；
将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y＝sin的图象；
在RtABC中，ACBC，AC＝a，BC＝b，则ABC的外接圆半径r＝；类比到空间，若三棱锥S－ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S－ABC的外接球的半径R＝.
其中真命题的序号为________．(把你认为是真命题的序号都填上)
[解析]　设双曲线方程为m2x2－y2＝1，
a2＝，b2＝1，c2＝a2＋b2＝
e＝＝<4，m<
∴m取值1、2、3
故所求概率为，故正确．
根据双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，可得＝，因此离心率e＝＝＝＝2，正确；
函数y＝cos2x的图象向右平移个单位得y＝cos2(x－)＝cos(2x－)＝sin[＋(2x－)]＝sin(2x＋)的图象，错误；
将三棱锥S－ABC补成如图的长方体，可知三棱锥S－ABC外接球的直径就等于该长方体的体对角线的长，则R＝，正确．三、解答题
15．(文)已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F(－2,0)
(1)求双曲线方程；
(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若||＝2||，求直线l的方程．
[解析]　(1)由题意可设所求的双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0)
则有e＝＝2，c＝2，a＝1，则b＝
所求的双曲线方程为x2－＝1.
(2)直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2,0)
l的斜率k一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2)
令x＝0得M(0,2k)
||＝2||且M、Q、F共线于l
＝2或＝－2
当＝2时，xQ＝－，yQ＝k
Q在双曲线x2－＝1上，
－＝1，k＝±，
当＝－2时，
同理求得Q(－4，－2k)代入双曲线方程得，
16－＝1，k＝±
则所求的直线l的方程为：
y＝±(x＋2)或y＝±(x＋2)
(理)(2010?湖南湘潭市)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且?>2(其中O为原点)，求k的取值范围．
[解析]　(1)设双曲线－＝1，
由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝22得，b2＝1，
故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中得，
(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线交于不同的两点得
k2≠且k2<1
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
则xA＋xB＝，xAxB＝
由?>2得，xAxB＋yAyB>2，
xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)
＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2
＝(k2＋1)?＋k?＋2＝
于是>2，即>0，
解此不等式得<k2<3
由得<k2<1，<k<1或－1<k<－.
故k的取值范围为.
16．(2010?江苏苏州模拟)已知二次曲线Ck的方程：＋＝1.
(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；
(2)若双曲线Ck与直线y＝x＋1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；
(3)m、n为正整数，且m<n，是否存在两条曲线Cm、Cn，其交点P与点F1(－，0)，F2(，0)满足?＝0？若存在，求m、n的值；若不存在，说明理由．
[解析]　(1)当且仅当，即k<4时，方程表示椭圆．
当且仅当(9－k)(4－k)<0，即4<k<9时，方程表示双曲线．
(2)解法一：由化简得，
(13－2k)x2＋2(9－k)x＋(9－k)(k－3)＝0
Δ≥0，k≥6或k≤4(舍)
双曲线实轴最长，k取最小值6时，9－k最大即双曲线实轴最长，
此时双曲线方程为－＝1.
解法二：若Ck表示双曲线，则k(4,9)，不妨设双曲线方程为－＝1，
联立消去y得，
(5－2a2)x2－2a2x－6a2＋a4＝0
Ck与直线y＝x＋1有公共点，
Δ＝4a4－4(5－2a2)(a4－6a2)≥0，
即a4－8a2＋15≥0，a2≤3或a2≥5(舍)，
实轴最长的双曲线方程为－＝1.
解法三：双曲线＋＝1中c2＝(9－k)＋(k－4)＝5，c＝，F1(－，0)，不妨先求得F1(－，0)关于直线y＝x＋1的对称点F(－1,1－)，
设直线与双曲线左支交点为M，则
2a＝|MF2|－|MF1|＝|MF2|－|MF|≤|FF2|
a≤，实轴最长的双曲线方程为－＝1.
(3)由(1)知C1、C2、C3是椭圆，C5、C6、C7、C8是双曲线，结合图象的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点
设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，m{1,2,3}，n{5,6,7,8}
则根据椭圆、双曲线定义及?＝0(即PF1PF2)，应有
，所以m＋n＝8.
