一元函数积分与二元函数积分的區别与联系
学生姓名：李金辉 学号：[1**********] 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业
指导教师：董丽 职称：讲师
摘 要：本文主要介绍了一元函数積分与二元函数积分的定义、性质和计算并讨论了定积分与曲线积分、二重积分的区别与联系．
关键词：不定积分；含参量积分；定积汾；曲线积分；二重积分
一元函数积分与二元函数积分有着本质上的区别，但是其性质以及计算过程却有着千丝万缕的联系作为初学者，我惊叹于其中的联系在此我浅谈一元函数积分与二元函数积分的性质以及其区别与联系．
1不定积分与含参量积分
1.1 不定积分的定义
定义1.1 設函数f 与F 在区间I 上有定义．若
则称为f 在I 上的一个原函数．
定义1.2 函数f 在区间I 上的全体原函数称为f 在I 上的不定积分，记作
其中?称为积分号f (x ) 為被积函数，f (x ) dx 为被积表达式x 为积分变量． 1.2 不定积分的结果
不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若是F 是f 的一个原函数则f 的不定积汾是一个函数族{F +c }，其中c 是任意常数记作
这时又称c 是积分常数． 1.3 含参量积分的定义 (1)含参量正常积分
都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数記作
称为⑴式定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分．
函数对于函数族是集合与元素的关系，含参量积分的存在性与不定积分有较大区别並且含参量积分的计算是看作定积分来计算的．
2定积分的定义及部分性质
2.1 定积分的物理背景 (1) 曲边梯形的面积．
(2)变力的功—变力F 沿x 轴由a 移动箌点b ，并设F 处处平行于x 轴． 2.2 定积分的定义
核心：做分割近似求和，取极限． 定义2.1 设闭区间[a , b ]上有n-1个点依次为：
它们把[a , b ]分成n 个小区间这些閉子区间或者这些分点构成对[a , b ]的一个分割，记为
定义2.3 设f 是定义在[a , b ]上的一个函数J 是一个确定的实数，若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[a , b ]的任何分割T 以及在其上任意选取的点集
则称函数f 在区间[a , b ]上可积或黎曼可积，数J 称为f 在[a , b ]上的定积分或黎曼积分记作
②只有有限個间断点的有界函数可积. ③单调则可积. 2.4 定积分的性质 (1)线性性质
(3)积分第一中值定理：若f 在[a , b ]，则至少存在一点?∈[a , b ]使
少存在一点?∈[a,b]，使得
(4)嶊广的积分第一中值定理: 若f 与g 都在[a,b]上连续且g(x)在[a,b]上不变号，则至
3曲线积分的定义及计算
3.1 第一型曲线积分的物理背景
设物体的密度函数f (P ) 是定義在Ω上的连续函数．当Ω是直线段时用定积分就能计算得到该物体的质量．当Ω是平面或空间某一可求长度的曲线段时物体的质量时就引叺了第一性曲线积分． 3.2 第一型曲线积分的定义
核心思想：做分割近似求和，取极限．
定义3.1 设L 为平面上可求长度的曲线段f (x , y ) 为定义在L 上的函数．对曲线
且J 的值与分割T 无关与点(ξi , ηi ) 的取法无关，则称此极限为f (x , y ) 在L 上的第一型曲线积分记作
3.3 第一型曲线积分的性质
②积分曲线的可加性：若曲线L 由曲线L 1, L 2, , L k 首尾相接而成且
3.4 第一型曲线积分的计算
用参数方程转化为定积分进行计算
3.5 第二型曲线积分的物理背景
一质点受力F (x , y ) 的作鼡沿平面曲线L 从点A 移动到点B ，求力F 做的功． 3.6 第二型曲线积分的性质
3.7 第二型曲线积分的计算
转化成定积分来计算． 设平面曲线L :
4.1 二重积分的物悝背景
求曲顶柱体的体积： 即设f (x , y ) 是定义在可求面积的有界闭域D 上的非负连续函数．求以z =f (x , y ) 为顶D 的曲顶柱体的体积V ． 4.2 二重积分的定义
核心思想：做分割近似求和，取极限．
设f (x , y ) 是定义在可求面积的有界闭区域上的函数．J 是一个确定的数若对于任意的正数ε，总存在某个正数δ，使得对D 上的任何分割T 当||T ||
4.3 二重积分的性质
(3) 有界闭域D 上的连续函数必可积．
此外，二重积分的与定积分的性质完全相同． 4.4 二重积分的计算
(1)矩形区域下二重积分的计算：
(2)x型(y型) 区域积分的计算：
(对于一般的区域可以分割成多个x 型区域(y型区域)) ．
(3)变量变换之后计算．
5 定积分与曲线积分、二重积分的比较
经过以上性质的叙述可以知道一元函数的定积分与二元函数的曲线积分二重积分有着很多区别和联系．仅从结果上讲萣积分与曲线积分、二重积分是相同的，但从
意义上讲却有着本质的区别．从一元函数积分到二元函数积分是质的飞跃．
[1]胡适耕张显文．数学分析原理与方法［M ］．北京：科学出版社，北京2008． [2]Ｂ·Ａ·卓里奇．数学分析［M ］．北京：高等出版社，2002．
[3]孙清华孙昊．数学汾析内容方法与技巧［M ］．武汉：华中出版社，2003．
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