所以这样的Cm、Cn存在，且或或.
17．(文)(2010?全国文)已知斜率为1的直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)相交于B、D两点，且BD的中点为M(1,3)．
(1)求C的离心率；
(2)设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|?|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
[解析]　(1)由题意知，l的方程为：y＝x＋2，
代入C的方程并化简得，
(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0
设B(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1?x2＝－
由M(1,3)为BD的中点知＝1，故×＝1
故c＝＝2a，
C的离心率e＝＝2.
(2)由知，C的方程为3x2－y2＝3a2，
A(a,0)，F(2a,0)，x1＋x2＝2，x1?x2＝－<0，
故不妨设x1≤－a，x2≥a，
|BF|＝＝＝a－2x1，
|FD|＝＝＝2x2－a，
|BF|?|FD|＝(a－2x1)(2x2－a)
＝－4x1x2＋2a(x1＋x2)－a2＝5a2＋4a＋8.
又|BF|?|FD|＝17，故5a2＋4a＋8＝17，
解得a＝1，或a＝－.
故|BD|＝|x1－x2|＝＝6
连结MA，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，
从而MA＝MB＝MD，DAB＝90°，
因此以M为圆心，MA为半径的圆过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，
所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．
(理)(2010?广东理)已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个动点．
(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；
(2)若过点H(0，h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1l2.求h的值．
[分析]　(1)由条件写出直线A1P与A2Q的方程，两式相乘后消去x1，y1得交点E的方程；
(2)l1，l2与E只有一个交点，写出l1与l2的方程与曲线E的方程联立，运用Δ＝0求解．
[解析]　(1)由条件知|x1|>，A1、A2为双曲线的左、右顶点，A1(－，0)，A2(，0)．
A1Py＝(x＋)，A2Qy＝(x－)，
两式相乘得y2＝(x2－2)，
而点P(x1，y1)在双曲线上，所以－y12＝1，
即＝，代入式，整理得，
|x1|>，点A1(－，0)，A2(，0)均不在轨迹E上，又双曲线的渐近线方程为y＝±x，故过点(0,1)和A2(，0)的直线与双曲线仅有一个交点A2(，0)，故点(0,1)不在轨迹E上，同理点(0，－1)也不在轨迹E上，轨迹E的方程为＋y2＝1(x≠±，且x≠0)．
(2)设l1y＝kx＋h，则由l1l2知，l2y＝－x＋h.
将l1y＝kx＋h代入＋y2＝1得
＋(kx＋h)2＝1，即(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0，
由l1与E只有一个交点知，Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，
1＋2k2＝h2.
同理，由l2与E只有一个交点知，1＋2?＝h2，
消去h2得＝k2，
即k2＝1，从而h2＝1＋2k2＝3，即h＝.
又分别过A1、A2且互相垂直的直线与y轴正半轴交于点(0，)，h＝符合题意，综上知h＝或.
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一、选择题
1．(文)( 2010?山东潍坊)已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是 (　　)
[解析]　设双曲线方程为－＝1，则由题意得，＝4，＝16，e＝.
(理)(2010?河北唐山)过双曲线－＝1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为(　　)
[解析]　如图，FMl，垂足为M，M在OF的中垂线上，
OFM为等腰直角三角形，MOF＝45°，
即＝1，e＝.
2．(2010?全国文)已知F1、F2为双曲线Cx2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，F1PF2＝60°，则|PF1|?|PF2|＝(　　)
A．2　　B．4　C．6　　　D．8
[解析]　在F1PF2中，由余弦定理
＝＋1＝＋1，
b＝1，|PF1|?|PF2|＝4.
3．(文)(2010?合肥市)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1都相切，则双曲线C的离心率是(　　)
A.或2 B．2或
[解析]　焦点在x轴上时，由条件知＝，＝，e＝＝，同理，焦点在y轴上时，＝，此时e＝2.
(理)已知F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为(　　)
[解析]　设线段MF1的中点为P，由已知F1PF2为有一锐角为60°的直角三角形，
|PF1|、|PF2|的长度分别为c和c.
由双曲线的定义知：(－1)c＝2a，
4．已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为(　　)
[解析]　由题意c2＝3m2－5n2＝2m2＋3n2，
双曲线渐近线的斜率k＝±＝±.
方程为y＝±x.
5．(文)(2010?湖南师大附中模拟)已知双曲线－＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A、B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，ABF2的周长为20，则m的值为(　　)
[解析]　由已知，|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，又|AB|＝4，则|AF2|＋|BF2|＝16.
据双曲线定义，2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，所以4a＝|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16－4＝12，即a＝3，所以m＝a2＝9，故选B
(理)(2010?辽宁锦州)ABC中，A为动点，B、C为定点，B，C(其中m>0，且m为常数)，且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程为(　　)
C.－＝1(x>)
[解析]　依据正弦定理得：|AB|－|AC|＝|BC|＝<|BC|
点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支，且a＝，c＝，b2＝c2－a2＝
双曲线方程为－＝1(x>)
6．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点为F1、F2，点Q为双曲线左支上除顶点外的任一点，过F1作F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆的一部分
B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分
D．圆的一部分
[解析]　延长F1P交QF2于R，则|QF1|＝|QR|.
|QF2|－|QF1|＝2a，|QF2|－|QR|＝2a＝|RF2|，
又|OP|＝|RF2|，|OP|＝a.
7．(文)(2010?温州市十校)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)
C．(1,1＋)
D．(2,1＋)
[解析]　由题意易知点F的坐标为(－c,0)，A，B，E(a,0)，因为ABE是锐角三角形，所以?>0，即?＝?>0，整理得3e2＋2e>e4，e(e3－3e－3＋1)<0，e(e＋1)2(e－2)1，e∈(1,2)，故选B.
(理)(2010?浙江杭州质检)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F引它的渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若FM＝ME，则该双曲线的离心率为(　　)
[解析]　由条件知l：y＝x是线段FE的垂直平分线，|OE|＝|OF|＝c，又|FM|＝＝b，在RtOEF中，2c2＝4b2＝4(c2－a2)，
e＝>1，e＝.
8．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是(　　)
[解析]　直线与双曲线右支相切时，k＝－，直线y＝kx＋2过定点(0,2)，当k＝－1时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直线y＝－x＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，
9．(文)(2010?福建理)若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则?的取值范围为(　　)
A．[3－2，＋∞)
B．[3＋2，＋∞)
C．[－，＋∞)
D．[，＋∞)
[解析]　由条件知a2＋1＝22＝4，a2＝3，
双曲线方程为－y2＝1.
设P点坐标为(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋2，y)，
y2＝－1，?＝x2＋2x＋y2
＝x2＋2x＋－1＝x2＋2x－1
＝(x＋)2－.
又x≥(P为右支上任意一点)
?≥3＋2.故选B.
(理)(2010?新课标全国理)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)
[解析]　设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有：，两式作差得：＝＝，kAB＝，且kAB＝＝1，所以4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是－＝1，故选B.
10．(文)过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点垂直于x轴的弦长为a，则双曲线－＝1的离心率e的值是(　　)
[解析]　将x＝c代入椭圆方程得，＋＝1，
y2＝×b2＝×b2＝×b2，y＝±.
＝a，b2＝a2，e2＝＝＝，
e＝，故选B.
(理)(2010?福建宁德一中)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F恰好是双曲线－＝1的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为(　　)
D．无法确定
[解析]　由题意知＝c，根据圆锥曲线图象的对称性，两条曲线交点的连线垂直于y轴，对双曲线来说，这两个交点连线的长度是，对抛物线来说，这两个交点连线的长度是2p，p＝2c，＝4c，b2＝2ac，
c2－a2＝2ac，e2－2e－1＝0，解得e＝1±，
e>1，e＝1＋.
二、填空题
11．(文)(2010?广东实验中学)已知P是双曲线－＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x－y＝0.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF2|＝3，则|PF1|＝________.
[解析]　由双曲线的一条渐近线的方程为3x－y＝0且b＝3可得：a＝1，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，
|PF1|－3＝2，|PF1|＝5.
(理)(2010?东营质检)已知双曲线－＝1的右焦点为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．
[答案]　y＝±x
[解析]　由题意知9＋a＝13，a＝4，
故双曲线的实半轴长为a′＝3，虚半轴长b′＝2从而渐近线方程为y＝±x.
12．(2010?惠州市模考)已知双曲线－y2＝1(a>0)的右焦点与抛物线y2＝8x焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________．
[答案]　y＝±x
[解析]　y2＝8x焦点是(2,0)，
双曲线－y2＝1的半焦距c＝2，
又虚半轴b＝1，
又a>0，a＝＝，
双曲线渐近线的方程是y＝±x.
13．(2010?北京东城区)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线离心率的取值范围是________．
[答案]　1<e≤2
[解析]　由题意，，
|PF1|≥|AF1|，3a≥a＋c
e＝≤2，1<e≤2.
14．下列有四个命题：
若m是集合{1,2,3,4,5}中任取的一个值，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为mx－y＝0，则双曲线的离心率小于4的概率为.
若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且其一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则双曲线的离心率为2；
将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y＝sin的图象；
在RtABC中，ACBC，AC＝a，BC＝b，则ABC的外接圆半径r＝；类比到空间，若三棱锥S－ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S－ABC的外接球的半径R＝.
其中真命题的序号为________．(把你认为是真命题的序号都填上)
[解析]　设双曲线方程为m2x2－y2＝1，
a2＝，b2＝1，c2＝a2＋b2＝
e＝＝<4，m<
∴m取值1、2、3
故所求概率为，故正确．
根据双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，可得＝，因此离心率e＝＝＝＝2，正确；
函数y＝cos2x的图象向右平移个单位得y＝cos2(x－)＝cos(2x－)＝sin[＋(2x－)]＝sin(2x＋)的图象，错误；
将三棱锥S－ABC补成如图的长方体，可知三棱锥S－ABC外接球的直径就等于该长方体的体对角线的长，则R＝，正确．三、解答题
15．(文)已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F(－2,0)
(1)求双曲线方程；
(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若||＝2||，求直线l的方程．
[解析]　(1)由题意可设所求的双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0)
则有e＝＝2，c＝2，a＝1，则b＝
所求的双曲线方程为x2－＝1.
(2)直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2,0)
l的斜率k一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2)
令x＝0得M(0,2k)
||＝2||且M、Q、F共线于l
＝2或＝－2
当＝2时，xQ＝－，yQ＝k
Q在双曲线x2－＝1上，
－＝1，k＝±，
当＝－2时，
同理求得Q(－4，－2k)代入双曲线方程得，
16－＝1，k＝±
则所求的直线l的方程为：
y＝±(x＋2)或y＝±(x＋2)
(理)(2010?湖南湘潭市)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且?>2(其中O为原点)，求k的取值范围．
[解析]　(1)设双曲线－＝1，
由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝22得，b2＝1，
故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中得，
(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线交于不同的两点得
k2≠且k2<1
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
则xA＋xB＝，xAxB＝
由?>2得，xAxB＋yAyB>2，
xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)
＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2
＝(k2＋1)?＋k?＋2＝
于是>2，即>0，
解此不等式得<k2<3
由得<k2<1，<k<1或－1<k<－.
故k的取值范围为.
16．(2010?江苏苏州模拟)已知二次曲线Ck的方程：＋＝1.
(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；
(2)若双曲线Ck与直线y＝x＋1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；
(3)m、n为正整数，且m<n，是否存在两条曲线Cm、Cn，其交点P与点F1(－，0)，F2(，0)满足?＝0？若存在，求m、n的值；若不存在，说明理由．
[解析]　(1)当且仅当，即k<4时，方程表示椭圆．
当且仅当(9－k)(4－k)<0，即4<k<9时，方程表示双曲线．
(2)解法一：由化简得，
(13－2k)x2＋2(9－k)x＋(9－k)(k－3)＝0
Δ≥0，k≥6或k≤4(舍)
双曲线实轴最长，k取最小值6时，9－k最大即双曲线实轴最长，
此时双曲线方程为－＝1.
解法二：若Ck表示双曲线，则k(4,9)，不妨设双曲线方程为－＝1，
联立消去y得，
(5－2a2)x2－2a2x－6a2＋a4＝0
Ck与直线y＝x＋1有公共点，
Δ＝4a4－4(5－2a2)(a4－6a2)≥0，
即a4－8a2＋15≥0，a2≤3或a2≥5(舍)，
实轴最长的双曲线方程为－＝1.
解法三：双曲线＋＝1中c2＝(9－k)＋(k－4)＝5，c＝，F1(－，0)，不妨先求得F1(－，0)关于直线y＝x＋1的对称点F(－1,1－)，
设直线与双曲线左支交点为M，则
2a＝|MF2|－|MF1|＝|MF2|－|MF|≤|FF2|
a≤，实轴最长的双曲线方程为－＝1.
(3)由(1)知C1、C2、C3是椭圆，C5、C6、C7、C8是双曲线，结合图象的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点
设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，m{1,2,3}，n{5,6,7,8}
则根据椭圆、双曲线定义及?＝0(即PF1PF2)，应有
，所以m＋n＝8.
所以这样的Cm、Cn存在，且或或.
17．(文)(2010?全国文)已知斜率为1的直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)相交于B、D两点，且BD的中点为M(1,3)．
(1)求C的离心率；
(2)设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|?|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
[解析]　(1)由题意知，l的方程为：y＝x＋2，
代入C的方程并化简得，
(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0
设B(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1?x2＝－
由M(1,3)为BD的中点知＝1，故×＝1
故c＝＝2a，
C的离心率e＝＝2.
(2)由知，C的方程为3x2－y2＝3a2，
A(a,0)，F(2a,0)，x1＋x2＝2，x1?x2＝－<0，
故不妨设x1≤－a，x2≥a，
|BF|＝＝＝a－2x1，
|FD|＝＝＝2x2－a，
|BF|?|FD|＝(a－2x1)(2x2－a)
＝－4x1x2＋2a(x1＋x2)－a2＝5a2＋4a＋8.
又|BF|?|FD|＝17，故5a2＋4a＋8＝17，
解得a＝1，或a＝－.
故|BD|＝|x1－x2|＝＝6
连结MA，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，
从而MA＝MB＝MD，DAB＝90°，
因此以M为圆心，MA为半径的圆过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，
所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．
(理)(2010?广东理)已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个动点．
(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；
(2)若过点H(0，h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1l2.求h的值．
[分析]　(1)由条件写出直线A1P与A2Q的方程，两式相乘后消去x1，y1得交点E的方程；
(2)l1，l2与E只有一个交点，写出l1与l2的方程与曲线E的方程联立，运用Δ＝0求解．
[解析]　(1)由条件知|x1|>，A1、A2为双曲线的左、右顶点，A1(－，0)，A2(，0)．
A1Py＝(x＋)，A2Qy＝(x－)，
两式相乘得y2＝(x2－2)，
而点P(x1，y1)在双曲线上，所以－y12＝1，
即＝，代入式，整理得，
|x1|>，点A1(－，0)，A2(，0)均不在轨迹E上，又双曲线的渐近线方程为y＝±x，故过点(0,1)和A2(，0)的直线与双曲线仅有一个交点A2(，0)，故点(0,1)不在轨迹E上，同理点(0，－1)也不在轨迹E上，轨迹E的方程为＋y2＝1(x≠±，且x≠0)．
(2)设l1y＝kx＋h，则由l1l2知，l2y＝－x＋h.
将l1y＝kx＋h代入＋y2＝1得
＋(kx＋h)2＝1，即(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0，
由l1与E只有一个交点知，Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，
1＋2k2＝h2.
同理，由l2与E只有一个交点知，1＋2?＝h2，
消去h2得＝k2，
即k2＝1，从而h2＝1＋2k2＝3，即h＝.
又分别过A1、A2且互相垂直的直线与y轴正半轴交于点(0，)，h＝符合题意，综上知h＝或.
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